S'il y a un point plein en $x = a$, la limite existe-t-elle forcément ?

Non. Le point donne seulement $f(a)$. Lors d'un saut, la courbe a un point plein, mais les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes, donc la limite n'existe pas.

Qu'est-ce que j'écris quand une limite n'existe pas ?

Écris : $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe pas, et donne la raison, par exemple : le côté gauche tend vers $2$ et le côté droit vers $4$.

Lire une limite sur un graphique, est-ce précis ?

Seulement autant que le graphique. Utilise le quadrillage et les points indiqués, et quand la hauteur ne tombe pas clairement sur une ligne du quadrillage, confirme-la avec un tableau de valeurs ou par le calcul (les leçons suivantes).

Ressources enseignants

Lire une limite sur un graphique

Q: La limite peut-elle exister si $f(a)$ n'est pas défini ?

Oui. Si la courbe a un trou en $x = a$ et que les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite vaut cette hauteur. Par exemple, $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ n'est pas défini en $x = 2$, mais sa limite en ce point est $4$.

Lis les limites directement sur un graphique, distingue la limite de la valeur de la fonction et repère quand une limite n'existe pas.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Pour lire une limite sur un graphique, tu lis

\lim_{x \to a} f(x)

directement sur la courbe de

f

. Pose un doigt sur la courbe de chaque côté de

x = a

, glisse vers

x = a

et observe vers quelle hauteur (valeur de

y

) la courbe se dirige.

Si les deux côtés se dirigent vers la même hauteur $L$ , alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Si les deux côtés se dirigent vers des hauteurs différentes, la limite n'existe pas.

Limite et valeur de la fonction. Ce sont deux questions différentes :

$\lim_{x \to a} f(x)$ demande où va la courbe près de $x = a$ .
$f(a)$ demande où se trouve réellement le point plein en $x = a$ .

Un cercle vide (un trou) marque un point qui manque sur le graphique. Un point plein marque la vraie valeur de la fonction. La limite ignore ce qui se passe exactement en

x = a

: un trou, ou un point placé ailleurs, ne change donc pas la limite.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{quand les deux côtés de la courbe tendent vers la hauteur } L

Exemples résolus

La courbe de $f$ est la droite $y = x + 1$ avec un cercle vide en $(2, 3)$ et un point plein en $(2, 5)$ (le premier graphique de cette leçon). Détermine $\lim_{x \to 2} f(x)$ et $f(2)$ .

Suis la courbe depuis la gauche

Pour $x = 1{,}9 ;\ 1{,}99 ;\ 1{,}999$ , la droite monte vers le cercle vide → La hauteur tend vers $3$

Suis la courbe depuis la droite

Pour $x = 2{,}1 ;\ 2{,}01 ;\ 2{,}001$ , la droite descend vers le même cercle vide → La hauteur tend vers $3$

Compare les deux côtés

Les deux côtés vont vers la même hauteur → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Trouve le point plein en $x = 2$

Le point plein est en $(2, 5)$ , hors de la droite → $f(2) = 5$

Réponse: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ mais $f(2) = 5$ . La limite suit la courbe, la valeur de la fonction est le point plein.

Erreurs courantes

Prendre le point plein pour la limite : répondre $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ parce qu'il y a un point en $(2, 5)$

Pourquoi c'est faux: La limite décrit où va la courbe près de $x = 2$ . Un point isolé hors de la courbe ne change pas la direction de la courbe.

Correct: Suis la courbe des deux côtés : elle va vers le cercle vide à la hauteur $3$ , donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , alors que $f(2) = 5$ .

Dire que la limite n'existe pas parce qu'il y a un trou

Pourquoi c'est faux: Un trou signifie seulement que $f(a)$ manque. La limite ne regarde jamais $x = a$ lui-même, seulement les valeurs autour.

Correct: Si les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite existe et vaut cette hauteur, même quand $f(a)$ n'est pas défini.

