Quelle est la précision de la règle de 70 ?

Pour des taux jusqu'à environ $10\%$, l'erreur est en général inférieure à un an. À $2\%$, elle donne $35$ ans et la valeur exacte est d'environ $35{,}0$ ans. À $7\%$, elle donne $10$ ans et la valeur exacte est d'environ $10{,}2$ ans. Pour de grands taux, l'erreur augmente.

Qu'est-ce que la capacité de charge ?

La capacité de charge est la plus grande population qu'un milieu peut faire vivre avec sa nourriture, son eau et son espace. Quand une population s'en approche, la croissance ralentit et la courbe s'aplatit en forme de S. On parle de croissance logistique ; dans cette leçon, on la décrit seulement, sans formule.

Faut-il utiliser un modèle linéaire ou exponentiel ?

Regarde les données. Si la population augmente à peu près du même **nombre** chaque année, utilise un modèle linéaire. Si elle augmente à peu près du même **pourcentage** chaque année (les quotients $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ sont à peu près égaux), utilise un modèle exponentiel.

Ressources enseignants

Modèles de croissance de population

Q: Pourquoi la règle de 70 fonctionne-t-elle ?

Le temps de doublement exact est $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, et pour les petits taux $\ln(1 + r)$ est très proche de $r$. Comme $\ln 2 \approx 0{,}693$, le temps de doublement vaut environ $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{pourcentage}}$, arrondi à 70. Tu verras les logarithmes dans une leçon ultérieure ; pour l'instant, utilise la règle comme estimation rapide.

Modélise des populations de bactéries, de villes et d'animaux avec des fonctions exponentielles, le temps de doublement et la règle de 70.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un modèle de population est une fonction qui prédit combien d'individus (personnes, bactéries, animaux) il y aura après un temps

t

. Quand une population augmente du même pourcentage chaque année, elle suit un modèle exponentiel :

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = population initiale (à $t = 0$ )
$r$ = taux de croissance annuel en écriture décimale (3% signifie $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = facteur de croissance
$t$ = temps en années

Quand on connaît le temps de doublement

d

(le temps nécessaire pour que la population double), on peut écrire le même type de modèle ainsi :

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

L'exposant

\frac{t}{d}

compte le nombre de doublements. Une estimation rapide relie les deux formes, la règle de 70 :

d \approx \frac{70}{\text{taux de croissance en pourcentage}}

Ce n'est qu'une approximation, mais elle est très bonne pour les petits taux.

Le diagramme en barres montre une population de

10000

qui augmente de

10\%

par an :

10000

11000

12100

13310

14641

. Chaque barre vaut

1{,}1

fois la précédente, donc les sauts sont plus grands chaque année.

Essaie tout de suite

Un village de

2000

habitants augmente de

4\%

par an. Quelle fonction modélise sa population après

t

années ?

Exemples résolus

Une ville compte $50000$ habitants et augmente de $2\%$ par an. Estime sa population au bout de 5 ans.

Identifie $P_0$ , $r$ et $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Valeurs identifiées

Trouve le facteur de croissance

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Facteur de croissance $1{,}02$

Écris le modèle

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Modèle prêt

Calcule pour $t = 5$

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Réponse: Au bout de 5 ans, la ville comptera environ 55204 habitants.

Erreurs courantes

Utiliser directement le pourcentage dans le facteur de croissance : $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Pourquoi c'est faux: Un taux de $2\%$ s'écrit $0{,}02$ en décimal. Écrire $1 + 2 = 3$ voudrait dire que la ville triple chaque année.

Correct: Convertis d'abord le pourcentage : $2\% = 0{,}02$ , donc le facteur de croissance est $1{,}02$ et $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Oublier de diviser par le temps de doublement : $300 \cdot 2^{180}$

Pourquoi c'est faux: L'exposant doit compter les doublements, pas les minutes. En 180 minutes, il n'y a que $\frac{180}{30} = 6$ doublements.

Correct: Utilise $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Utiliser le taux décimal dans la règle de 70 : $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ ans

Pourquoi c'est faux: La règle de 70 est faite pour le taux écrit en pourcentage. Avec le décimal, on obtient un résultat 100 fois trop grand.

Correct: Divise 70 par le nombre du pourcentage : $\frac{70}{3{,}5} = 20$ ans, et souviens-toi que c'est une estimation.

Diviser par le comptage le plus récent pour trouver le taux : $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Pourquoi c'est faux: Le taux de croissance se mesure par rapport à la population de départ, pas à celle d'arrivée.

