Révision des fonctions

Maîtrise les fondamentaux des fonctions, y compris la notation, le domaine, l'image et les opérations avant d'aborder l'analyse.

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Définition

Une fonction est une relation où chaque entrée a exactement une sortie. On écrit f(x)f(x) pour désigner la sortie de la fonction ff quand l'entrée est xx.
Concepts clés des fonctions :
Notation fonctionnelle :
f(x)=expression contenant xf(x) = \text{expression contenant } x
Par exemple, si f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3, alors :
  • f(1)=2(1)+3=5f(1) = 2(1) + 3 = 5
  • f(−2)=2(−2)+3=−1f(-2) = 2(-2) + 3 = -1
Domaine et image :
  • Domaine : Toutes les valeurs d'entrée possibles (valeurs de xx)
  • Image : Toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs de yy ou f(x)f(x))
Test de la droite verticale : Un graphique représente une fonction si et seulement si toute droite verticale coupe le graphique au plus une fois.

Essaie tout de suite

Si f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2, que vaut f(4)f(4) ?

Exemples résolus

Soit f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2. Calcule f(4)f(4) et f(−1)f(-1).
1

Trouve f(4)f(4) en substituant x=4x = 4

f(4)=(4)2−3(4)+2f(4) = (4)^2 - 3(4) + 2 → f(4)=16−12+2=6f(4) = 16 - 12 + 2 = 6
2

Trouve f(−1)f(-1) en substituant x=−1x = -1

f(−1)=(−1)2−3(−1)+2f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2 → f(−1)=1+3+2=6f(-1) = 1 + 3 + 2 = 6
3

Vérifie les calculs

Les deux entrées donnent la sortie 6, ce qui est valide → f(4)=6f(4) = 6 et f(−1)=6f(-1) = 6

Erreurs courantes

Confondre f(x+2)f(x + 2) avec f(x)+2f(x) + 2

Pourquoi c'est faux: f(x+2)f(x + 2) signifie substituer (x+2)(x + 2) dans la fonction, tandis que f(x)+2f(x) + 2 signifie ajouter 2 à la sortie.

Correct: Pour f(x)=x2f(x) = x^2 : f(x+2)=(x+2)2=x2+4x+4f(x + 2) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4, mais f(x)+2=x2+2f(x) + 2 = x^2 + 2. Très différent !

Inverser l'ordre de composition : penser que (f∘g)(x)=g(f(x))(f \circ g)(x) = g(f(x))

Pourquoi c'est faux: La notation peut être déroutante. La fonction à droite est appliquée en premier.

Correct: (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) : Applique gg d'abord, puis applique ff au résultat.

Oublier de vérifier les restrictions du domaine lors de la recherche de l'image

Pourquoi c'est faux: L'image dépend des entrées autorisées. Un domaine restreint limite souvent aussi l'image.

Correct: Pour f(x)=x2f(x) = x^2 avec domaine [0,3][0, 3], l'image est [0,9][0, 9], pas [0,∞)[0, \infty) (l'image sur tous les réels).

Supposer que toutes les relations sont des fonctions

Pourquoi c'est faux: Toute équation ou tout graphique ne représente pas une fonction. Le test de la droite verticale doit être réussi.

Correct: x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 (un cercle) N'EST PAS une fonction car les droites verticales peuvent le couper deux fois.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-20246-20246810xy(4 ; 6)(-1 ; 6)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Courbe de la fonction

-4-2024-20246810xy(-2 ; 4)(0 ; 1)(3 ; 7)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

f(x)
  • En x = 0 : à gauche f(x) → 0, à droite f(x) → 1. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). f(0) = 1.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x^2 - 3x + 2

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Si f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2, que vaut f(4)f(4) ?

