Une limite latérale peut-elle exister quand la limite en $a$ n'existe pas ?

Oui, c'est même le cas typique d'un saut. Pour $\frac{|x|}{x}$ en $0$, les deux limites latérales existent ($-1$ et $1$), mais la limite en $0$ n'existe pas, car elles sont différentes.

Est-ce le point plein ou le rond vide qui décide de la limite ?

Ni l'un ni l'autre. Les ronds et les points montrent seulement la valeur $f(a)$. Les limites viennent de la courbe de chaque côté, quand elle se rapproche de $x = a$.

Et si la fonction n'est définie que d'un seul côté ?

Alors une seule limite latérale a du sens. Pour $\sqrt{x}$ en $0$, il n'y a pas de valeurs à gauche, donc on utilise $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Au bord de l'ensemble de définition, la limite latérale est la question naturelle.

Une limite latérale peut-elle être infinie ?

Oui. Par exemple, $\frac{1}{x}$ devient aussi grand qu'on veut quand $x \to 0^+$. Ces cas sont traités dans la leçon Limites infinies ; dans cette leçon, toutes les limites latérales sont des nombres.

Ressources enseignants

Limites à gauche et à droite

Apprends à trouver la limite à gauche et la limite à droite à partir d'un graphique ou d'une fonction définie par morceaux, et à décider quand une limite existe.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une limite latérale regarde une fonction d'un seul côté d'un point.

La limite à gauche $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ signifie : quand $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs inférieures à $a$ (par exemple $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ pour $a = 2$ ), $f(x)$ se rapproche de $L$ .
La limite à droite $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ signifie : quand $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs supérieures à $a$ (par exemple $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), $f(x)$ se rapproche de $M$ .

Tu connais cette notation grâce à la leçon Notation des limites : le petit signe indique le côté et ne fait pas partie du nombre, donc

3^-

n'est pas

-3

. Dans cette leçon, tu calcules ces limites et tu t'en sers pour décider si

\lim_{x \to a} f(x)

existe. En France, on écrit aussi

\lim_{x \to a,\, x < a} f(x)

pour la limite à gauche.

La règle essentielle relie les limites latérales et la limite (des deux côtés) :

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ et } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Si les deux limites latérales sont différentes, la limite en

a

n'existe pas. La valeur

f(a)

elle-même ne compte jamais pour ces limites : la fonction peut ne pas être définie en

a

, ou y prendre une valeur complètement différente.

Essaie tout de suite

Que signifie

x \to 3^-

Exemples résolus

Le graphique de $f$ montre la droite $y = x + 1$ pour $x < 1$ (rond vide en $(1, 2)$ ) et la droite $y = x + 3$ pour $x \ge 1$ (point plein en $(1, 4)$ ). Trouve $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Suis le graphique par la gauche

Parcours la partie gauche vers $x = 1$ : les hauteurs se rapprochent du rond vide en $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Suis le graphique par la droite

Parcours la partie droite vers $x = 1$ : les hauteurs se rapprochent de $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Compare les deux côtés

$2 \neq 4$ , donc le graphique fait un saut en $x = 1$ → Les limites latérales sont différentes

Conclus sur la limite en $1$

Des limites latérales différentes signifient qu'aucune valeur unique n'est approchée. Le point plein $f(1) = 4$ n'y change rien → $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas

Réponse: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , donc $\lim_{x \to 1} f(x)$ n'existe pas (même si $f(1) = 4$ ).

Erreurs courantes

Prendre le point plein $f(a)$ comme limite

Pourquoi c'est faux: Une limite décrit les hauteurs dont le graphique se rapproche près de $a$ , pas la hauteur en $a$ . Dans l'exemple 1, $f(1) = 4$ , mais par la gauche le graphique se rapproche de $2$ .

Correct: Suis chaque côté du graphique jusqu'à $a$ et ignore le point en $x = a$ . N'utilise $f(a)$ que si la question demande la valeur de la fonction.

Lire $x \to 3^-$ comme " $x$ tend vers $-3$ "

Pourquoi c'est faux: Le petit signe moins est écrit après le nombre, en exposant. Il indique le côté, pas le signe du nombre.

Correct: $x \to 3^-$ veut dire $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (valeurs inférieures à $3$ ). $x \to 3^+$ veut dire $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Utiliser pour les deux côtés le morceau qui contient $x = a$

Pourquoi c'est faux: Pour $f(x) = x + 1$ si $x < 1$ et $f(x) = x + 3$ si $x \ge 1$ , le morceau $x + 3$ ne décrit que le côté droit. Le côté gauche est toujours donné par le morceau pour $x < 1$ .

Correct: Pour $x \to a^-$ , utilise la formule valable juste en dessous de $a$ ; pour $x \to a^+$ , celle valable juste au-dessus de $a$ . Le signe $\le$ ou $\ge$ ne décide que de $f(a)$ .

Dire que la limite existe parce que les deux limites latérales existent

Pourquoi c'est faux: Dans l'exemple 1, les deux limites latérales existent ( $2$ et $4$ ), mais ce sont des nombres différents, donc il n'y a pas de valeur unique $L$ .

Correct: La limite en $a$ n'existe que si les deux limites latérales existent et sont égales.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

b = 3

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

En x = 1 : à gauche f(x) → 2, à droite f(x) → 4. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). f(1) = 4.

Tableau de valeurs

x	0,9	0,99	1	1,01	1,1
y	1,9	1,99	4	4,01	4,1

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = |x|/x

En x = 0 : à gauche y(x) → -1, à droite y(x) → 1. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). y(0) n'est pas défini.

