Pourquoi ne pas simplement remplacer $x$ par $a$ ?

Parce que la limite concerne les valeurs près de $a$, pas en $a$. Souvent $f(a)$ n'est pas définie (un trou ou $\frac{0}{0}$), et parfois elle existe mais diffère de la limite. Le tableau montre la tendance que $f(a)$ ne peut pas montrer.

Un tableau prouve-t-il que la limite est correcte ?

Non. Un tableau ne donne que de forts indices. Les résultats exacts viennent du calcul algébrique (Limites par substitution directe, factorisation) ou des théorèmes sur les limites. Les tableaux sont excellents pour estimer et pour vérifier un calcul.

Que signifie le fait que ma calculatrice affiche des valeurs bizarres très près de $a$ ?

Avec des écarts extrêmement petits comme $x - a = 0{,}0000000001$, une calculatrice peut perdre des chiffres en soustrayant des nombres presque égaux. Si les valeurs se mettent soudain à sauter, reviens à $a \pm 0{,}001$ ou $a \pm 0{,}0001$, où le calcul reste fiable.

Ressources enseignants

Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

Q: Combien de valeurs me faut-il dans le tableau ?

En général, trois de chaque côté, comme $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, suffisent pour voir une tendance claire. Si la tendance n'est pas nette, ajoute des valeurs encore plus proches, comme $a \pm 0{,}0001$.

Estime une limite numériquement : construis un tableau de valeurs des deux côtés, rapproche-toi de plus en plus et lis vers quoi tendent les images.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Pour déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs, tu choisis des valeurs de

x

qui se rapprochent de plus en plus de

a

des deux côtés, tu calcules

f(x)

pour chacune et tu observes la valeur vers laquelle tendent les images.

\lim_{x \to a} f(x) = L

Comment construire le tableau :

À gauche ( $x < a$ ) : par exemple $a - 0{,}1$ , $a - 0{,}01$ , $a - 0{,}001$
À droite ( $x > a$ ) : par exemple $a + 0{,}001$ , $a + 0{,}01$ , $a + 0{,}1$
N'utilise pas $x = a$ : la limite ne dépend pas de $f(a)$

Exemple :

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

n'est pas définie en

x = 2

, mais le tableau montre vers quoi elle tend :

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Les deux côtés tendent vers

4

, donc on estime

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Trois résultats possibles :

Les deux côtés tendent vers le même nombre $L$ : la limite vaut $L$
Les deux côtés tendent vers des nombres différents : la limite n'existe pas
Les images deviennent aussi grandes qu'on veut : on écrit $\infty$ (pas de limite finie)

Un tableau donne une estimation, pas une preuve. C'est le côté numérique de la même idée que dans la leçon Lire une limite sur un graphique.

Essaie tout de suite

Tu veux estimer

\lim_{x \to 3} f(x)

avec un tableau de valeurs. Quelles valeurs de

x

sont le meilleur choix ?

Exemples résolus

Utilise un tableau de valeurs pour estimer $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Teste le point lui-même

En $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → $f(2)$ n'est pas définie, il faut donc un tableau

Approche par la gauche

$f(1{,}9) = 3{,}9$ , $f(1{,}99) = 3{,}99$ , $f(1{,}999) = 3{,}999$ → À gauche, les images tendent vers $4$

Approche par la droite

$f(2{,}1) = 4{,}1$ , $f(2{,}01) = 4{,}01$ , $f(2{,}001) = 4{,}001$ → À droite, les images tendent vers $4$

Compare les deux côtés

Les deux côtés tendent vers la même valeur → $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Réponse: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ , même si $f(2)$ n'existe pas

Erreurs courantes

N'utiliser qu'un seul côté de $a$

Pourquoi c'est faux: Un tableau avec seulement $x = 1{,}9$ , $1{,}99$ , $1{,}999$ montre la limite à gauche. À droite, les images peuvent tendre ailleurs, comme pour $\frac{|x|}{x}$ .

