Fonctions composées

Apprends à combiner deux fonctions pour créer une nouvelle fonction par composition.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une fonction composée est créée lorsqu'une fonction est appliquée au résultat d'une autre fonction. On écrit cela (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ou f(g(x))f(g(x)), lu "f de g de x".
Idée clé : Dans f(g(x))f(g(x)), on évalue d'abord g(x)g(x), puis on utilise ce résultat comme entrée pour ff.
Si f(x)=x2 et g(x)=x+3\text{Si } f(x) = x^2 \text{ et } g(x) = x + 3
Alors (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=(x+3)2\text{Alors } (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2
Important : L'ordre compte ! (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) en général.

Essaie tout de suite

Si f(x)=x+2f(x) = x + 2 et g(x)=3xg(x) = 3x, que vaut (f∘g)(1)(f \circ g)(1) ?

Exemples résolus

Si f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 et g(x)=x2g(x) = x^2, trouve (f∘g)(3)(f \circ g)(3).
1

Comprendre la notation

(f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) → D'abord trouver g(3)g(3), puis appliquer ff
2

Évaluer la fonction interne

g(3)=32=9g(3) = 3^2 = 9 → g(3)=9g(3) = 9
3

Substituer dans la fonction externe

f(g(3))=f(9)=2(9)+1f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 → f(9)=18+1f(9) = 18 + 1
4

Calculer le résultat final

18+1=1918 + 1 = 19 → (f∘g)(3)=19(f \circ g)(3) = 19

Erreurs courantes

Confondre (f∘g)(x)(f \circ g)(x) avec f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Pourquoi c'est faux: La notation avec le cercle ∘\circ signifie composition, pas multiplication. (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)), qui substitue g(x)g(x) dans ff.

Correct: (f∘g)(x)(f \circ g)(x) signifie appliquer gg d'abord, puis ff. La multiplication f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) est une opération complètement différente.

Se tromper dans l'ordre

Pourquoi c'est faux: Dans (f∘g)(x)(f \circ g)(x), on pourrait penser que ff vient en premier parce qu'il apparaît en premier.

Correct: Lire de l'intérieur vers l'extérieur : (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) signifie que gg est appliqué en premier, puis ff.

Supposer que (f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)

Pourquoi c'est faux: Contrairement à la multiplication, la composition n'est généralement PAS commutative.

Correct: Toujours vérifier les deux ordres. Habituellement (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x).

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-8-6-4-20240102030xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Tableau de valeurs

x-3-2-1012
(f∘g)(x) = (x + 5)²4916253649
(g∘f)(x) = x² + 51496569

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = (x + 5)^2

y = x^2 + 5

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Si f(x)=x+2f(x) = x + 2 et g(x)=3xg(x) = 3x, que vaut (f∘g)(1)(f \circ g)(1) ?

Pourquoi c'est important

Les fonctions composées sont essentielles pour :
  • Modéliser des processus complexes : Une conversion de température de Celsius à Fahrenheit, puis à Kelvin, est une composition de deux fonctions
  • Informatique : Les appels de fonctions imbriqués comme `print(len(str(x)))` sont des fonctions composées
  • Économie : Calculer le coût total implique de composer la fonction de coût unitaire avec la fonction de quantité
  • Calcul différentiel : La règle de la chaîne pour les dérivées repose sur la compréhension des fonctions composées
Imagine que tu suis les instructions GPS : d'abord aller au magasin (fonction gg), puis du magasin à la maison (fonction ff). L'ordre est important !

Applications dans le monde réel

Chaînes de conversion d'unités

Convertir entre unités de mesure nécessite souvent de composer plusieurs fonctions de conversion.

Exemple:

Pour convertir des miles en mètres : d'abord convertir les miles en kilomètres avec g(x)=1,609xg(x) = 1,609x, puis les kilomètres en mètres avec f(x)=1000xf(x) = 1000x. Donc (f∘g)(x)=1609x(f \circ g)(x) = 1609x mètres.

1Essaie par toi-même

Un compteur de vitesse européen affiche des kilomètres par heure. Tu dois convertir en mètres par seconde. La fonction g(x)=1000xg(x) = 1000x convertit km en m. La fonction f(x)=x3600f(x) = \frac{x}{3600} convertit par heure en par seconde.

Si une voiture roule à 90 km/h, quelle est sa vitesse en m/s ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule (f∘g)(90)(f \circ g)(90) :

Programmation informatique

Les appels de fonctions imbriqués en programmation sont des fonctions composées.

Exemple:

En Python, `len(str(n))` compte les chiffres d'un nombre. Ici g(n)=str(n)g(n) = \text{str}(n) convertit en chaîne, et f(s)=len(s)f(s) = \text{len}(s) compte les caractères.

2Essaie par toi-même

Un programme utilise f(x)=x+10f(x) = x + 10 pour ajouter un bonus, et g(x)=2xg(x) = 2x pour doubler un score. La fonction composée f(g(x))f(g(x)) double d'abord, puis ajoute le bonus.

Si le score de base d'un joueur est 45, quel est le score final après application de (f∘g)(f \circ g) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule f(g(45))f(g(45)) :

Points clés

  • 1Une fonction composée (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) applique gg d'abord, puis ff au résultat
  • 2L'ordre compte : (f∘g)(x)(f \circ g)(x) n'est généralement PAS égal à (g∘f)(x)(g \circ f)(x)
  • 3Pour évaluer, travailler de l'intérieur vers l'extérieur : d'abord calculer la fonction interne
  • 4La composition est différente de la multiplication : f∘g≠f⋅gf \circ g \neq f \cdot g

Questions fréquentes

Pense "de l'intérieur vers l'extérieur". Dans f(g(x))f(g(x)), gg est à l'intérieur, donc il est appliqué en premier. Ensuite ff est appliqué à ce résultat. La fonction la plus proche de xx vient en premier.
Pense "de l'intérieur vers l'extérieur". Dans f(g(x))f(g(x)), gg est à l'intérieur, donc il est appliqué en premier. Ensuite ff est appliqué à ce résultat. La fonction la plus proche de xx vient en premier.
L'ensemble image (sorties) de la fonction interne doit être dans le domaine de définition (entrées autorisées) de la fonction externe. Par exemple, si f(x)=xf(x) = \sqrt{x} et g(x)=x−10g(x) = x - 10, alors f(g(5))f(g(5)) est indéfini car g(5)=−5g(5) = -5 et on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.
Oui ! Substitue simplement l'expression entière de g(x)g(x) partout où tu vois xx dans f(x)f(x). Puis simplifie le résultat.

Glossaire

Fonction composée
Une fonction formée en appliquant une fonction au résultat d'une autre, écrite (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ou f(g(x))f(g(x))
Fonction interne
Dans (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la fonction interne gg est évaluée en premier
Fonction externe
Dans (f∘g)(x)(f \circ g)(x), la fonction externe ff est appliquée au résultat de gg
Composition de fonctions
L'opération de combiner deux fonctions où la sortie de l'une devient l'entrée de l'autre
Défi du jourUn problème, trois essais

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