Correct: Divise le nouveau comptage par l'ancien : $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , donc $r = 10\%$ .

Visuel interactif

Explorateur de suites

Premier terme (a₁ = 300)

Raison (r = 2)

300,

600,

1200,

2400,

4800,

9600,

19 200

, ...

Formule

a_n = 300 × 2^(n-1)

a_1

300

a_5

4800

a_10

153 600

a_20

157 286 400

Diagramme à barres

t = 0(10 000)

t = 1(11 000)

t = 2(12 100)

t = 3(13 310)

t = 4(14 641)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Un village de $2000$ habitants augmente de $4\%$ par an. Quelle fonction modélise sa population après $t$ années ?

Exercices pratiques: Modèles de croissance de population

1. Un village de 2000 habitants augmente de 4% par an. Quelle fonction modélise sa population après t années ?
2. Une population de 6000 double tous les 15 ans. Quel modèle donne la population après t années ?
3. La population d'un pays augmente de 2% par an. D'après la règle de 70, en combien de temps environ double-t-elle ?
4. Une population de lapins sur une île a crû de façon exponentielle pendant quelques années, mais sa croissance ralentit maintenant. Quelle est la raison la plus probable ?
5. Les villes A et B comptent toutes deux 10000 habitants aujourd'hui. La ville A gagne 500 habitants par an ; la ville B augmente de 5% par an. Quelle affirmation sur les populations dans 20 ans est vraie ? (Utilise 1,05²⁰ ≈ 2,6533.)
6. Une colonie de 1500 lapins augmente de 10% par an. Combien y a-t-il de lapins au bout d'un an ?
7. Une ville de 4000 habitants double tous les 8 ans. Quelle est sa population au bout de 24 ans ?
8. Une population de poissons augmente de 7% par an. Utilise la règle de 70 pour estimer son temps de doublement en années.
9. Un village comptait 2500 habitants en 2023 et 2600 en 2024. Quel est son taux de croissance annuel en pourcentage ? (Écris seulement le nombre, par exemple 5.)
10. Une culture de 200 bactéries double toutes les 25 minutes. Au bout de combien de minutes y aura-t-il 12800 bactéries ?
11. Une ville de 30000 habitants augmente de 2% par an. Quelle est sa population au bout de 2 ans ?
12. Un échantillon de 50 bactéries double toutes les 10 minutes. Combien y a-t-il de bactéries au bout d'une heure ?
13. Un lac comptait 800 poissons l'an dernier et en compte 880 cette année. En supposant la même croissance annuelle en pourcentage, combien y a-t-il de poissons 2 ans après le comptage de 800 ?
14. Un pays de 5 millions d'habitants augmente de 1,4% par an. Utilise la règle de 70 pour estimer sa population dans 100 ans (en millions).
15. Une population de 1000 cerfs double tous les 10 ans. Estime la population au bout de 5 ans. (Arrondis 2^{0{,}5} à 3 décimales.)
16. Une ville comptait 40000 habitants en 2020 et 44000 en 2021. Fais une prévision pour 2023 avec un modèle linéaire et avec un modèle exponentiel. De combien la prévision exponentielle est-elle plus grande ?
17. Une ville comptait 5000 habitants en 2018 et 7200 en 2020. En supposant la même croissance annuelle en pourcentage, prédis la population en 2022.
18. Une population de 10000 augmente de 5% par an. Estime le temps de doublement avec la règle de 70, puis vérifie l'estimation : quelle est la population au bout de ce nombre d'années ?

Pourquoi c'est important

Les modèles de population aident à prévoir l'avenir :

Les villes utilisent des prévisions de croissance pour décider combien d'écoles, de logements et de bus il leur faudra dans 10 ou 20 ans
Les biologistes et les médecins prédisent à quelle vitesse les bactéries se multiplient dans un échantillon ou lors d'une infection
Les gestionnaires de la faune suivent les espèces menacées et les espèces invasives pour savoir si une population se rétablit ou explose
Les gouvernements comparent des prévisions linéaires et exponentielles pour planifier l'eau, l'énergie et la nourriture

Connaître la différence entre une droite et une courbe qui ne cesse de doubler peut changer complètement un plan : une prévision exponentielle peut dépasser de plusieurs milliers de personnes une prévision linéaire en quelques décennies seulement. Les vraies populations ne peuvent pas croître exponentiellement pour toujours, donc un bon prévisionniste sait aussi quand le modèle cesse de fonctionner.