En cas de saut, donner comme limite la hauteur du point plein (ou d'un seul côté)

Pourquoi c'est faux: Une limite des deux côtés exige que les deux côtés soient d'accord. Lors d'un saut, le côté gauche et le côté droit tendent vers des hauteurs différentes.

Correct: Vérifie les deux côtés. S'ils tendent vers des hauteurs différentes, écris que la limite n'existe pas, quoi que montre le point plein.

Répondre avec la valeur de $x$ : écrire $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Pourquoi c'est faux: Le $2$ sous le symbole limite est l'endroit vers lequel va $x$ . La limite elle-même est une hauteur, une valeur de $y$ .

Correct: Lis la réponse sur l'axe des $y$ : la hauteur vers laquelle tend la courbe quand $x$ s'approche de $2$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

En x = 2 : à gauche et à droite f(x) → 3, donc la limite vaut 3. f(2) = 5.

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

En x = -1 : à gauche g(x) → 2, à droite g(x) → 4. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). g(-1) = 2.
En x = 2 : à gauche et à droite g(x) → 1, donc la limite vaut 1. g(2) n'est pas défini (un trou).

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = (x^2 - 4)/(x - 2)

m=1, b=2

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

La courbe de $f$ est une droite qui passe par un cercle vide en $(3, 4)$ . Il y a aussi un point plein en $(3, 1)$ . Que vaut $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Exercices pratiques: Lire une limite sur un graphique

1. La courbe de f est une droite qui passe par un cercle vide en (3, 4). Il y a aussi un point plein en (3, 1). Que vaut \lim_{x \to 3} f(x) ?
2. La courbe de g est la parabole y = x^2 avec un cercle vide en (2, 4) et un point plein en (2, 0). Que vaut \lim_{x \to 2} g(x) ?
3. La courbe de f est la droite y = x + 2 avec un cercle vide en (1, 3) et un point plein en (1, 6). Détermine \lim_{x \to 1} f(x) et compare-la avec f(1).
4. La courbe de f est une droite qui passe par un cercle vide en (3, 4), avec en plus un point plein en (3, 1). Que vaut f(3) ?
5. La courbe de g est la parabole y = x² avec un cercle vide en (2, 4) et un point plein en (2, 0). Que vaut g(2) ?
6. La courbe de f est la droite y = 4 - x, tracée sans trou ni point supplémentaire. Détermine \lim_{x \to 1} f(x) et vérifie si elle est égale à f(1).
7. Pour x < 2, la courbe de f suit y = x et se termine par un cercle vide en (2, 2). Pour x \ge 2, elle suit y = 5 - x en partant d'un point plein en (2, 3). Que vaut \lim_{x \to 2} f(x) ?
8. La courbe de h est la droite qui passe par (0, -1) et (4, 7), avec un cercle vide en x = 2 et aucun point plein à cet endroit. Que vaut \lim_{x \to 2} h(x) ?
9. Pour x < 2, la courbe de f est la droite y = x, qui se termine par un cercle vide en (2, 2). Pour x \ge 2, c'est la droite y = x + 3, qui part d'un point plein en (2, 5). La limite \lim_{x \to 2} f(x) existe-t-elle, et que vaut f(2) ?
10. Quelle affirmation sur \lim_{x \to a} f(x) est toujours vraie ?
11. Près de x = -2, la courbe de f tend des deux côtés vers un cercle vide en (-2, 3), et il y a un point plein en (-2, -1). Calcule \lim_{x \to -2} f(x) + f(-2).
12. La courbe de g : pour x ≤ -1, c'est y = x + 3, qui se termine par un point plein en (-1, 2) ; pour -1 < x < 2, c'est y = (x - 1)², qui part d'un cercle vide en (-1, 4) ; pour x > 2, c'est y = 3 - x. En x = 2, il y a un cercle vide en (2, 1) et aucun point plein. Lis les limites sur le graphique.
13. La courbe de f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} ressemble à la droite y = x - 1 avec un trou. Utilise le graphique pour déterminer \lim_{x \to -1} f(x).
14. La courbe de f a trois endroits particuliers. En x = 1, la partie gauche s'arrête à la hauteur 2 et la partie droite commence à la hauteur -1. En x = 3, la courbe tend des deux côtés vers un cercle vide en (3, 4), sans point plein. En x = 5, la courbe tend des deux côtés vers (5, 0), mais le point plein est en (5, 3). Pour quelle valeur de a la limite \lim_{x \to a} f(x) n'existe-t-elle pas ?
15. La courbe de f suit y = 3x + k pour x < 2 et y = x^2 pour x > 2, avec des cercles vides aux deux extrémités en x = 2. Pour quelle valeur de k la limite \lim_{x \to 2} f(x) existe-t-elle ?
16. La courbe de q : pour x < 2, c'est y = x^2, qui se termine par un cercle vide en (2, 4) ; il y a un point plein en (2, 1) ; pour 2 < x < 5, c'est y = 6 - x, entre des cercles vides en (2, 4) et (5, 1) ; pour x \ge 5, c'est y = x - 2, qui part d'un point plein en (5, 3). Détermine \lim_{x \to 2} q(x) et q(2), et décide si \lim_{x \to 5} q(x) existe.
17. Pour x < 3, la courbe de f est y = ax, pour x > 3 c'est y = 12 - x, et il y a un point plein en (3, 0). Trouve la valeur de a pour laquelle \lim_{x \to 3} f(x) existe.
18. La courbe de f : pour x \le 0, c'est y = -x, qui se termine par un point plein en (0, 0) ; pour 0 < x < 4, c'est y = x + 2, entre des cercles vides en (0, 2) et (4, 6) ; il y a un point plein en (4, 1) ; pour x > 4, c'est y = 10 - x, qui part d'un cercle vide en (4, 6). Calcule \lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0).