Correct: Construis toujours les deux colonnes : des valeurs juste en dessous de $a$ et des valeurs juste au-dessus de $a$ .

Choisir des valeurs de $x$ qui ne sont pas proches de $a$

Pourquoi c'est faux: Des valeurs comme $x = 1$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ , $3$ sont trop éloignées. Loin du point, la fonction peut se comporter de façon très différente.

Correct: Rapproche-toi d'un facteur $10$ à chaque fois : $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ .

Mettre $x = a$ dans le tableau et prendre $f(a)$ comme limite

Pourquoi c'est faux: La limite décrit ce qui se passe près de $a$ , pas en $a$ . En un trou, $f(a)$ peut ne pas être définie, et en un point déplacé ce peut être un autre nombre.

Correct: Laisse $x = a$ hors du tableau et lis seulement la tendance des valeurs voisines.

Faire aveuglément confiance à quelques valeurs

Pourquoi c'est faux: Des choix particuliers de $x$ peuvent cacher une oscillation, comme pour $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ , et les arrondis peuvent masquer de petites différences entre les deux côtés.

Correct: Utilise plusieurs valeurs qui ne suivent pas toutes le même schéma, garde assez de décimales et confirme avec un graphique ou un calcul.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

f(x) = (x² - 4)/(x - 2)

Tableau de valeurs

x	1,9	1,99	1,999	2,001	2,01	2,1
y	3,9	3,99	3,999	4,001	4,01	4,1

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

g(x) = |x|/x

En x = 0 : à gauche g(x) → -1, à droite g(x) → 1. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). g(0) n'est pas défini.

Tableau de valeurs

x	-0,1	-0,01	-0,001	0,001	0,01	0,1
y	-1	-1	-1	1	1	1

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

h(x) = 1/(x - 3)²Asymptote

Tableau de valeurs

x	2,9	2,99	2,999	3,001	3,01	3,1
y	100	10000	1000000	1000000	10000	100

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Tu veux estimer $\lim_{x \to 3} f(x)$ avec un tableau de valeurs. Quelles valeurs de $x$ sont le meilleur choix ?