Applications dans le monde réel

Urbanisme

Les urbanistes prévoient combien d'habitants une ville aura afin de construire à temps assez d'écoles, de logements et de transports en commun.

Exemple:

Une ville de $250000$ habitants qui augmente de $1\%$ par an aurait environ $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ habitants au bout de 10 ans.

1Essaie par toi-même

Une ville en forte croissance compte $80000$ habitants et augmente de $5\%$ par an.

Combien d'habitants aura-t-elle au bout de 3 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Des bactéries au laboratoire

Les microbiologistes utilisent les temps de doublement pour prévoir quand une culture sera assez grande pour être étudiée, ou à quelle vitesse une infection peut se propager avant un traitement.

Exemple:

Certaines bactéries doublent environ toutes les 20 minutes dans des conditions idéales, soit 3 doublements, c'est-à-dire un facteur $2^3 = 8$ , par heure.

2Essaie par toi-même

Une culture commence avec $1000$ bactéries qui doublent toutes les $20$ minutes.

Combien y a-t-il de bactéries au bout de 1 heure et 40 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Le retour de la faune sauvage

Les équipes de protection de la nature comptent les animaux chaque année, construisent un modèle de croissance à partir des comptages et vérifient si une espèce protégée se rétablit. Elles savent aussi qu'une réserve ne peut nourrir qu'un nombre limité d'animaux, sa capacité de charge, donc la croissance ralentira plus tard.

Exemple:

Si un troupeau passe de $500$ à $540$ animaux en un an, le facteur de croissance est $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , donc le troupeau augmente de $8\%$ par an tant que la nourriture est abondante.

3Essaie par toi-même

Une meute de loups d'une réserve est passée de $64$ à $80$ loups en un an.

Si le même pourcentage annuel se maintient, combien y aura-t-il de loups 2 ans après le comptage de 80 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $80 \cdot (80/64)^2$ :

Points clés

1Une population qui augmente du même pourcentage chaque année suit $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , avec $r$ en écriture décimale
2Avec un temps de doublement $d$ , le modèle est $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , où $\frac{t}{d}$ compte les doublements
3La règle de 70 estime le temps de doublement : $d \approx \frac{70}{\text{taux en pourcentage}}$ ; c'est une approximation, pas une formule exacte
4À partir de deux comptages annuels, le facteur de croissance est $\frac{P_1}{P_0}$ et le taux est $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Les prévisions linéaires ajoutent le même nombre chaque année ; les prévisions exponentielles multiplient, donc elles prennent de l'avance avec le temps
6Les vraies populations ralentissent à l'approche de la capacité de charge de leur milieu, donc les modèles exponentiels conviennent surtout au début de la croissance

Questions fréquentes

Le temps de doublement exact est

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, et pour les petits taux

\ln(1 + r)

est très proche de

r

. Comme

\ln 2 \approx 0{,}693

, le temps de doublement vaut environ

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{pourcentage}}

, arrondi à 70. Tu verras les logarithmes dans une leçon ultérieure ; pour l'instant, utilise la règle comme estimation rapide.

Glossaire

Modèle de population: Une fonction $P(t)$ qui prédit la taille d'une population après un temps $t$
Population initiale: La population $P_0$ au départ, quand $t = 0$
Taux de croissance: Le pourcentage dont la population augmente à chaque période, écrit en décimal $r$ dans la formule
Temps de doublement: Le temps $d$ nécessaire pour qu'une population double
Règle de 70: L'estimation $d \approx \frac{70}{\text{taux en pourcentage}}$ du temps de doublement
Capacité de charge: La plus grande population qu'un milieu peut faire vivre durablement

Carte des formules

Modèle de population avec un taux annuel

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = population initiale, $r$ = taux de croissance annuel en décimal, $t$ = années.

Modèle avec temps de doublement

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = temps de doublement, dans la même unité que $t$. L'exposant $\frac{t}{d}$ est le nombre de doublements.

Règle de 70 (estimation)

d \approx \frac{70}{\text{taux en pourcentage}}

Temps de doublement approximatif. Utilise le taux en pourcentage, par exemple $\frac{70}{2} = 35$ ans pour $2\%$.

Facteur de croissance à partir de deux comptages

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ et $P_1$ sont des comptages réalisés à une période d'intervalle.

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Définition

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Pourquoi c'est important

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Urbanisme

Des bactéries au laboratoire

Le retour de la faune sauvage

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Modèle de population avec un taux annuel

Modèle avec temps de doublement

Règle de 70 (estimation)

Facteur de croissance à partir de deux comptages

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