Notation des limites

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Comment lit-on $\lim_{x \to 5} f(x)$ ?
1. a) $x$ égale $5$ dans $f(x)$
2. b)La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $5$
3. c)La fonction $f$ égale $5$
4. d)La valeur de $f(5)$
Réponse: La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $5$
La notation $\lim_{x \to 5} f(x)$ se lit "la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $5$ ." La flèche signifie "tend vers", pas "égale."
2.
Que signifie la flèche ( $\to$ ) dans la notation des limites ?
1. a)Se transforme en
2. b)Est supérieur à
3. c)Égale
4. d)Tend vers (s'approche arbitrairement de)
Réponse: Tend vers (s'approche arbitrairement de)
La flèche $\to$ signifie "tend vers" ou "s'approche arbitrairement de." Quand nous écrivons $x \to 3$ , nous voulons dire que $x$ se rapproche de plus en plus de $3$ , mais n'atteint jamais réellement $3$ .
3.
Dans l'expression $\lim_{x \to 7} (x + 2)$ , vers quelle valeur $x$ tend-il ?
Réponse: 7
L'indice $x \to 7$ nous dit que $x$ tend vers $7$ . Cela se lit comme "la limite quand $x$ tend vers $7$ ."
4.
Que signifie $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ?
1. a) $x$ égale $3$ plus quelque chose
2. b)La limite quand $x$ tend vers $3$ par la droite
3. c)La limite quand $x$ tend vers $3$ par la gauche
4. d)La limite quand $x$ tend vers $3$ positif
Réponse: La limite quand $x$ tend vers $3$ par la droite
La notation $3^+$ signifie "par la droite" ou "par des valeurs supérieures à $3$ ." Donc $x \to 3^+$ signifie que $x$ s'approche de $3$ par des valeurs comme $3{,}1; 3{,}01; 3{,}001; ...$
5.
Si $\lim_{x \to 4} (3x - 2) = L$ , quelle est la valeur de $L$ ?
Réponse: 10
Quand $x$ tend vers $4$ , l'expression $3x - 2$ tend vers $3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$ . Pour les fonctions continues comme les polynômes, la limite égale la valeur de la fonction en ce point.
6.
Que représente $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ ?
1. a)La limite à gauche en $x = 2$
2. b)La limite négative en $x = 2$
3. c)La limite de $f(-2)$
4. d)La limite à droite en $x = 2$
Réponse: La limite à gauche en $x = 2$
La notation $2^-$ signifie s'approcher de $2$ par la gauche (par des valeurs inférieures à $2$ ), comme $1{,}9; 1{,}99; 1{,}999; ...$ . C'est ce qu'on appelle la limite à gauche.
7.
Écris la notation de limite pour : "La limite de $x^2 + 1$ quand $x$ tend vers $3$ égale $10$ ."
Réponse: lim(x→3)(x²+1)=10
1. Quel symbole commence une expression de limite ? lim
2. Vers quelle valeur $x$ tend-il ? 3
3. De quelle fonction prenons-nous la limite ? x^2+1
4. À quoi la limite est-elle égale ? 10
8.
Que signifie $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ ?
1. a)Quand $x = \infty$ , $f(x) = 5$
2. b)Quand $x$ croît sans borne, $f(x)$ s'approche de $5$
3. c)La fonction $f$ a une valeur maximale de $5$
4. d) $f(x)$ croît vers l'infini en $x = 5$
Réponse: Quand $x$ croît sans borne, $f(x)$ s'approche de $5$
Cette notation dit que quand $x$ devient arbitrairement grand (croît sans borne), les valeurs de la fonction $f(x)$ se rapprochent de plus en plus de $5$ . La droite $y = 5$ est une asymptote horizontale.
9.
Dans $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$ , de quelle direction $x$ s'approche-t-il de $0$ ?
1. a)Par la gauche (valeurs inférieures à $0$ )
2. b)Par la droite (valeurs supérieures à $0$ )
3. c)Des deux côtés à la fois
4. d)La notation n'indique aucune direction
Réponse: Par la droite (valeurs supérieures à $0$ )
La notation $0^+$ signifie s'approcher par la droite (côté positif). Donc $x$ prend des valeurs comme $0{,}1; 0{,}01; 0{,}001; ...$ qui sont toutes positives et se rapprochent de $0$ par la droite sur la droite numérique.
10.
Traduis en notation de limite : "Quand $x$ s'approche de $2$ par la gauche, $f(x)$ tend vers $-\infty$ ."
Réponse: lim(x→2⁻)f(x)=-∞
1. Quel est le symbole de l'opérateur de limite ? lim
2. Vers quelle valeur $x$ tend-il ? 2
3. Quel exposant indique 'par la gauche' ? -
4. Vers quoi $f(x)$ tend-il ? -∞
11.
Que peut-on conclure si $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$ ?
1. a)La fonction est continue en $x = 3$
2. b)La fonction égale $0$ en $x = 3$
3. c)Les limites latérales sont toutes deux infinies
4. d)La limite bilatérale $\lim_{x \to 3} f(x)$ n'existe pas
Réponse: La limite bilatérale $\lim_{x \to 3} f(x)$ n'existe pas
Pour qu'une limite bilatérale existe, les limites à gauche et à droite doivent être égales. Si elles sont différentes, on dit que la limite n'existe pas en ce point.
12.
Interprète l'énoncé : $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x+1} = 3$
Réponse: Quand $x$ décroît sans borne, la fonction tend vers $3$
1. Que signifie $x \to -\infty$ ? x décroît sans borne
2. Quelle fonction analysons-nous ? 3x/(x+1)
3. Vers quelle valeur la fonction tend-elle ? 3
4. Quel type d'asymptote cela représente-t-il ? horizontale
13.
Quelle affirmation interprète correctement $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ?
1. a)Quand $x$ s'approche de $0$ , le rapport $\frac{\sin x}{x}$ s'approche de $1$
2. b)Quand $x = 0$ , la fonction égale $1$
3. c) $\frac{\sin 0}{0} = 1$
4. d)Le sinus de $0$ divisé par $0$ égale $1$
Réponse: Quand $x$ s'approche de $0$ , le rapport $\frac{\sin x}{x}$ s'approche de $1$
La fonction $\frac{\sin x}{x}$ n'est pas définie en $x = 0$ (division par zéro !), mais quand $x$ se rapproche de $0$ (des deux côtés), les valeurs s'approchent de $1$ . C'est une limite fondamentale en analyse.
14.
Si $\lim_{x \to a^-} f(x) = 4$ et $\lim_{x \to a^+} f(x) = 4$ , quelle est $\lim_{x \to a} f(x)$ ?
Réponse: 4
Puisque les deux limites latérales égalent $4$ , la limite bilatérale existe et égale $4$ . C'est la définition : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si et seulement si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ .
15.
Écris la notation de limite complète pour : "Quand le temps croît sans borne, la population $P(t)$ s'approche de sa capacité de charge de $1000$ ."
Réponse: lim(t→∞)P(t)=1000
1. Quelle variable représente le temps dans le problème ? t
2. Que signifie 'croît sans borne' en notation de limite ? ∞
3. Quelle fonction décrit la population ? P(t)
4. Vers quelle valeur la population tend-elle ? 1000
16.
Qu'est-ce qui ne va pas quand on écrit seulement " $\lim f(x) = 7$ " ?
1. a)La valeur de la limite devrait être écrite en premier
2. b)Le nom de la fonction devrait être entre parenthèses
3. c)Le signe égal n'est pas nécessaire
4. d)Cela ne spécifie pas vers quelle valeur $x$ tend
Réponse: Cela ne spécifie pas vers quelle valeur $x$ tend
L'indice montrant vers quelle valeur $x$ tend est essentiel. Sans lui, nous ne savons pas si nous cherchons la limite pour $x \to 0$ , $x \to 3$ , $x \to \infty$ , etc. La forme correcte nécessite $\lim_{x \to a}$ avec une valeur spécifique pour $a$ .