Exercices pratiques: Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

1. Tu veux estimer \lim_{x \to 3} f(x) avec un tableau de valeurs. Quelles valeurs de x sont le meilleur choix ?
2. Un tableau de valeurs donne f(4{,}9) = 9{,}9 ; f(4{,}99) = 9{,}99 ; f(4{,}999) = 9{,}999 ; f(5{,}001) = 10{,}001 ; f(5{,}01) = 10{,}01 ; f(5{,}1) = 10{,}1. Estime \lim_{x \to 5} f(x).
3. À gauche de 2 : f(1{,}9) = 6{,}8 ; f(1{,}99) = 6{,}98 ; f(1{,}999) = 6{,}998. À droite de 2 : f(2{,}1) = 7{,}2 ; f(2{,}01) = 7{,}02 ; f(2{,}001) = 7{,}002. Que vaut \lim_{x \to 2} f(x) ?
4. Pour f(x) = (x² - 9)/(x - 3), calcule la valeur du tableau f(2,99).
5. Utilise un tableau de valeurs pour estimer \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}.
6. Utilise un tableau de valeurs pour estimer \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}.
7. Un tableau de valeurs de g(x) près de x = 1 donne g(0{,}9) = -2 ; g(0{,}99) = -2 ; g(0{,}999) = -2 ; g(1{,}001) = 5 ; g(1{,}01) = 5 ; g(1{,}1) = 5. Que peux-tu conclure sur \lim_{x \to 1} g(x) ?
8. Un tableau de valeurs de f(x) = \frac{e^x - 1}{x} donne x = -0{,}01 : 0{,}99502 ; x = -0{,}001 : 0{,}99950 ; x = 0{,}001 : 1{,}00050 ; x = 0{,}01 : 1{,}00502. Estime \lim_{x \to 0} f(x).
9. Utilise un tableau de valeurs pour estimer \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}, avec x en radians.
10. Utilise un tableau de valeurs pour estimer \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}.
11. Pour f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}, un tableau donne f(-0{,}01) \approx 0{,}16671 ; f(-0{,}001) \approx 0{,}16667 ; f(0{,}001) \approx 0{,}16666 ; f(0{,}01) \approx 0{,}16662. Estime \lim_{x \to 0} f(x) sous forme décimale, arrondie à trois décimales.
12. Un tableau de valeurs de h(x) près de x = 1 donne h(0{,}9) = 100 ; h(0{,}99) = 10\,000 ; h(0{,}999) = 1\,000\,000 ; h(1{,}001) = 1\,000\,000 ; h(1{,}01) = 10\,000 ; h(1{,}1) = 100. Quelle affirmation décrit le mieux \lim_{x \to 1} h(x) ?
13. Soit f(x) = x + 1 pour x < 2 et f(x) = x^2 pour x \geq 2. Utilise un tableau de valeurs pour décider si \lim_{x \to 2} f(x) existe.
14. Un tableau de valeurs de f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}} donne x = -0{,}01 : 2{,}73200 ; x = -0{,}001 : 2{,}71964 ; x = 0{,}001 : 2{,}71692 ; x = 0{,}01 : 2{,}70481. Estime \lim_{x \to 0} f(x), arrondie à deux décimales.
15. Un tableau de valeurs de f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) avec x = \pm 0{,}1 ; \pm 0{,}01 ; \pm 0{,}001 donne 0 à chaque fois. Mais f\left(\frac{2}{101}\right) = 1 et f\left(\frac{2}{103}\right) = -1, et ces deux valeurs de x sont à moins de 0{,}02 de 0. Que vaut \lim_{x \to 0} f(x) ?
16. Utilise un tableau de valeurs pour estimer \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}.
17. Utilise un tableau de valeurs pour décrire \lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}.
18. Étudie \lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) avec des valeurs de tableau bien choisies (x en radians).

Pourquoi c'est important

Les tableaux de valeurs sont souvent le moyen le plus simple et le plus pratique de trouver une limite :

Aucune astuce de calcul : des fonctions comme $\frac{\sin x}{x}$ ou $\frac{e^x - 1}{x}$ ne se simplifient pas par factorisation, mais un tableau trouve leur limite en quelques secondes
Les calculatrices et les ordinateurs estiment les limites exactement ainsi : ils calculent des images pour des nombres de plus en plus proches du point
Vérifier ton calcul : si ton calcul donne une limite égale à $4$ mais que le tableau tend vers $3$ , il y a une erreur quelque part
Bases de l'analyse : la vitesse instantanée et la pente d'une courbe commencent par des tableaux de vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts

Savoir quand un tableau peut te tromper (fonctions qui oscillent, arrondis) est aussi important que savoir le construire.

Applications dans le monde réel

Vitesse instantanée en physique

Un compteur de vitesse affiche la vitesse à un instant précis. Les physiciens la trouvent en calculant des vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts et en lisant la tendance dans le tableau.

Exemple:

Une balle tombe de $s(t) = 5t^2$ mètres en $t$ secondes. Vitesses moyennes à partir de $t = 2$ : sur $0{,}1$ s on obtient $20{,}5$ m/s, sur $0{,}01$ s on obtient $20{,}05$ m/s, sur $0{,}001$ s on obtient $20{,}005$ m/s.

1Essaie par toi-même

La vitesse moyenne de la balle entre $t = 2$ et $t = 2 + h$ secondes vaut $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h}$ m/s.

Quelle est la vitesse instantanée à $t = 2$ secondes, en m/s ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Rends $h$ de plus en plus petit et lis vers quoi tend la vitesse moyenne :

Taux de croissance en biologie

Une culture de bactéries qui double chaque heure ne grandit pas par sauts. Son taux de croissance instantané se trouve à l'aide d'un tableau de l'expression $\frac{2^h - 1}{h}$ pour de très petits pas de temps $h$.