Pourquoi c'est important

Un graphique est souvent le moyen le plus rapide de voir ce que fait une fonction près d'un point :

L'analyse commence ici : la dérivée (pente d'une tangente) est une limite, et tu la découvres d'abord sous forme d'image.
Les vraies données ont des trous et des erreurs : la courbe d'un capteur peut avoir une mesure manquante ou un pic faux. La limite donne la vraie tendance autour de cet instant.
Les prix et les tarifs font des sauts : frais d'envoi, tarifs de taxi et tranches d'impôt ont des graphiques avec des sauts, où la valeur juste avant et juste après une limite de tranche est différente.
La continuité s'appuie dessus : plus tard, tu diras qu'une fonction est continue en $a$ exactement quand la limite existe et vaut $f(a)$ , ce que tu peux vérifier à l'œil sur un graphique.

Lire des limites sur un graphique entraîne le réflexe le plus important de l'analyse : regarder ce qui se passe près d'un point, pas seulement en ce point.

Applications dans le monde réel

Frais d'envoi avec une limite de poids

Les transporteurs facturent par tranche de poids : le graphique du prix en fonction du poids est donc un escalier avec des sauts aux limites des tranches.

Exemple:

Un transporteur facture 5 € jusqu'à 2 kg et 8 € au-delà de 2 kg. Juste sous 2 kg, le graphique est à 5, juste au-dessus il est à 8 : la limite du prix quand le poids tend vers 2 kg n'existe donc pas.

1Essaie par toi-même

Un transporteur facture 5 € pour les colis jusqu'à 2 kg (2 kg compris) et 8 € pour les colis de juste plus de 2 kg jusqu'à 5 kg. Le graphique du prix $C(w)$ a un point plein en $(2, 5)$ et un cercle vide en $(2, 8)$ .

