Lire des limites latérales sur un graphique

Le graphique de $f$ montre la droite $y = x + 1$ pour $x < 1$ (rond vide en $(1, 2)$) et la droite $y = x + 3$ pour $x \ge 1$ (point plein en $(1, 4)$). Trouve $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Suis le graphique par la gauche: Parcours la partie gauche vers $x = 1$ : les hauteurs se rapprochent du rond vide en $y = 2$ = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Suis le graphique par la droite: Parcours la partie droite vers $x = 1$ : les hauteurs se rapprochent de $y = 4$ = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Compare les deux côtés: $2 \neq 4$, donc le graphique fait un saut en $x = 1$ = Les limites latérales sont différentes

Conclus sur la limite en $1$: Des limites latérales différentes signifient qu'aucune valeur unique n'est approchée. Le point plein $f(1) = 4$ n'y change rien = $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas

Answer: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$, donc $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas (même si $f(1) = 4$).

La fonction |x|/x en zéro

Trouve $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$. La limite $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existe-t-elle ?

Simplifie pour $x$ positif: Si $x > 0$, alors $|x| = x$, donc $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ = $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

Simplifie pour $x$ négatif: Si $x < 0$, alors $|x| = -x$, donc $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$

Vérifie avec des nombres: $\frac{|0{,}01|}{0{,}01} = 1$ et $\frac{|-0{,}01|}{-0{,}01} = -1$ = Le tableau de valeurs le confirme

Compare: $-1 \neq 1$ = La limite en $0$ n'existe pas

Answer: La limite à gauche vaut $-1$ et la limite à droite vaut $1$, donc $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ n'existe pas. La fonction n'est même pas définie en $x = 0$, mais ce n'est pas la raison : la raison, c'est que les deux côtés ne sont pas d'accord.

Une fonction définie par morceaux qui a une limite

Soit $g(x) = x^2$ pour $x < 2$, $g(2) = 7$ et $g(x) = 3x - 2$ pour $x > 2$. Trouve $\lim_{x \to 2} g(x)$.

À gauche : utilise le morceau pour $x < 2$: $x^2 \to 2^2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^-} g(x) = 4$

À droite : utilise le morceau pour $x > 2$: $3x - 2 \to 3 \times 2 - 2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^+} g(x) = 4$

Compare les limites latérales: Les deux côtés tendent vers $4$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$

Regarde la valeur $g(2)$: $g(2) = 7$, mais la limite ne s'intéresse qu'aux valeurs proches de $2$ = Limite $4$, valeur $7$

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$. La valeur isolée $g(2) = 7$ ne change pas la limite : elle crée seulement un trou avec un point séparé au-dessus.

Une valeur absolue au dénominateur

Calcule $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ et $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$.

Factorise le numérateur: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ = $\frac{(x - 2)(x + 2)}{|x - 2|}$

À droite : $x > 2$: $|x - 2| = x - 2$, donc la fraction vaut $x + 2 \to 4$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$

À gauche : $x < 2$: $|x - 2| = -(x - 2)$, donc la fraction vaut $-(x + 2) \to -4$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$

Vérifie avec un tableau de valeurs: $x = 2{,}01$ : $\frac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{-0{,}0399}{0{,}01} = -3{,}99$ = Des valeurs proches de $4$ et de $-4$

Answer: $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$ et $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$, donc la limite en $2$ n'existe pas.

Choisir une constante pour que la limite existe

Soit $h(x) = 2x + k$ pour $x < 3$ et $h(x) = x^2 - 1$ pour $x \ge 3$. Trouve $k$ pour que $\lim_{x \to 3} h(x)$ existe.

Limite à droite: $x^2 - 1 \to 3^2 - 1 = 8$ = $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 8$

Limite à gauche (avec $k$): $2x + k \to 2 \times 3 + k = 6 + k$ = $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 6 + k$

Écris l'égalité des limites latérales: $6 + k = 8$ = $k = 2$

Vérifie: Avec $k = 2$ : à gauche $2 \times 3 + 2 = 8$, à droite $8$ = $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$

Answer: $k = 2$. Alors les deux limites latérales valent $8$, donc $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$.