Exemple:

Pour $h = 0{,}1$ heure, le tableau donne $0{,}7177$ , pour $h = 0{,}01$ il donne $0{,}6956$ , pour $h = 0{,}001$ il donne $0{,}6934$ : le taux se stabilise vers $0{,}693$ par heure.

2Essaie par toi-même

Des biologistes estiment $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h}$ avec un tableau de valeurs. Utilise une calculatrice.

Quelle est la limite, arrondie à deux décimales ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule l'expression pour des $h$ de plus en plus petits :

Traitement du signal et audio

Les logiciels audio utilisent des fonctions comme $\frac{\sin(2x)}{x}$ pour filtrer le son. En $x = 0$, la formule donne $\frac{0}{0}$, alors les programmeurs y placent la limite obtenue avec un tableau.

Exemple:

Près de $0$ (en radians), $\frac{\sin(2x)}{x}$ donne $1{,}98669$ en $x = 0{,}1$ et $1{,}99987$ en $x = 0{,}01$ .

3Essaie par toi-même

Un programmeur a besoin de la valeur vers laquelle tend $\frac{\sin(2x)}{x}$ quand $x \to 0$ ( $x$ en radians).

Quelle valeur le programme doit-il utiliser en $x = 0$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Construis un tableau avec $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ :

Points clés

1Pour estimer $\lim_{x \to a} f(x)$ avec un tableau, utilise des valeurs de $x$ de plus en plus proches de $a$ des deux côtés
2Un bon schéma : $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ ; n'utilise pas $x = a$
3Si les deux côtés tendent vers le même nombre $L$ , la limite vaut $L$ , même si $f(a)$ n'est pas définie
4Si les deux côtés tendent vers des nombres différents, la limite n'existe pas
5Si les images deviennent aussi grandes qu'on veut, il n'y a pas de limite finie et on écrit $\infty$ (ou $-\infty$ )
6Un tableau est une estimation : les fonctions qui oscillent comme $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ et les arrondis peuvent le tromper, alors confirme avec un graphique ou un calcul

Questions fréquentes

En général, trois de chaque côté, comme

a \pm 0{,}1

a \pm 0{,}01

a \pm 0{,}001

, suffisent pour voir une tendance claire. Si la tendance n'est pas nette, ajoute des valeurs encore plus proches, comme

a \pm 0{,}0001

Glossaire

Tableau de valeurs: Une liste de valeurs choisies de $x$ et de leurs images $f(x)$ , qui permet de repérer une tendance
Limite à gauche: La valeur vers laquelle tend $f(x)$ quand $x \to a$ par des valeurs inférieures à $a$ , notée $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Limite à droite: La valeur vers laquelle tend $f(x)$ quand $x \to a$ par des valeurs supérieures à $a$ , notée $\lim_{x \to a^+} f(x)$
N'existe pas: Les images ne tendent pas vers un seul nombre fini, par exemple parce que les deux côtés ne sont pas d'accord ou que la fonction oscille
Croissance illimitée: Les images dépassent n'importe quel nombre choisi ; on écrit alors une limite égale à $\infty$ (limite infinie)
Oscillation: Comportement où les images ne cessent d'osciller au lieu de se stabiliser, comme $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ près de $0$

Carte des formules

Schéma du tableau

x = a - 0{,}1;\ a - 0{,}01;\ a - 0{,}001 \ \mid\ a + 0{,}001;\ a + 0{,}01;\ a + 0{,}1

Approche $a$ des deux côtés, dix fois plus près à chaque étape, sans jamais utiliser $x = a$

La limite existe

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

Les deux colonnes du tableau tendent vers le même nombre

La limite n'existe pas

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Les deux colonnes tendent vers des nombres différents, ou les valeurs oscillent

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La limite existe

La limite n'existe pas

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