Une limite en un trou

Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Teste le point lui-même: En $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ = $f(2)$ n'est pas définie, il faut donc un tableau

Approche par la gauche: $f(1{,}9) = 3{,}9$, $f(1{,}99) = 3{,}99$, $f(1{,}999) = 3{,}999$ = À gauche, les images tendent vers $4$

Approche par la droite: $f(2{,}1) = 4{,}1$, $f(2{,}01) = 4{,}01$, $f(2{,}001) = 4{,}001$ = À droite, les images tendent vers $4$

Compare les deux côtés: Les deux côtés tendent vers la même valeur = $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$, même si $f(2)$ n'existe pas

Une limite impossible à factoriser

Estime $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ($x$ en radians).

Règle la calculatrice en radians: Les limites avec $\sin x$ utilisent toujours les radians = Mode : RAD

Approche par la droite: $x = 0{,}1$ : $0{,}998334$ ; $x = 0{,}01$ : $0{,}999983$ ; $x = 0{,}001$ : $0{,}9999998$ = Les images tendent vers $1$

Approche par la gauche: $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}$, donc $x = -0{,}1$ donne encore $0{,}998334$ = Mêmes valeurs, qui tendent vers $1$

Conclus: Les deux côtés tendent vers $1$ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Answer: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Quand les deux côtés ne sont pas d'accord

Utilise un tableau de valeurs pour décider si $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existe.

Approche par la gauche: $x = -0{,}1$ : $\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1$ ; $x = -0{,}01$ : $-1$ ; $x = -0{,}001$ : $-1$ = À gauche, les images restent à $-1$

Approche par la droite: $x = 0{,}1$ : $\frac{0{,}1}{0{,}1} = 1$ ; $x = 0{,}01$ : $1$ ; $x = 0{,}001$ : $1$ = À droite, les images restent à $1$

Compare les deux côtés: $-1 \neq 1$ = Les deux côtés tendent vers des nombres différents

Conclus: Une limite des deux côtés exige une seule valeur = $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ n'existe pas

Answer: La limite n'existe pas : à gauche les images tendent vers $-1$, à droite elles tendent vers $1$

Des images qui deviennent aussi grandes qu'on veut

Utilise un tableau de valeurs pour décrire $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$.

Approche par la gauche: $x = 2{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 2{,}99$ : $10\,000$ ; $x = 2{,}999$ : $1\,000\,000$ = Les valeurs explosent vers le haut

Approche par la droite: $x = 3{,}1$ : $100$ ; $x = 3{,}01$ : $10\,000$ ; $x = 3{,}001$ : $1\,000\,000$ = Même explosion vers le haut

Cherche une régularité: Chaque fois que $x$ devient $10$ fois plus proche de $3$, $f(x)$ devient $100$ fois plus grand = Aucun nombre n'est approché

Décris le comportement: Les images deviennent aussi grandes qu'on veut des deux côtés = $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$

Answer: La fonction devient aussi grande qu'on veut : $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$, il n'y a donc pas de limite finie (asymptote verticale $x = 3$)

Quand un tableau te trompe

Une élève utilise $x = 0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ pour estimer $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ et obtient $0$ à chaque fois. La limite vaut-elle $0$ ?

Vérifie ses valeurs: $\sin(10\pi) = 0$, $\sin(100\pi) = 0$, $\sin(1000\pi) = 0$ = Que des zéros, cela semble convaincant

Essaie d'autres valeurs proches de $0$: $x = 0{,}4$ : $\sin(2{,}5\pi) = 1$ ; $x = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$ : $\sin(4{,}5\pi) = 1$ = Des valeurs égales à $1$ apparaissent

Essaie encore d'autres valeurs: $x = \frac{2}{3}$ : $\sin(1{,}5\pi) = -1$ ; $x = \frac{2}{7}$ : $\sin(3{,}5\pi) = -1$ = Des valeurs égales à $-1$ apparaissent aussi

Conclus: Près de $0$, la fonction oscille sans cesse entre $-1$ et $1$ = La limite n'existe pas

Answer: Non. $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ oscille une infinité de fois entre $-1$ et $1$ près de $0$, donc la limite n'existe pas. Les valeurs de $x$ choisies tombaient par hasard sur des zéros.

