Un trou dû à un facteur qui se simplifie

Classe la discontinuité de $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ en $x = 2$ et élimine-la.

Repère où $f$ n'est pas définie: Le dénominateur $x - 2$ vaut $0$ en $x = 2$ = $f(2)$ n'est pas définie

Factorise le numérateur: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ = $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Simplifie le facteur commun: $f(x) = x + 1$ pour tout $x \neq 2$ = Le facteur $(x - 2)$ se simplifie entièrement

Calcule la limite: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ = $= 3$, une limite finie

Classe et répare: La limite existe, $f(2)$ non : trou en $(2, 3)$. Pose $f(2) = 3$. = Discontinuité éliminable

Answer: Discontinuité éliminable (trou) en $(2, 3)$. En posant $f(2) = 3$, $f$ devient continue.

Un trou avec une mauvaise valeur

Soit $g(x) = x^2$ pour $x \neq 1$ et $g(1) = 4$. Quel type de discontinuité y a-t-il en $x = 1$ ?

Calcule la limite: Près de $x = 1$ la règle est $x^2$, donc $\lim_{x \to 1} g(x) = 1^2$ = $= 1$

Lis la valeur de la fonction: La définition donne $g(1) = 4$ = $g(1) = 4$

Compare: $\lim_{x \to 1} g(x) = 1 \neq 4 = g(1)$ = La limite existe mais diffère de $g(1)$

Classe et répare: Le point $(1, 4)$ est à l'écart de la courbe ; redéfinis $g(1) = 1$ = Discontinuité éliminable

Answer: Discontinuité éliminable en $x = 1$ : un trou en $(1, 1)$ et un point isolé en $(1, 4)$. Redéfinir $g(1) = 1$ l'élimine.

Mesurer un saut

Soit $h(x) = x + 2$ pour $x < 1$ et $h(x) = x^2 + 5$ pour $x \geq 1$. Classe la discontinuité en $x = 1$ et trouve la hauteur du saut.

Limite à gauche (règle pour $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2$ = $= 3$

Limite à droite (règle pour $x \geq 1$): $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 5) = 1 + 5$ = $= 6$

Compare les deux limites: Elles sont finies, mais $3 \neq 6$ = Discontinuité de saut

Hauteur du saut: $|6 - 3|$ = $= 3$

Answer: Discontinuité de saut en $x = 1$, de hauteur $3$. La valeur $h(1) = 6$ n'y change rien : aucun choix de $h(1)$ ne peut combler l'écart.

Une discontinuité infinie

Classe la discontinuité de $k(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$ en $x = 4$.

Remplace $x$ par $4$: Numérateur $4 + 3 = 7$, dénominateur $4 - 4 = 0$ = $\frac{7}{0}$ : un nombre non nul divisé par zéro

Approche par la droite: $k(4{,}01) = \frac{7{,}01}{0{,}01} = 701$ = $\lim_{x \to 4^+} k(x) = \infty$

Approche par la gauche: $k(3{,}99) = \frac{6{,}99}{-0{,}01} = -699$ = $\lim_{x \to 4^-} k(x) = -\infty$

Classe: Les limites à gauche et à droite sont infinies = Discontinuité infinie, asymptote verticale $x = 4$

Answer: Discontinuité infinie en $x = 4$ : la courbe admet l'asymptote verticale $x = 4$.

Trou et asymptote dans une même fonction

Trouve et classe toutes les discontinuités de $r(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$.

Factorise les deux parties: $r(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$ = Non définie en $x = 3$ et $x = -2$

Simplifie le facteur commun: $r(x) = \frac{x + 3}{x + 2}$ pour $x \neq 3$ = $(x - 3)$ se simplifie, $(x + 2)$ reste

Étudie $x = 3$: $\lim_{x \to 3} r(x) = \frac{3 + 3}{3 + 2}$ = $= \frac{6}{5}$ : trou en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$

Étudie $x = -2$: Numérateur simplifié $-2 + 3 = 1 \neq 0$, dénominateur $0$ = Asymptote verticale $x = -2$

Answer: Discontinuité éliminable (trou) en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ et discontinuité infinie en $x = -2$.