Tableau de valeurs

x	-0,1	-0,01	0,01	0,1
y	-1	-1	1	1

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = (x^2 - 4)/|x - 2|

En x = 2 : à gauche y(x) → -4, à droite y(x) → 4. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). y(2) n'est pas défini.

Tableau de valeurs

x	1,9	1,99	2,01	2,1
y	-3,9	-3,99	4,01	4,1

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Que signifie $x \to 3^-$ ?

Pourquoi c'est important

Les limites latérales sont l'outil idéal pour les fonctions qui changent de formule en un point :

Fonctions définies par morceaux : les tranches d'impôt, les forfaits de téléphone et les tarifs postaux changent de formule pour certaines valeurs, et tu dois étudier chaque côté séparément
Sauts : un tarif de parking qui passe de 3 € à 5 € après une heure a une limite à gauche et une limite à droite différentes
Valeurs absolues : des expressions comme $\frac{|x|}{x}$ se comportent différemment pour $x$ négatif et pour $x$ positif
Continuité : dans les leçons Continuité et Types de discontinuités, tu étudieras les limites latérales pour classer chaque rupture d'un graphique
Analyse : la dérivée de fonctions comme $|x|$ s'étudie avec des limites à gauche et à droite

Dès qu'un graphique présente une rupture, la première question est toujours : que se passe-t-il à gauche, et que se passe-t-il à droite ?

Applications dans le monde réel

Tarifs de parking

Beaucoup de parkings facturent chaque heure commencée, donc le prix fait un saut à chaque heure pleine. Les limites latérales décrivent le prix juste avant et juste après le saut.

Exemple:

Un parking coûte $P(t) = 3$ € pour $0 < t \le 1$ heure et $P(t) = 5$ € pour $1 < t \le 2$ heures. Juste avant une heure, tu paies 3 €, juste après, 5 €.

1Essaie par toi-même

Le parking utilise $P(t) = 3$ pour $0 < t \le 1$ et $P(t) = 5$ pour $1 < t \le 2$ ( $t$ en heures, prix en €).

De combien d'euros le prix saute-t-il en $t = 1$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Limite à droite moins limite à gauche en $t = 1$ :

Construire une rampe sans marche

Quand on relie une rampe à une plateforme, les hauteurs des deux côtés doivent se rejoindre. Sinon, il reste une marche sur laquelle on peut trébucher.

Exemple:

Une rampe a une hauteur $h(x) = 0{,}2x$ mètre pour $0 \le x < 5$ , et en $x = 5$ commence une plateforme de hauteur constante $c$ . La rampe et la plateforme se rejoignent sans marche exactement quand $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ .

2Essaie par toi-même

La rampe a une hauteur $h(x) = 0{,}2x$ pour $0 \le x < 5$ et la plateforme une hauteur $c$ pour $x \ge 5$ (toutes les longueurs en mètres).

Quelle hauteur $c$ de la plateforme évite une marche en $x = 5$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

La hauteur de la plateforme doit être égale à la limite à gauche en $x = 5$ :

Forfaits de données mobiles

Un forfait de données a souvent un prix fixe jusqu'à un seuil, puis un supplément par gigaoctet. Les limites latérales montrent si le prix fait un saut au seuil.

Exemple:

Un forfait coûte $C(g) = 10$ € pour $0 \le g \le 5$ Go et $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € pour $g > 5$ . Juste au-dessus de 5 Go, le prix commence à augmenter, mais il part de 10.

3Essaie par toi-même

Le forfait coûte $C(g) = 10$ pour $0 \le g \le 5$ et $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ pour $g > 5$ ( $g$ en Go, prix en €).

Que vaut $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve les deux limites latérales en $g = 5$ et compare-les :

Points clés

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ est la limite à gauche : $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs inférieures à $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ est la limite à droite : $x$ se rapproche de $a$ par des valeurs supérieures à $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ exactement quand les deux limites latérales existent et valent toutes les deux $L$
4Si les limites latérales sont différentes (un saut), la limite en $a$ n'existe pas
5Pour une fonction définie par morceaux, utilise à gauche le morceau valable juste en dessous de $a$ et à droite celui valable juste au-dessus de $a$
6La valeur $f(a)$ (rond vide ou point plein) ne change jamais une limite

Questions fréquentes

Oui, c'est même le cas typique d'un saut. Pour

\frac{|x|}{x}

0

, les deux limites latérales existent (

-1

1

), mais la limite en

0

n'existe pas, car elles sont différentes.

Glossaire

Limite latérale: Une limite qui n'utilise que des valeurs de $x$ d'un seul côté de $a$
Limite à gauche: La valeur dont $f(x)$ se rapproche quand $x \to a^-$ , par des valeurs inférieures à $a$
Limite à droite: La valeur dont $f(x)$ se rapproche quand $x \to a^+$ , par des valeurs supérieures à $a$
Limite en $a$ (des deux côtés): La limite habituelle $\lim_{x \to a} f(x)$ ; elle n'existe que si la limite à gauche et la limite à droite sont égales
Fonction définie par morceaux: Une fonction donnée par des formules différentes sur différents intervalles de $x$
Discontinuité de saut: Une rupture où les deux limites latérales existent mais sont différentes, de sorte que le graphique fait un saut

Carte des formules

Limite à gauche

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ se rapproche de $a$ par la gauche (valeurs inférieures à $a$)

Limite à droite

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ se rapproche de $a$ par la droite (valeurs supérieures à $a$)

Quand la limite existe

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Les deux limites latérales doivent exister et être égales

Valeur absolue selon le côté

|x - a| = x - a

pour

x > a

|x - a| = -(x - a)

pour

x < a

Utilise-la pour simplifier les expressions avec valeur absolue de chaque côté

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