Quelle est la hauteur du saut en $w = 2$ (la hauteur vers laquelle tend le côté droit moins celle vers laquelle tend le côté gauche) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Hauteur à droite moins hauteur à gauche :

Une erreur dans les données d'un capteur

Les stations météo et les montres de sport tracent des mesures au cours du temps. Quand une mesure est perdue ou fausse, la courbe a un trou ou un point égaré, et la limite retrouve la vraie tendance.

Exemple:

Une courbe de fréquence cardiaque qui tend vers 120 battements par minute des deux côtés d'un instant, avec une seule mesure fausse de 0 à cet instant, a quand même une limite de 120 en ce point.

2Essaie par toi-même

Une station météo trace la température $T(t)$ en °C, avec $t$ en heures. Autour de $t = 3$ , la courbe tend vers $18$ °C des deux côtés, mais une erreur a enregistré la valeur isolée $T(3) = 0$ .

Que vaut $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La hauteur vers laquelle tendent les deux côtés :

Les trous sur une calculatrice graphique

Un logiciel graphique trace $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ comme ce qui ressemble à une droite, mais la fonction trace affiche une erreur en $x = 3$. La courbe a un trou à cet endroit, et sa hauteur est la limite.

Exemple:

Pour $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ , la courbe ressemble à $y = x + 2$ avec un trou en $(2, 4)$ : donc $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ alors que $f(2)$ n'est pas défini.

3Essaie par toi-même

Tu traces $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . La fonction trace affiche ERROR en $x = 3$ , et la courbe ressemble à la droite $y = x + 3$ avec un trou.

Que vaut $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La hauteur du trou :

Points clés

1Pour lire $\lim_{x \to a} f(x)$ sur un graphique, suis la courbe des deux côtés vers $x = a$ et lis la hauteur vers laquelle elle tend
2La limite est une valeur de $y$ (une hauteur), pas la valeur $a$ de $x$
3Un cercle vide (trou) marque un point manquant, un point plein marque la vraie valeur $f(a)$
4La limite ignore le point en $x = a$ : un trou ou un point placé ailleurs ne la change pas
5Si les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes (un saut), la limite n'existe pas, quelle que soit la valeur de $f(a)$
6Là où la courbe n'a pas de coupure, la limite est simplement égale à $f(a)$

Questions fréquentes

Oui. Si la courbe a un trou en

x = a

et que les deux côtés tendent vers la hauteur du trou, la limite vaut cette hauteur. Par exemple,

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

n'est pas défini en

x = 2

, mais sa limite en ce point est

4

Glossaire

Limite: La hauteur $L$ vers laquelle tend la courbe de $f$ des deux côtés quand $x$ tend vers $a$ , notée $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Valeur de la fonction $f(a)$: La vraie hauteur de la courbe en $x = a$ , donnée par un point plein ou par la courbe qui passe par $x = a$
Cercle vide (trou): Un point dessiné comme un cercle vide : la courbe s'en approche, mais il ne fait pas partie de la courbe
Point plein: Un point rempli qui fait partie de la courbe et donne la valeur de la fonction à cet endroit
Saut: Un endroit où la courbe s'interrompt et reprend à une autre hauteur, de sorte que les deux côtés tendent vers des valeurs différentes
N'existe pas: Ce qu'on dit d'une limite quand les deux côtés de la courbe ne tendent pas vers la même hauteur

Carte des formules

Lire une limite sur un graphique

\lim_{x \to a} f(x) = L

Les deux côtés de la courbe tendent vers la hauteur $L$ quand $x$ tend vers $a$

Quand la limite n'existe pas

\text{hauteur à gauche} \neq \text{hauteur à droite} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ n'existe pas}

Si les deux côtés tendent vers des hauteurs différentes, $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe pas

Limite et valeur

\lim_{x \to a} f(x) \text{ et } f(a) \text{ peuvent être différents}

La limite suit la courbe près de $a$, la valeur est le point plein en $a$. Elles peuvent être différentes

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