Vérifier la continuité d'un polynôme

La fonction $f(x) = x^2 - 3x + 1$ est-elle continue en $x = 2$ ? Vérifie les trois conditions.

Condition 1 : $f(2)$ est-elle définie ?: $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ = $f(2) = -1$

Condition 2 : la limite existe-t-elle ?: $f$ est un polynôme, on trouve donc la limite par substitution directe : $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ = La limite existe et vaut $-1$

Condition 3 : comparer la limite et la valeur: $\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ = Les trois conditions sont vérifiées

Answer: Oui, $f$ est continue en $x = 2$ (en tant que polynôme, elle est même continue partout).

Quand la limite et la valeur ne coïncident pas

Soit $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ pour $x \neq 3$ et $g(3) = 5$. La fonction $g$ est-elle continue en $x = 3$ ?

Condition 1 : $g(3)$ est-elle définie ?: La définition donne directement $g(3) = 5$ = Oui, $g(3) = 5$

Condition 2 : calculer la limite: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ pour $x \neq 3$, donc $\lim_{x \to 3} g(x) = 3 + 3$ = La limite existe et vaut $6$

Condition 3 : comparer: $\lim_{x \to 3} g(x) = 6$, mais $g(3) = 5$ = $6 \neq 5$ : la condition 3 n'est pas vérifiée

Comment la réparer ?: Redéfinir la seule valeur $g(3) = 6$ = Alors $g$ serait continue en $3$

Answer: Non. La limite existe ($6$) et $g(3)$ est définie ($5$), mais elles ne sont pas égales, donc $g$ n'est pas continue en $x = 3$. Poser $g(3) = 6$ la rendrait continue. Le deuxième graphique ci-dessous le montre : un rond vide en $(3, 6)$ et, en dessous, le point plein $g(3) = 5$.

Où une fonction rationnelle est-elle continue ?

Sur quels intervalles $h(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ est-elle continue ?

Rappeler la règle: Une fonction rationnelle est continue partout sauf là où son dénominateur vaut $0$ = Chercher les zéros de $x^2 - 4$

Résoudre dénominateur $= 0$: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0$ = $x = 2$ ou $x = -2$

Écrire les intervalles: Retirer $-2$ et $2$ de la droite réelle = $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$

Answer: $h$ est continue sur $(-\infty, -2)$, sur $(-2, 2)$ et sur $(2, \infty)$. Elle n'est discontinue qu'en $x = -2$ et $x = 2$, où elle n'est pas définie.

Trouver k pour qu'une fonction par morceaux soit continue

Trouve $k$ pour que $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 2 \\ kx - 1, & x > 2 \end{cases}$ soit continue partout.

Chaque morceau est un polynôme: Les deux morceaux sont continus sur leurs intervalles, il suffit donc de vérifier le point de raccord $x = 2$ = Vérifier $x = 2$

Valeur et limite à gauche (premier morceau): $f(2) = 2^2 + 1$ et $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1$ = Les deux valent $5$

Limite à droite (second morceau): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = k \cdot 2 - 1$ = $2k - 1$

Faire se rejoindre les deux côtés: $2k - 1 = 5 \Rightarrow 2k = 6$ = $k = 3$

Vérification: Avec $k = 3$ : $3 \cdot 2 - 1 = 5$, donc les deux limites latérales valent $5 = f(2)$ = Continue en $x = 2$

Answer: $k = 3$. Essaie dans le graphique interactif ci-dessous : place le curseur sur $k = 3$ et les deux morceaux se rejoignent au point $(2, 5)$.

Théorème des valeurs intermédiaires : prouver qu'une racine existe

Montre que $x^3 + x - 1 = 0$ a une solution entre $x = 0$ et $x = 1$.

Nommer la fonction et vérifier la continuité: $f(x) = x^3 + x - 1$ est un polynôme = $f$ est continue sur $[0, 1]$

Calculer aux bornes: $f(0) = 0 + 0 - 1$ et $f(1) = 1 + 1 - 1$ = $f(0) = -1$, $f(1) = 1$

$0$ est-il entre les deux valeurs ?: $-1 < 0 < 1$ = Oui, le signe change

Appliquer le TVI: Une fonction continue qui passe de $-1$ à $1$ prend forcément la valeur $0$ entre les deux = Il existe $c$ dans $(0, 1)$ avec $f(c) = 0$

Answer: D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre $c$ entre $0$ et $1$ tel que $c^3 + c - 1 = 0$. Le troisième graphique ci-dessous le montre : $c \approx 0{,}68$.

