Pourquoi la substitution directe donne-t-elle la limite pour les polynômes ?

Parce que les polynômes sont continus partout, et être continue signifie exactement $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. La limite est donc la valeur de la fonction. Si la substitution donne $\frac{0}{0}$, la fonction n'est pas continue en ce point, et il faut d'abord simplifier.

Le TVI me dit-il où se trouve la racine ?

Non. Il garantit seulement qu'il existe au moins un $c$ dans $(a, b)$. Pour l'encadrer, tu peux couper l'intervalle en deux encore et encore et garder la moitié où le signe change (méthode de dichotomie).

Une fonction peut-elle être continue partout et avoir un point anguleux ?

Oui. $f(x) = |x|$ a un point anguleux en $x = 0$, mais tu peux la tracer sans lever le crayon, et $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Les points anguleux comptent pour la dérivée, pas pour la continuité.

Ressources enseignants

Continuité

Découvre les trois conditions de la continuité, où les fonctions usuelles sont continues, comment trouver une constante qui rend continue une fonction définie par morceaux, et le théorème des valeurs intermédiaires.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une fonction

f

est **continue en

x = a

** si sa courbe n'a pas de coupure à cet endroit : tu peux passer par le point sans lever ton crayon. Avec les limites, trois conditions doivent toutes être vraies :

1. $f(a)$ est définie (la courbe a un point en $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe (la limite à gauche et la limite à droite sont égales)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (la limite est égale à la valeur de la fonction)

f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Si une seule condition n'est pas vérifiée,

f

présente une discontinuité en

x = a

. Les différents types de coupures (trous, sauts, asymptotes verticales) sont étudiés dans la leçon Types de discontinuités.

Continuité sur un intervalle :

f

est continue sur un intervalle ouvert

(a, b)

si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Sur un intervalle fermé

[a, b]

, il faut en plus

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

aux bornes.

Fonctions continues sur tout leur ensemble de définition :

les polynômes (partout)
les fonctions rationnelles (partout sauf là où le dénominateur vaut $0$ )
les fonctions exponentielles $b^x$ et $e^x$ (partout)
les logarithmes $\log_b x$ et $\ln x$ (pour $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (pour $x \geq 0$ )

Les sommes, différences, produits, quotients (là où le dénominateur n'est pas nul) et composées de fonctions continues sont aussi continues. C'est exactement pour cela que la substitution directe fonctionne : pour une fonction continue,

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Essaie tout de suite

Laquelle de ces affirmations n'est PAS l'une des trois conditions pour que

f

soit continue en

x = a

Exemples résolus

La fonction $f(x) = x^2 - 3x + 1$ est-elle continue en $x = 2$ ? Vérifie les trois conditions.

Condition 1 : $f(2)$ est-elle définie ?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Condition 2 : la limite existe-t-elle ?

$f$ est un polynôme, on trouve donc la limite par substitution directe : $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → La limite existe et vaut $-1$

Condition 3 : comparer la limite et la valeur

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Les trois conditions sont vérifiées

Réponse: Oui, $f$ est continue en $x = 2$ (en tant que polynôme, elle est même continue partout).

Erreurs courantes

Vérifier seulement que $f(a)$ existe et en conclure que $f$ est continue

Pourquoi c'est faux: Une fonction peut avoir une valeur en $a$ et pourtant y faire un saut. Par exemple $f(x) = 1$ pour $x < 0$ et $f(x) = 2$ pour $x \geq 0$ donne $f(0) = 2$ , mais la limite à gauche vaut $1$ .

Correct: Vérifie toujours les trois conditions : $f(a)$ est définie, la limite existe, et la limite est égale à $f(a)$ .

Croire que si la limite existe, la fonction est forcément continue

Pourquoi c'est faux: La limite ne tient pas compte de ce qui se passe exactement en $x = a$ . Dans l'exemple 2, la limite vaut $6$ , mais le point est en $g(3) = 5$ .

Correct: Après avoir trouvé la limite, compare-la avec la vraie valeur $f(a)$ . Elles doivent être égales.

Chercher $k$ en remplaçant le point de raccord dans un seul morceau

Pourquoi c'est faux: La continuité au point de raccord consiste à faire se rejoindre les deux morceaux : un seul morceau ne donne aucune équation pour $k$ .

Correct: Calcule les deux morceaux au point de raccord (limite à gauche et limite à droite) et égalise-les : dans l'exemple 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction qui n'est pas continue sur l'intervalle

Pourquoi c'est faux: $f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ , mais ne s'annule jamais. Le TVI ne s'applique pas car $f$ n'est pas définie en $x = 0$ .

Correct: Avant d'utiliser le TVI, vérifie que $f$ est continue sur tout l'intervalle fermé $[a, b]$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

k = 1

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

En x = 2 : à gauche f(x) → 5, à droite f(x) → 1. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). f(2) = 5.

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

En x = 3 : à gauche et à droite g(x) → 6, donc la limite vaut 6. g(3) = 5.

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

f(x) = x³ + x - 1

Zéro (abscisse à l'origine) : (0,68 ; 0)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Laquelle de ces affirmations n'est PAS l'une des trois conditions pour que $f$ soit continue en $x = a$ ?

