Évaluer une fonction composée en un point

Si $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^2$, trouvez $(f \circ g)(3)$.

Comprendre la notation: $(f \circ g)(3) = f(g(3))$ = D'abord trouver $g(3)$, puis appliquer $f$

Évaluer la fonction interne: $g(3) = 3^2 = 9$ = $g(3) = 9$

Substituer dans la fonction externe: $f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1$ = $f(9) = 18 + 1$

Calculer le résultat final: $18 + 1 = 19$ = $(f \circ g)(3) = 19$

Answer: $(f \circ g)(3) = 19$

Trouver une formule pour la fonction composée

Si $f(x) = x - 4$ et $g(x) = 3x$, trouvez $(f \circ g)(x)$.

Écrire la composition: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ = Remplacer $x$ dans $f$ par $g(x)$

Substituer $g(x)$ dans $f$: $f(g(x)) = f(3x)$ = L'entrée de $f$ est $3x$

Appliquer la règle de $f$: $f(3x) = (3x) - 4$ = Remplacer $x$ par $3x$ dans $f(x) = x - 4$

Simplifier: $3x - 4$ = $(f \circ g)(x) = 3x - 4$

Answer: $(f \circ g)(x) = 3x - 4$

Comparer l'ordre de composition

Si $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 5$, trouvez $(f \circ g)(x)$ et $(g \circ f)(x)$. Sont-elles égales ?

Trouver $(f \circ g)(x)$: $f(g(x)) = f(x + 5) = (x + 5)^2$ = $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$

Trouver $(g \circ f)(x)$: $g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 5$ = $(g \circ f)(x) = x^2 + 5$

Comparer les résultats: $x^2 + 10x + 25 \neq x^2 + 5$ = Les compositions ne sont PAS égales

Vérifier avec un nombre: Pour $x = 1$ : $(f \circ g)(1) = 36$, $(g \circ f)(1) = 6$ = $36 \neq 6$ confirme qu'elles sont différentes

Answer: $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$ et $(g \circ f)(x) = x^2 + 5$. Elles ne sont PAS égales.

Composition de trois fonctions

Si $f(x) = x + 1$, $g(x) = 2x$ et $h(x) = x^2$, trouvez $(f \circ g \circ h)(2)$.

Comprendre l'ordre: $(f \circ g \circ h)(2) = f(g(h(2)))$ = Commencer par la plus interne : $h(2)$

Évaluer $h(2)$: $h(2) = 2^2 = 4$ = $h(2) = 4$

Évaluer $g(4)$: $g(4) = 2(4) = 8$ = $g(h(2)) = 8$

Évaluer $f(8)$: $f(8) = 8 + 1 = 9$ = $(f \circ g \circ h)(2) = 9$

Answer: $(f \circ g \circ h)(2) = 9$

Mistake: Confondre $(f \circ g)(x)$ avec $f(x) \cdot g(x)$

Why: La notation avec le cercle $\circ$ signifie composition, pas multiplication. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, qui substitue $g(x)$ dans $f$.

Correct: $(f \circ g)(x)$ signifie appliquer $g$ d'abord, puis $f$. La multiplication $f(x) \cdot g(x)$ est une opération complètement différente.

Mistake: Se tromper dans l'ordre

Why: Dans $(f \circ g)(x)$, on pourrait penser que $f$ vient en premier parce qu'il apparaît en premier.

Correct: Lire de l'intérieur vers l'extérieur : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ signifie que $g$ est appliqué en premier, puis $f$.

Mistake: Supposer que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$

Why: Contrairement à la multiplication, la composition n'est généralement PAS commutative.

Correct: Toujours vérifier les deux ordres. Habituellement $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$.

Chaînes de conversion d'unités

Convertir entre unités de mesure nécessite souvent de composer plusieurs fonctions de conversion.

Pour convertir des miles en mètres : d'abord convertir les miles en kilomètres avec $g(x) = 1,609x$, puis les kilomètres en mètres avec $f(x) = 1000x$. Donc $(f \circ g)(x) = 1609x$ mètres.

Programmation informatique

Les appels de fonctions imbriqués en programmation sont des fonctions composées.

En Python, `len(str(n))` compte les chiffres d'un nombre. Ici $g(n) = \text{str}(n)$ convertit en chaîne, et $f(s) = \text{len}(s)$ compte les caractères.

Q: Comment me souvenir quelle fonction appliquer en premier ?

A: Pensez "de l'intérieur vers l'extérieur". Dans $f(g(x))$, $g$ est à l'intérieur, donc il est appliqué en premier. Ensuite $f$ est appliqué à ce résultat. La fonction la plus proche de $x$ vient en premier.

Q: Peut-on composer n'importe quelles deux fonctions ?

A: L'ensemble image (sorties) de la fonction interne doit être dans le domaine de définition (entrées autorisées) de la fonction externe. Par exemple, si $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x - 10$, alors $f(g(5))$ est indéfini car $g(5) = -5$ et on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Q: Y a-t-il un raccourci pour trouver les fonctions composées ?

A: Oui ! Substituez simplement l'expression entière de $g(x)$ partout où vous voyez $x$ dans $f(x)$. Puis simplifiez le résultat.