Pourquoi c'est important

Les fonctions sont le fondement de toutes les mathématiques avancées :
  • Physique : Les équations du mouvement comme s(t)=12gt2s(t) = \frac{1}{2}gt^2 décrivent la position en fonction du temps
  • Économie : Les courbes d'offre et de demande modélisent les relations de prix
  • Informatique : Chaque programme est essentiellement une collection de fonctions transformant des entrées en sorties
  • Ingénierie : Les fonctions de transfert décrivent comment les systèmes répondent aux entrées
  • Biologie : Les modèles de population utilisent des fonctions pour prédire la croissance au fil du temps
Maîtriser les fonctions est essentiel pour le calcul différentiel, où tu étudieras comment les fonctions changent et s'accumulent.

Applications dans le monde réel

Conversion de température

Convertir une température vers une deuxième échelle, puis vers une troisième, enchaîne deux fonctions : c'est une composition.

Exemple:

Si C(t)=59(t−32)C(t) = \frac{5}{9}(t - 32) convertit Fahrenheit en Celsius, alors C(68)=59(68−32)=59(36)=20C(68) = \frac{5}{9}(68 - 32) = \frac{5}{9}(36) = 20 degrés Celsius.

1Essaie par toi-même

Une application météo convertit Kelvin en Celsius avec C(k)=k−273C(k) = k - 273 et Celsius en Fahrenheit avec F(c)=95c+32F(c) = \frac{9}{5}c + 32.

Trouve la température en Fahrenheit quand il fait 300 Kelvin.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule F(C(300))F(C(300)) : convertis d'abord 300 K en Celsius, puis en Fahrenheit (un calcul ou sa valeur) :

Calculateur de frais d'expédition

De nombreuses entreprises utilisent des fonctions par morceaux pour calculer les frais d'expédition en fonction du poids.

Exemple:

Une entreprise facture selon le poids : 5 euros pour les colis jusqu'à 1 kg, puis 3 euros par kg supplémentaire.

2Essaie par toi-même

Fonction de coût d'expédition : C(w)=5C(w) = 5 pour w≤1w \leq 1, C(w)=5+3(w−1)C(w) = 5 + 3(w - 1) pour w>1w > 1.

Quel est le coût pour expédier un colis de 4 kg ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Puisque 4 > 1, utilise la seconde formule :

Points clés

  • 1Une fonction assigne exactement une sortie à chaque entrée : f(x)=yf(x) = y
  • 2Le domaine est l'ensemble de toutes les entrées valides ; l'image est l'ensemble de toutes les sorties possibles
  • 3Opérations sur les fonctions : (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
  • 4Composition : (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) - applique la fonction intérieure en premier
  • 5Le test de la droite verticale détermine si un graphique représente une fonction

Questions fréquentes

Oui ! Par exemple, f(x)=x2f(x) = x^2 donne f(2)=f(−2)=4f(2) = f(-2) = 4. La règle est que chaque entrée a UNE sortie, mais différentes entrées peuvent partager la même sortie.
Oui ! Par exemple, f(x)=x2f(x) = x^2 donne f(2)=f(−2)=4f(2) = f(-2) = 4. La règle est que chaque entrée a UNE sortie, mais différentes entrées peuvent partager la même sortie.
ff est la fonction elle-même (une règle ou un processus), tandis que f(x)f(x) est la valeur de sortie quand tu entres xx. Pense à ff comme une machine et à f(x)f(x) comme ce qui sort quand tu y mets xx.
Parce que tu appliques des transformations en séquence. Si ff double et gg ajoute 3 : f(g(2))=f(5)=10f(g(2)) = f(5) = 10, mais g(f(2))=g(4)=7g(f(2)) = g(4) = 7. Des processus différents donnent des résultats différents.

Glossaire

Fonction
Une relation où chaque entrée a exactement une sortie
Domaine
L'ensemble de toutes les valeurs d'entrée possibles pour une fonction
Image
L'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles d'une fonction
Notation fonctionnelle
Écrire f(x)f(x) pour représenter la sortie de la fonction ff pour l'entrée xx
Composition
Appliquer une fonction à la sortie d'une autre : (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))
Fonction par morceaux
Une fonction définie par différentes expressions pour différentes parties de son domaine
Test de la droite verticale
Un test graphique : si une droite verticale coupe un graphique plus d'une fois, ce n'est pas une fonction
Défi du jourUn problème, trois essais

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