Mistake: Tracer une asymptote verticale à chaque valeur qui annule le dénominateur

Why: Une valeur qui annule le dénominateur peut aussi être un trou. Dans $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$, le facteur $(x - 2)$ se simplifie : pas d'asymptote en $x = 2$.

Correct: Factorise et simplifie d'abord. Seuls les facteurs qui restent au dénominateur donnent des asymptotes verticales ; les facteurs simplifiés donnent des trous.

Mistake: Dire qu'un saut est éliminable parce que les deux limites latérales existent

Why: Éliminable exige que la limite existe, ce qui n'arrive que si les deux côtés coïncident. Pour un saut, ce sont deux nombres différents.

Correct: Limites à gauche et à droite égales : éliminable (ou continue). Limites finies différentes : saut.

Mistake: Prendre $f(a)$ comme hauteur du trou

Why: En un trou, $f(a)$ manque ou est faux. Le trou se trouve à la hauteur de la limite.

Correct: L'ordonnée d'un trou s'obtient en remplaçant $x$ par $a$ dans la fonction simplifiée : le trou de $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ est en $\left(3, \frac{6}{5}\right)$.

Mistake: Penser qu'un facteur simplifié donne toujours un trou, même s'il apparaît deux fois au dénominateur

Why: Dans $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ un seul facteur se simplifie ; il reste $\frac{1}{x - 1}$, qui explose toujours en $x = 1$.

Correct: Simplifie au maximum, puis vérifie : si $(x - a)$ est encore au dénominateur, c'est une discontinuité infinie.

Tarifs de parking (sauts)

Les parkings facturent chaque heure commencée : le prix est constant pendant chaque heure et saute à chaque heure pleine.

Un parking coûte 4 € jusqu'à 1 heure et 7 € au-delà de 1 heure et jusqu'à 2 heures. En $t = 1$, le prix saute de 3 €.

Lentilles et images à l'infini

Pour une lentille de distance focale $10$ cm, un objet à la distance $u$ donne une image à la distance $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Quand l'objet atteint le foyer, l'image part à l'infini.

Pour $u = 15$ cm, l'image est à $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Pour $u = 10{,}1$ cm, elle est déjà à $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

Corriger une division par zéro dans un logiciel

Les programmes calculent souvent un taux de variation moyen $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. En $t = a$ la formule donne $\frac{0}{0}$ et le programme plante, alors que les valeurs voisines sont parfaitement régulières : c'est une discontinuité éliminable.

Pour $f(t) = t^2$ et $a = 3$, le taux $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ se simplifie en $t + 3$ : la programmeuse enregistre donc la valeur $6$ pour $t = 3$.

Q: Pourquoi dit-on qu'un trou est éliminable ?

A: Parce qu'un seul point suffit à le réparer. La limite $L$ existe déjà, donc poser (ou redéfinir) $f(a) = L$ rend vraie l'égalité $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, et la fonction devient continue en $a$.

Q: Peut-on éliminer une discontinuité de saut ?

A: Non. À gauche, la fonction tend vers une hauteur, à droite vers une autre. Quelle que soit la valeur donnée à $f(a)$, elle ne correspond qu'à un seul côté au mieux, et la limite n'existe toujours pas.

Q: La valeur de la fonction en $x = a$ change-t-elle le type ?

A: Non. Le type ne dépend que des limites au voisinage de $a$. Un saut reste un saut, que $f(a)$ soit la valeur de gauche, celle de droite ou non définie, et un trou reste éliminable, que $f(a)$ manque ou soit faux.

Q: Existe-t-il d'autres types de discontinuité ?

A: Oui, mais ils sont plus rares. Par exemple, $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ oscille de plus en plus vite près de $x = 0$ et n'a aucune limite à gauche ni à droite (discontinuité oscillante). Les sauts, les discontinuités infinies et les discontinuités oscillantes sont tous non éliminables ; on réserve souvent le nom de discontinuités essentielles aux discontinuités infinies et oscillantes.