Évaluation de la notation fonctionnelle

Soit $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcule $f(4)$ et $f(-1)$.

Trouve $f(4)$ en substituant $x = 4$: $f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2$ = $f(4) = 16 - 12 + 2 = 6$

Trouve $f(-1)$ en substituant $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2$ = $f(-1) = 1 + 3 + 2 = 6$

Vérifie les calculs: Les deux entrées donnent la sortie 6, ce qui est valide = $f(4) = 6$ et $f(-1) = 6$

Answer: $f(4) = 6$ et $f(-1) = 6$. Note : Différentes entrées peuvent produire la même sortie dans une fonction.

Trouver le domaine et l'image

Trouve le domaine et l'image de $f(x) = \sqrt{x - 2}$.

Identifie les restrictions sur le domaine: L'expression sous la racine carrée doit être non négative : $x - 2 \geq 0$ = $x \geq 2$

Écris le domaine en notation d'intervalle: Toutes les valeurs de $x$ de 2 à l'infini = Domaine : $[2, \infty)$

Détermine les sorties possibles: La racine carrée donne toujours des résultats non négatifs = $f(x) \geq 0$

Écris l'image en notation d'intervalle: Tous les nombres réels non négatifs = Image : $[0, \infty)$

Answer: Domaine : $[2, \infty)$, Image : $[0, \infty)$

Opérations sur les fonctions

Soient $f(x) = x + 3$ et $g(x) = x^2$. Calcule $(f + g)(2)$ et $(f \cdot g)(2)$.

Comprends les opérations: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ et $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ = Ajoute ou multiplie les sorties des fonctions

Calcule $f(2)$ et $g(2)$: $f(2) = 2 + 3 = 5$ et $g(2) = 2^2 = 4$ = $f(2) = 5$, $g(2) = 4$

Trouve $(f + g)(2)$: $(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 5 + 4$ = $(f + g)(2) = 9$

Trouve $(f \cdot g)(2)$: $(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 4$ = $(f \cdot g)(2) = 20$

Answer: $(f + g)(2) = 9$ et $(f \cdot g)(2) = 20$

Composition de fonctions

Soient $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^2$. Calcule $(f \circ g)(3)$ et $(g \circ f)(3)$.

Comprends la notation de composition: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ signifie appliquer $g$ d'abord, puis $f$ = Travaille de l'intérieur vers l'extérieur

Trouve $(f \circ g)(3)$: D'abord : $g(3) = 3^2 = 9$. Puis : $f(9) = 2(9) + 1 = 19$ = $(f \circ g)(3) = 19$

Trouve $(g \circ f)(3)$: D'abord : $f(3) = 2(3) + 1 = 7$. Puis : $g(7) = 7^2 = 49$ = $(g \circ f)(3) = 49$

Compare les résultats: $19 \neq 49$ = L'ordre compte ! $(f \circ g) \neq (g \circ f)$

Answer: $(f \circ g)(3) = 19$ et $(g \circ f)(3) = 49$. La composition n'est pas commutative.

Fonctions par morceaux

Évalue la fonction par morceaux pour $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$ : $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Évalue $f(-2)$: Puisque $-2 < 0$, utilise le premier morceau : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ = $f(-2) = 4$

Évalue $f(0)$: Puisque $0 \geq 0$, utilise le second morceau : $f(0) = 2(0) + 1 = 1$ = $f(0) = 1$

Évalue $f(3)$: Puisque $3 \geq 0$, utilise le second morceau : $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ = $f(3) = 7$

Résume les résultats: Chaque entrée tombe dans exactement un morceau = $f(-2) = 4$, $f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Answer: $f(-2) = 4$, $f(0) = 1$, $f(3) = 7$

Mistake: Confondre $f(x + 2)$ avec $f(x) + 2$

Why: $f(x + 2)$ signifie substituer $(x + 2)$ dans la fonction, tandis que $f(x) + 2$ signifie ajouter 2 à la sortie.

Correct: Pour $f(x) = x^2$ : $f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$, mais $f(x) + 2 = x^2 + 2$. Très différent !

Mistake: Inverser l'ordre de composition : penser que $(f \circ g)(x) = g(f(x))$

Why: La notation peut être déroutante. La fonction à droite est appliquée en premier.

Correct: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : Applique $g$ d'abord, puis applique $f$ au résultat.

Mistake: Oublier de vérifier les restrictions du domaine lors de la recherche de l'image

Why: L'image dépend des entrées autorisées. Un domaine restreint limite souvent aussi l'image.

Correct: Pour $f(x) = x^2$ avec domaine $[0, 3]$, l'image est $[0, 9]$, pas $[0, \infty)$ (l'image sur tous les réels).

Mistake: Supposer que toutes les relations sont des fonctions

Why: Toute équation ou tout graphique ne représente pas une fonction. Le test de la droite verticale doit être réussi.

Correct: $x^2 + y^2 = 4$ (un cercle) N'EST PAS une fonction car les droites verticales peuvent le couper deux fois.

Conversion de température

Convertir une température vers une deuxième échelle, puis vers une troisième, enchaîne deux fonctions : c'est une composition.

Si $C(t) = \frac{5}{9}(t - 32)$ convertit Fahrenheit en Celsius, alors $C(68) = \frac{5}{9}(68 - 32) = \frac{5}{9}(36) = 20$ degrés Celsius.

Calculateur de frais d'expédition

De nombreuses entreprises utilisent des fonctions par morceaux pour calculer les frais d'expédition en fonction du poids.

Une entreprise facture selon le poids : 5 euros pour les colis jusqu'à 1 kg, puis 3 euros par kg supplémentaire.

Q: Une fonction peut-elle avoir la même sortie pour différentes entrées ?

A: Oui ! Par exemple, $f(x) = x^2$ donne $f(2) = f(-2) = 4$. La règle est que chaque entrée a UNE sortie, mais différentes entrées peuvent partager la même sortie.

Q: Quelle est la différence entre $f(x)$ et $f$ ?

A: $f$ est la fonction elle-même (une règle ou un processus), tandis que $f(x)$ est la valeur de sortie quand tu entres $x$. Pense à $f$ comme une machine et à $f(x)$ comme ce qui sort quand tu y mets $x$.

Q: Pourquoi l'ordre compte-t-il dans la composition ?

A: Parce que tu appliques des transformations en séquence. Si $f$ double et $g$ ajoute 3 : $f(g(2)) = f(5) = 10$, mais $g(f(2)) = g(4) = 7$. Des processus différents donnent des résultats différents.