Pourquoi c'est important

La continuité est la propriété qui fait fonctionner presque toute l'analyse :

Substitution directe : elle n'est permise que parce que les polynômes, les exponentielles et les logarithmes sont continus. La limite est simplement la valeur de la fonction.
Recherche de racines : le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une fonction continue qui change de signe s'annule. Les calculatrices et les ordinateurs s'en servent pour localiser les solutions d'équations.
Modélisation : la température, l'altitude, la distance ou le volume d'eau dans une cuve varient de façon continue avec le temps. Les prix, les tranches d'impôt et les tarifs de parking souvent pas, et il faut alors choisir des constantes pour éviter un saut brutal.
Ingénierie : deux tronçons de route, de rail ou de tuyau doivent se rejoindre à la même hauteur. C'est exactement la condition pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue au point de raccord.

Savoir où une fonction est continue te dit où tu peux te fier à sa courbe, où tu peux substituer, et où il se passe quelque chose de particulier (un trou, un saut, une asymptote).

Applications dans le monde réel

Des tarifs de parking équitables

Un parking applique un tarif pour les courtes durées et un autre pour les longues. Si les formules ne coïncident pas au moment du changement, le prix fait un saut, et un conducteur qui reste une minute de plus paie beaucoup plus ou beaucoup moins.

Exemple:

Un tarif de $C(t) = 5t$ € jusqu'à 2 heures puis $C(t) = 3t + 4$ € ensuite donne $C(2) = 10$ € avec les deux formules : le tarif ne fait pas de saut.

1Essaie par toi-même

Le parking coûte $C(t) = 4t$ € pour $0 \leq t \leq 3$ heures et $C(t) = 2t + k$ € pour $t > 3$ .

Quelle valeur de $k$ rend le tarif continu en $t = 3$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ pour trouver $k$ :

L'altitude en randonnée et le TVI

Ton altitude en randonnée varie de façon continue avec le temps : tu ne peux pas te téléporter d'une hauteur à une autre. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors que tu es passé par toutes les altitudes entre le départ et l'arrivée.

Exemple:

Si tu pars de 800 m et atteins un sommet à 2000 m, à un certain moment tu étais exactement à 1500 m, même si tu n'as pas regardé ta montre à cet instant.

2Essaie par toi-même

Une randonneuse est à 800 m à 8 h et au sommet, à 2000 m, à 13 h. L'altitude est une fonction continue du temps.

Par combien des altitudes 500 m, 1200 m, 1900 m et 2100 m la randonneuse passe-t-elle à coup sûr entre 8 h et 13 h, d'après le TVI ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte les valeurs entre 800 et 2000 :

Raccorder deux tronçons de route

Les concepteurs de routes et de voies ferrées décrivent un tracé avec des formules différentes selon les tronçons. À chaque raccord, les hauteurs doivent coïncider : c'est la condition pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue.

Exemple:

Une rampe de hauteur $y = 0{,}5x$ pour $x \leq 2$ , suivie de $y = -0{,}25x + 1{,}5$ pour $x > 2$ (en mètres), se raccorde à $y = 1$ m : il n'y a pas de marche.

3Essaie par toi-même

Le profil d'une route (en mètres) est $y = 0{,}5x$ pour $0 \leq x \leq 4$ et $y = -0{,}25x + b$ pour $x > 4$ .

Quelle valeur de $b$ rend la route continue en $x = 4$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ pour trouver $b$ :

Points clés

1 $f$ est continue en $x = a$ quand $f(a)$ est définie, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Si l'une des trois conditions n'est pas vérifiée, $f$ présente une discontinuité en $a$ (les types sont traités dans la leçon Types de discontinuités)
3Les polynômes, les exponentielles, $\sin$ et $\cos$ sont continus partout ; les fonctions rationnelles, les logarithmes et les racines sont continus sur leur ensemble de définition
4Sur un intervalle fermé $[a, b]$ , la continuité aux bornes utilise les limites à gauche et à droite
5Pour rendre continue une fonction par morceaux, égalise la limite à gauche, la limite à droite et la valeur à chaque raccord, puis résous pour trouver la constante
6Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $N$ est entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors $f(c) = N$ pour un certain $c$ dans $(a, b)$

Questions fréquentes

Elle est continue sur son ensemble de définition, c'est-à-dire en tout

x \neq 0

. En

x = 0

, elle n'est pas définie, donc pas continue. Quand on dit qu'une fonction est continue sans préciser de point, on veut généralement dire continue sur tout son ensemble de définition.

Glossaire

Continue en un point: $f$ est continue en $a$ si $f(a)$ est définie, si $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et si les deux sont égales
Continue sur un intervalle: Continue en chaque point de l'intervalle, avec les limites à gauche et à droite aux bornes d'un intervalle fermé
Discontinuité: Un point où au moins une des trois conditions de la continuité n'est pas vérifiée
Fonction définie par morceaux: Une fonction définie par des formules différentes sur différents intervalles ; elle ne peut être discontinue qu'aux raccords ou là où un morceau lui-même l'est
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): Une fonction continue sur $[a, b]$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$

Carte des formules

Continuité en un point

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Contient les trois conditions : $f(a)$ définie, la limite existe, et elles sont égales

Condition au point de raccord

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Calculer les deux morceaux au point de raccord, les égaliser et résoudre pour trouver la constante inconnue

Théorème des valeurs intermédiaires

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ pour un } c \in (a, b)

Seulement pour $f$ continue sur $[a, b]$ ; avec $N = 0$, il prouve l'existence d'une racine

Plus sur ce sujet

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Courbe de la fonction

Courbe de la fonction

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Des tarifs de parking équitables

L'altitude en randonnée et le TVI

Raccorder deux tronçons de route

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Continuité en un point

Condition au point de raccord

Théorème des valeurs intermédiaires

Plus sur ce sujet

Introduction aux limites

Notation des limites

Lire une limite sur un graphique

Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs