Un trou et un point pour le même x

La courbe de $f$ est la droite $y = x + 1$ avec un cercle vide en $(2, 3)$ et un point plein en $(2, 5)$ (le premier graphique de cette leçon). Détermine $\lim_{x \to 2} f(x)$ et $f(2)$.

Suis la courbe depuis la gauche: Pour $x = 1{,}9 ;\ 1{,}99 ;\ 1{,}999$, la droite monte vers le cercle vide = La hauteur tend vers $3$

Suis la courbe depuis la droite: Pour $x = 2{,}1 ;\ 2{,}01 ;\ 2{,}001$, la droite descend vers le même cercle vide = La hauteur tend vers $3$

Compare les deux côtés: Les deux côtés vont vers la même hauteur = $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Trouve le point plein en $x = 2$: Le point plein est en $(2, 5)$, hors de la droite = $f(2) = 5$

Answer: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ mais $f(2) = 5$. La limite suit la courbe, la valeur de la fonction est le point plein.

Un trou sans point

Sur le deuxième graphique de cette leçon, $g$ suit $y = (x - 1)^2$ jusqu'à $x = 2$ puis $y = 3 - x$ après $x = 2$, avec un cercle vide en $(2, 1)$ et aucun point plein en $x = 2$. Détermine $\lim_{x \to 2} g(x)$ et $g(2)$.

Côté gauche: La parabole tend vers la hauteur $(2 - 1)^2 = 1$ = Tend vers $1$

Côté droit: La droite tend vers la hauteur $3 - 2 = 1$ = Tend vers $1$

Compare: Les deux côtés vont vers $1$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$

Cherche un point plein en $x = 2$: Il n'y a que le cercle vide, aucun point plein = $g(2)$ n'est pas défini

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$ même si $g(2)$ n'est pas défini. Un point manquant n'empêche pas la limite d'exister.

Un saut : la limite n'existe pas

Sur le même graphique, $g$ suit $y = x + 3$ jusqu'à un point plein en $(-1, 2)$, et juste à droite de $x = -1$ il continue selon $y = (x - 1)^2$, en partant d'un cercle vide en $(-1, 4)$. Détermine $\lim_{x \to -1} g(x)$ et $g(-1)$.

Côté gauche: La droite $y = x + 3$ tend vers la hauteur $-1 + 3 = 2$ = Tend vers $2$

Côté droit: La parabole tend vers la hauteur $(-1 - 1)^2 = 4$ = Tend vers $4$

Compare: $2 \neq 4$ : les deux côtés ne sont pas d'accord = $\lim_{x \to -1} g(x)$ n'existe pas

Lis le point plein: Le point plein est en $(-1, 2)$ = $g(-1) = 2$

Answer: $\lim_{x \to -1} g(x)$ n'existe pas (les côtés tendent vers $2$ et $4$), pourtant $g(-1) = 2$. Une fonction peut avoir une valeur là où elle n'a pas de limite.

Une parabole avec un point déplacé

La courbe de $h$ est la parabole $y = 4 - x^2$, sauf qu'en $x = 1$ il y a un cercle vide en $(1, 3)$ et un point plein en $(1, 0)$. Détermine $\lim_{x \to 1} h(x)$, $h(1)$ et $\lim_{x \to 0} h(x)$.

Hauteur du trou: Les deux côtés de la parabole tendent vers $4 - 1^2 = 3$ = $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$

Valeur en $x = 1$: Le point plein est en $(1, 0)$ = $h(1) = 0$

Limite en $x = 0$: Rien de spécial en $x = 0$ : la courbe passe sans coupure par $(0, 4)$ = $\lim_{x \to 0} h(x) = 4$

Compare avec $h(0)$: Le point $(0, 4)$ est sur la courbe = $h(0) = 4$, comme la limite

Answer: $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$, $h(1) = 0$ et $\lim_{x \to 0} h(x) = h(0) = 4$. Là où la courbe n'a pas de coupure, la limite est égale à la valeur.

Trois limites sur un même graphique

La courbe de $p$ : pour $x < 1$, c'est la droite horizontale $y = 2$ qui se termine par un cercle vide en $(1, 2)$ ; il y a un point plein en $(1, 4)$ ; pour $1 < x \le 3$, c'est la droite $y = x + 1$, qui part d'un cercle vide en $(1, 2)$ et se termine par un point plein en $(3, 4)$ ; pour $x > 3$, c'est la droite $y = 1$, qui part d'un cercle vide en $(3, 1)$. Détermine $\lim_{x \to 1} p(x)$, $\lim_{x \to 2} p(x)$ et $\lim_{x \to 3} p(x)$.

En $x = 1$, les deux côtés: À gauche : $y = 2$. À droite : $y = x + 1 \to 1 + 1 = 2$. Même hauteur = $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$

Compare avec $p(1)$: Le point plein est en $(1, 4)$ = $p(1) = 4 \neq 2$

En $x = 2$: La droite $y = x + 1$ passe sans coupure par $(2, 3)$ = $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$

En $x = 3$, les deux côtés: À gauche : $y = x + 1 \to 4$. À droite : $y = 1$. Hauteurs différentes = $\lim_{x \to 3} p(x)$ n'existe pas

Answer: $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$ (bien que $p(1) = 4$), $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$, et $\lim_{x \to 3} p(x)$ n'existe pas (les côtés tendent vers $4$ et $1$).

Mistake: Prendre le point plein pour la limite : répondre $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ parce qu'il y a un point en $(2, 5)$

Why: La limite décrit où va la courbe près de $x = 2$. Un point isolé hors de la courbe ne change pas la direction de la courbe.

Correct: Suis la courbe des deux côtés : elle va vers le cercle vide à la hauteur $3$, donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, alors que $f(2) = 5$.

Mistake: Dire que la limite n'existe pas parce qu'il y a un trou

Why: Un trou signifie seulement que $f(a)$ manque. La limite ne regarde jamais $x = a$ lui-même, seulement les valeurs autour.

Correct: Si les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite existe et vaut cette hauteur, même quand $f(a)$ n'est pas défini.

Mistake: En cas de saut, donner comme limite la hauteur du point plein (ou d'un seul côté)

Why: Une limite des deux côtés exige que les deux côtés soient d'accord. Lors d'un saut, le côté gauche et le côté droit tendent vers des hauteurs différentes.

Correct: Vérifie les deux côtés. S'ils tendent vers des hauteurs différentes, écris que la limite n'existe pas, quoi que montre le point plein.

Mistake: Répondre avec la valeur de $x$ : écrire $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Why: Le $2$ sous le symbole limite est l'endroit vers lequel va $x$. La limite elle-même est une hauteur, une valeur de $y$.

Correct: Lis la réponse sur l'axe des $y$ : la hauteur vers laquelle tend la courbe quand $x$ s'approche de $2$.

Frais d'envoi avec une limite de poids

Les transporteurs facturent par tranche de poids : le graphique du prix en fonction du poids est donc un escalier avec des sauts aux limites des tranches.

Un transporteur facture 5 € jusqu'à 2 kg et 8 € au-delà de 2 kg. Juste sous 2 kg, le graphique est à 5, juste au-dessus il est à 8 : la limite du prix quand le poids tend vers 2 kg n'existe donc pas.

Une erreur dans les données d'un capteur

Les stations météo et les montres de sport tracent des mesures au cours du temps. Quand une mesure est perdue ou fausse, la courbe a un trou ou un point égaré, et la limite retrouve la vraie tendance.

Une courbe de fréquence cardiaque qui tend vers 120 battements par minute des deux côtés d'un instant, avec une seule mesure fausse de 0 à cet instant, a quand même une limite de 120 en ce point.

Les trous sur une calculatrice graphique

Un logiciel graphique trace $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ comme ce qui ressemble à une droite, mais la fonction trace affiche une erreur en $x = 3$. La courbe a un trou à cet endroit, et sa hauteur est la limite.

Pour $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$, la courbe ressemble à $y = x + 2$ avec un trou en $(2, 4)$ : donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ alors que $f(2)$ n'est pas défini.

Q: La limite peut-elle exister si $f(a)$ n'est pas défini ?

A: Oui. Si la courbe a un trou en $x = a$ et que les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite vaut cette hauteur. Par exemple, $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ n'est pas défini en $x = 2$, mais sa limite en ce point est $4$.

Q: S'il y a un point plein en $x = a$, la limite existe-t-elle forcément ?

A: Non. Le point donne seulement $f(a)$. Lors d'un saut, la courbe a un point plein, mais les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes, donc la limite n'existe pas.

Q: Qu'est-ce que j'écris quand une limite n'existe pas ?

A: Écris : $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe pas, et donne la raison, par exemple : le côté gauche tend vers $2$ et le côté droit vers $4$.

Q: Lire une limite sur un graphique, est-ce précis ?

A: Seulement autant que le graphique. Utilise le quadrillage et les points indiqués, et quand la hauteur ne tombe pas clairement sur une ligne du quadrillage, confirme-la avec un tableau de valeurs ou par le calcul (les leçons suivantes).