Mistake: N'utiliser qu'un seul côté de $a$

Why: Un tableau avec seulement $x = 1{,}9$, $1{,}99$, $1{,}999$ montre la limite à gauche. À droite, les images peuvent tendre ailleurs, comme pour $\frac{|x|}{x}$.

Correct: Construis toujours les deux colonnes : des valeurs juste en dessous de $a$ et des valeurs juste au-dessus de $a$.

Mistake: Choisir des valeurs de $x$ qui ne sont pas proches de $a$

Why: Des valeurs comme $x = 1$, $1{,}5$, $2{,}5$, $3$ sont trop éloignées. Loin du point, la fonction peut se comporter de façon très différente.

Correct: Rapproche-toi d'un facteur $10$ à chaque fois : $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$.

Mistake: Mettre $x = a$ dans le tableau et prendre $f(a)$ comme limite

Why: La limite décrit ce qui se passe près de $a$, pas en $a$. En un trou, $f(a)$ peut ne pas être définie, et en un point déplacé ce peut être un autre nombre.

Correct: Laisse $x = a$ hors du tableau et lis seulement la tendance des valeurs voisines.

Mistake: Faire aveuglément confiance à quelques valeurs

Why: Des choix particuliers de $x$ peuvent cacher une oscillation, comme pour $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$, et les arrondis peuvent masquer de petites différences entre les deux côtés.

Correct: Utilise plusieurs valeurs qui ne suivent pas toutes le même schéma, garde assez de décimales et confirme avec un graphique ou un calcul.

Vitesse instantanée en physique

Un compteur de vitesse affiche la vitesse à un instant précis. Les physiciens la trouvent en calculant des vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts et en lisant la tendance dans le tableau.

Une balle tombe de $s(t) = 5t^2$ mètres en $t$ secondes. Vitesses moyennes à partir de $t = 2$ : sur $0{,}1$ s on obtient $20{,}5$ m/s, sur $0{,}01$ s on obtient $20{,}05$ m/s, sur $0{,}001$ s on obtient $20{,}005$ m/s.

Taux de croissance en biologie

Une culture de bactéries qui double chaque heure ne grandit pas par sauts. Son taux de croissance instantané se trouve à l'aide d'un tableau de l'expression $\frac{2^h - 1}{h}$ pour de très petits pas de temps $h$.

Pour $h = 0{,}1$ heure, le tableau donne $0{,}7177$, pour $h = 0{,}01$ il donne $0{,}6956$, pour $h = 0{,}001$ il donne $0{,}6934$ : le taux se stabilise vers $0{,}693$ par heure.

Traitement du signal et audio

Les logiciels audio utilisent des fonctions comme $\frac{\sin(2x)}{x}$ pour filtrer le son. En $x = 0$, la formule donne $\frac{0}{0}$, alors les programmeurs y placent la limite obtenue avec un tableau.

Près de $0$ (en radians), $\frac{\sin(2x)}{x}$ donne $1{,}98669$ en $x = 0{,}1$ et $1{,}99987$ en $x = 0{,}01$.

Q: Combien de valeurs me faut-il dans le tableau ?

A: En général, trois de chaque côté, comme $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, suffisent pour voir une tendance claire. Si la tendance n'est pas nette, ajoute des valeurs encore plus proches, comme $a \pm 0{,}0001$.

Q: Pourquoi ne pas simplement remplacer $x$ par $a$ ?

A: Parce que la limite concerne les valeurs près de $a$, pas en $a$. Souvent $f(a)$ n'est pas définie (un trou ou $\frac{0}{0}$), et parfois elle existe mais diffère de la limite. Le tableau montre la tendance que $f(a)$ ne peut pas montrer.

Q: Un tableau prouve-t-il que la limite est correcte ?

A: Non. Un tableau ne donne que de forts indices. Les résultats exacts viennent du calcul algébrique (Limites par substitution directe, factorisation) ou des théorèmes sur les limites. Les tableaux sont excellents pour estimer et pour vérifier un calcul.

Q: Que signifie le fait que ma calculatrice affiche des valeurs bizarres très près de $a$ ?

A: Avec des écarts extrêmement petits comme $x - a = 0{,}0000000001$, une calculatrice peut perdre des chiffres en soustrayant des nombres presque égaux. Si les valeurs se mettent soudain à sauter, reviens à $a \pm 0{,}001$ ou $a \pm 0{,}0001$, où le calcul reste fiable.