Mistake: Prendre le point plein $f(a)$ comme limite

Why: Une limite décrit les hauteurs dont le graphique se rapproche près de $a$, pas la hauteur en $a$. Dans l'exemple 1, $f(1) = 4$, mais par la gauche le graphique se rapproche de $2$.

Correct: Suis chaque côté du graphique jusqu'à $a$ et ignore le point en $x = a$. N'utilise $f(a)$ que si la question demande la valeur de la fonction.

Mistake: Lire $x \to 3^-$ comme "$x$ tend vers $-3$"

Why: Le petit signe moins est écrit après le nombre, en exposant. Il indique le côté, pas le signe du nombre.

Correct: $x \to 3^-$ veut dire $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (valeurs inférieures à $3$). $x \to 3^+$ veut dire $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Mistake: Utiliser pour les deux côtés le morceau qui contient $x = a$

Why: Pour $f(x) = x + 1$ si $x < 1$ et $f(x) = x + 3$ si $x \ge 1$, le morceau $x + 3$ ne décrit que le côté droit. Le côté gauche est toujours donné par le morceau pour $x < 1$.

Correct: Pour $x \to a^-$, utilise la formule valable juste en dessous de $a$ ; pour $x \to a^+$, celle valable juste au-dessus de $a$. Le signe $\le$ ou $\ge$ ne décide que de $f(a)$.

Mistake: Dire que la limite existe parce que les deux limites latérales existent

Why: Dans l'exemple 1, les deux limites latérales existent ($2$ et $4$), mais ce sont des nombres différents, donc il n'y a pas de valeur unique $L$.

Correct: La limite en $a$ n'existe que si les deux limites latérales existent **et** sont égales.

Tarifs de parking

Beaucoup de parkings facturent chaque heure commencée, donc le prix fait un saut à chaque heure pleine. Les limites latérales décrivent le prix juste avant et juste après le saut.

Un parking coûte $P(t) = 3$ € pour $0 < t \le 1$ heure et $P(t) = 5$ € pour $1 < t \le 2$ heures. Juste avant une heure, tu paies 3 €, juste après, 5 €.

Construire une rampe sans marche

Quand on relie une rampe à une plateforme, les hauteurs des deux côtés doivent se rejoindre. Sinon, il reste une marche sur laquelle on peut trébucher.

Une rampe a une hauteur $h(x) = 0{,}2x$ mètre pour $0 \le x < 5$, et en $x = 5$ commence une plateforme de hauteur constante $c$. La rampe et la plateforme se rejoignent sans marche exactement quand $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$.

Forfaits de données mobiles

Un forfait de données a souvent un prix fixe jusqu'à un seuil, puis un supplément par gigaoctet. Les limites latérales montrent si le prix fait un saut au seuil.

Un forfait coûte $C(g) = 10$ € pour $0 \le g \le 5$ Go et $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € pour $g > 5$. Juste au-dessus de 5 Go, le prix commence à augmenter, mais il part de 10.

Q: Une limite latérale peut-elle exister quand la limite en $a$ n'existe pas ?

A: Oui, c'est même le cas typique d'un saut. Pour $\frac{|x|}{x}$ en $0$, les deux limites latérales existent ($-1$ et $1$), mais la limite en $0$ n'existe pas, car elles sont différentes.

Q: Est-ce le point plein ou le rond vide qui décide de la limite ?

A: Ni l'un ni l'autre. Les ronds et les points montrent seulement la valeur $f(a)$. Les limites viennent de la courbe de chaque côté, quand elle se rapproche de $x = a$.

Q: Et si la fonction n'est définie que d'un seul côté ?

A: Alors une seule limite latérale a du sens. Pour $\sqrt{x}$ en $0$, il n'y a pas de valeurs à gauche, donc on utilise $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Au bord de l'ensemble de définition, la limite latérale est la question naturelle.

Q: Une limite latérale peut-elle être infinie ?

A: Oui. Par exemple, $\frac{1}{x}$ devient aussi grand qu'on veut quand $x \to 0^+$. Ces cas sont traités dans la leçon Limites infinies ; dans cette leçon, toutes les limites latérales sont des nombres.