Mistake: Vérifier seulement que $f(a)$ existe et en conclure que $f$ est continue

Why: Une fonction peut avoir une valeur en $a$ et pourtant y faire un saut. Par exemple $f(x) = 1$ pour $x < 0$ et $f(x) = 2$ pour $x \geq 0$ donne $f(0) = 2$, mais la limite à gauche vaut $1$.

Correct: Vérifie toujours les trois conditions : $f(a)$ est définie, la limite existe, et la limite est égale à $f(a)$.

Mistake: Croire que si la limite existe, la fonction est forcément continue

Why: La limite ne tient pas compte de ce qui se passe exactement en $x = a$. Dans l'exemple 2, la limite vaut $6$, mais le point est en $g(3) = 5$.

Correct: Après avoir trouvé la limite, compare-la avec la vraie valeur $f(a)$. Elles doivent être égales.

Mistake: Chercher $k$ en remplaçant le point de raccord dans un seul morceau

Why: La continuité au point de raccord consiste à faire se rejoindre les deux morceaux : un seul morceau ne donne aucune équation pour $k$.

Correct: Calcule les deux morceaux au point de raccord (limite à gauche et limite à droite) et égalise-les : dans l'exemple 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$.

Mistake: Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction qui n'est pas continue sur l'intervalle

Why: $f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$, mais ne s'annule jamais. Le TVI ne s'applique pas car $f$ n'est pas définie en $x = 0$.

Correct: Avant d'utiliser le TVI, vérifie que $f$ est continue sur tout l'intervalle fermé $[a, b]$.

Des tarifs de parking équitables

Un parking applique un tarif pour les courtes durées et un autre pour les longues. Si les formules ne coïncident pas au moment du changement, le prix fait un saut, et un conducteur qui reste une minute de plus paie beaucoup plus ou beaucoup moins.

Un tarif de $C(t) = 5t$ € jusqu'à 2 heures puis $C(t) = 3t + 4$ € ensuite donne $C(2) = 10$ € avec les deux formules : le tarif ne fait pas de saut.

L'altitude en randonnée et le TVI

Ton altitude en randonnée varie de façon continue avec le temps : tu ne peux pas te téléporter d'une hauteur à une autre. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors que tu es passé par toutes les altitudes entre le départ et l'arrivée.

Si tu pars de 800 m et atteins un sommet à 2000 m, à un certain moment tu étais exactement à 1500 m, même si tu n'as pas regardé ta montre à cet instant.

Raccorder deux tronçons de route

Les concepteurs de routes et de voies ferrées décrivent un tracé avec des formules différentes selon les tronçons. À chaque raccord, les hauteurs doivent coïncider : c'est la condition pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.

Une rampe de hauteur $y = 0{,}5x$ pour $x \leq 2$, suivie de $y = -0{,}25x + 1{,}5$ pour $x > 2$ (en mètres), se raccorde à $y = 1$ m : il n'y a pas de marche.

Q: La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est-elle continue ?

A: Elle est continue sur son ensemble de définition, c'est-à-dire en tout $x \neq 0$. En $x = 0$, elle n'est pas définie, donc pas continue. Quand on dit qu'une fonction est continue sans préciser de point, on veut généralement dire continue sur tout son ensemble de définition.

Q: Pourquoi la substitution directe donne-t-elle la limite pour les polynômes ?

A: Parce que les polynômes sont continus partout, et être continue signifie exactement $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. La limite est donc la valeur de la fonction. Si la substitution donne $\frac{0}{0}$, la fonction n'est pas continue en ce point, et il faut d'abord simplifier.

Q: Le TVI me dit-il où se trouve la racine ?

A: Non. Il garantit seulement qu'il existe au moins un $c$ dans $(a, b)$. Pour l'encadrer, tu peux couper l'intervalle en deux encore et encore et garder la moitié où le signe change (méthode de dichotomie).

Q: Une fonction peut-elle être continue partout et avoir un point anguleux ?

A: Oui. $f(x) = |x|$ a un point anguleux en $x = 0$, mais tu peux la tracer sans lever le crayon, et $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Les points anguleux comptent pour la dérivée, pas pour la continuité.