Évaluation de la notation fonctionnelle

Soit $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calculez $f(4)$ et $f(-1)$.

Trouvez $f(4)$ en substituant $x = 4$: $f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2$ = $f(4) = 16 - 12 + 2 = 6$

Trouvez $f(-1)$ en substituant $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2$ = $f(-1) = 1 + 3 + 2 = 6$

Vérifiez les calculs: Les deux entrées donnent la sortie 6, ce qui est valide = $f(4) = 6$ et $f(-1) = 6$

Answer: $f(4) = 6$ et $f(-1) = 6$. Note : Différentes entrées peuvent produire la même sortie dans une fonction.

Trouver le domaine et l'image

Trouvez le domaine et l'image de $f(x) = \sqrt{x - 2}$.

Identifiez les restrictions sur le domaine: L'expression sous la racine carrée doit être non négative : $x - 2 \geq 0$ = $x \geq 2$

Écrivez le domaine en notation d'intervalle: Toutes les valeurs de $x$ de 2 à l'infini = Domaine : $[2, \infty)$

Déterminez les sorties possibles: La racine carrée donne toujours des résultats non négatifs = $f(x) \geq 0$

Écrivez l'image en notation d'intervalle: Tous les nombres réels non négatifs = Image : $[0, \infty)$

Answer: Domaine : $[2, \infty)$, Image : $[0, \infty)$

Opérations sur les fonctions

Soient $f(x) = x + 3$ et $g(x) = x^2$. Calculez $(f + g)(2)$ et $(f \cdot g)(2)$.

Comprenez les opérations: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ et $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ = Ajoutez ou multipliez les sorties des fonctions

Calculez $f(2)$ et $g(2)$: $f(2) = 2 + 3 = 5$ et $g(2) = 2^2 = 4$ = $f(2) = 5$, $g(2) = 4$

Trouvez $(f + g)(2)$: $(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 5 + 4$ = $(f + g)(2) = 9$

Trouvez $(f \cdot g)(2)$: $(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 4$ = $(f \cdot g)(2) = 20$

Answer: $(f + g)(2) = 9$ et $(f \cdot g)(2) = 20$

Composition de fonctions

Soient $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^2$. Calculez $(f \circ g)(3)$ et $(g \circ f)(3)$.

Comprenez la notation de composition: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ signifie appliquer $g$ d'abord, puis $f$ = Travaillez de l'intérieur vers l'extérieur

Trouvez $(f \circ g)(3)$: D'abord : $g(3) = 3^2 = 9$. Puis : $f(9) = 2(9) + 1 = 19$ = $(f \circ g)(3) = 19$

Trouvez $(g \circ f)(3)$: D'abord : $f(3) = 2(3) + 1 = 7$. Puis : $g(7) = 7^2 = 49$ = $(g \circ f)(3) = 49$

Comparez les résultats: $19 \neq 49$ = L'ordre compte ! $(f \circ g) \neq (g \circ f)$

Answer: $(f \circ g)(3) = 19$ et $(g \circ f)(3) = 49$. La composition n'est pas commutative.

Fonctions par morceaux

Évaluez la fonction par morceaux pour $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$ : $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Évaluez $f(-2)$: Puisque $-2 < 0$, utilisez le premier morceau : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ = $f(-2) = 4$

Évaluez $f(0)$: Puisque $0 \geq 0$, utilisez le second morceau : $f(0) = 2(0) + 1 = 1$ = $f(0) = 1$

Évaluez $f(3)$: Puisque $3 \geq 0$, utilisez le second morceau : $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ = $f(3) = 7$

Résumez les résultats: Chaque entrée tombe dans exactement un morceau = $f(-2) = 4$, $f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Answer: $f(-2) = 4$, $f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Mistake: Confondre $f(x + 2)$ avec $f(x) + 2$

Why: $f(x + 2)$ signifie substituer $(x + 2)$ dans la fonction, tandis que $f(x) + 2$ signifie ajouter 2 à la sortie.

Correct: Pour $f(x) = x^2$ : $f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$, mais $f(x) + 2 = x^2 + 2$. Très différent !

Mistake: Inverser l'ordre de composition : penser que $(f \circ g)(x) = g(f(x))$

Why: La notation peut être déroutante. La fonction à droite est appliquée en premier.

Correct: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : Appliquez $g$ d'abord, puis appliquez $f$ au résultat.

Mistake: Oublier de vérifier les restrictions du domaine lors de la recherche de l'image

Why: L'image dépend des entrées autorisées. Un domaine restreint limite souvent aussi l'image.

Correct: Pour $f(x) = x^2$ avec domaine $[0, 3]$, l'image est $[0, 9]$, pas $(-\infty, \infty)$.

Mistake: Supposer que toutes les relations sont des fonctions

Why: Toute équation ou tout graphique ne représente pas une fonction. Le test de la droite verticale doit être réussi.

Correct: $x^2 + y^2 = 4$ (un cercle) N'EST PAS une fonction car les droites verticales peuvent le couper deux fois.

Conversion de température

La conversion entre Celsius et Fahrenheit est une application de la composition de fonctions.

Si $C(f) = \frac{5}{9}(f - 32)$ convertit Fahrenheit en Celsius, alors $C(68) = \frac{5}{9}(68 - 32) = \frac{5}{9}(36) = 20$ degrés Celsius.

Calculateur de frais d'expédition

De nombreuses entreprises utilisent des fonctions par morceaux pour calculer les frais d'expédition en fonction du poids.

Une entreprise facture selon le poids : 5 euros pour les colis jusqu'à 1 kg, puis 3 euros par kg supplémentaire.

Q: Une fonction peut-elle avoir la même sortie pour différentes entrées ?

A: Oui ! Par exemple, $f(x) = x^2$ donne $f(2) = f(-2) = 4$. La règle est que chaque entrée a UNE sortie, mais différentes entrées peuvent partager la même sortie.

Q: Quelle est la différence entre $f(x)$ et $f$ ?

A: $f$ est la fonction elle-même (une règle ou un processus), tandis que $f(x)$ est la valeur de sortie quand vous entrez $x$. Pensez à $f$ comme une machine et à $f(x)$ comme ce qui sort quand vous y mettez $x$.

Q: Pourquoi l'ordre compte-t-il dans la composition ?

A: Parce que vous appliquez des transformations en séquence. Si $f$ double et $g$ ajoute 3 : $f(g(2)) = f(5) = 10$, mais $g(f(2)) = g(4) = 7$. Des processus différents donnent des résultats différents.