Types de discontinuités

Apprends à distinguer les discontinuités éliminables (trous), les discontinuités de saut et les discontinuités infinies, sur un graphique et à partir d'une formule.

Avancé30 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une fonction ff est continue en x=ax = a lorsque lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Si ce n'est pas le cas, ff présente une discontinuité en x=ax = a. La manière dont l'égalité échoue donne le type :
1. Discontinuité éliminable (trou) La limite existe et vaut un nombre fini LL, mais f(a)f(a) n'existe pas ou f(a)≠Lf(a) \neq L. La courbe a un seul trou en (a,L)(a, L). Tu peux l'éliminer en posant f(a)=Lf(a) = L.
2. Discontinuité de saut Les deux limites à gauche et à droite sont finies mais différentes :
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)
La courbe saute d'une hauteur à une autre. La hauteur du saut est ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|. Aucune valeur de f(a)f(a) ne peut réparer cette discontinuité.
3. Discontinuité infinie Au moins une des limites à gauche ou à droite vaut ∞\infty ou −∞-\infty. La courbe a une asymptote verticale x=ax = a.
À partir d'une formule (fonctions rationnelles) : factorise le numérateur et le dénominateur.
  • Un facteur (x−a)(x - a) qui se simplifie entièrement donne un trou en x=ax = a.
  • Un facteur (x−a)(x - a) qui reste au dénominateur donne une asymptote verticale en x=ax = a.

Essaie tout de suite

Quel type de discontinuité f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} présente-t-elle en x=4x = 4 ?

Exemples résolus

Classe la discontinuité de f(x)=x2−x−2x−2f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} en x=2x = 2 et élimine-la.

1

Repère où ff n'est pas définie

Le dénominateur x−2x - 2 vaut 00 en x=2x = 2 → f(2)f(2) n'est pas définie

2

Factorise le numérateur

x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) → f(x)=(x−2)(x+1)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}

3

Simplifie le facteur commun

f(x)=x+1f(x) = x + 1 pour tout x≠2x \neq 2 → Le facteur (x−2)(x - 2) se simplifie entièrement

4

Calcule la limite

lim⁡x→2f(x)=2+1\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1 → =3= 3, une limite finie

5

Classe et répare

La limite existe, f(2)f(2) non : trou en (2,3)(2, 3). Pose f(2)=3f(2) = 3. → Discontinuité éliminable

Erreurs courantes

Tracer une asymptote verticale à chaque valeur qui annule le dénominateur

Pourquoi c'est faux: Une valeur qui annule le dénominateur peut aussi être un trou. Dans x2−x−2x−2\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}, le facteur (x−2)(x - 2) se simplifie : pas d'asymptote en x=2x = 2.

Correct: Factorise et simplifie d'abord. Seuls les facteurs qui restent au dénominateur donnent des asymptotes verticales ; les facteurs simplifiés donnent des trous.

Dire qu'un saut est éliminable parce que les deux limites latérales existent

Pourquoi c'est faux: Éliminable exige que la limite existe, ce qui n'arrive que si les deux côtés coïncident. Pour un saut, ce sont deux nombres différents.

Correct: Limites à gauche et à droite égales : éliminable (ou continue). Limites finies différentes : saut.

Prendre f(a)f(a) comme hauteur du trou

Pourquoi c'est faux: En un trou, f(a)f(a) manque ou est faux. Le trou se trouve à la hauteur de la limite.

Correct: L'ordonnée d'un trou s'obtient en remplaçant xx par aa dans la fonction simplifiée : le trou de x2−9x2−x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} est en (3,65)\left(3, \frac{6}{5}\right).

Penser qu'un facteur simplifié donne toujours un trou, même s'il apparaît deux fois au dénominateur

Pourquoi c'est faux: Dans x−1(x−1)2\frac{x - 1}{(x - 1)^2} un seul facteur se simplifie ; il reste 1x−1\frac{1}{x - 1}, qui explose toujours en x=1x = 1.

Correct: Simplifie au maximum, puis vérifie : si (x−a)(x - a) est encore au dénominateur, c'est une discontinuité infinie.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-3-2-1012345-20246xy(2 ; 3)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

f(x) = (x² − x − 2)/(x − 2)

Tableau de valeurs

x1,91,9922,012,1
y2,92,99non déf.3,013,1

Courbe de la fonction

-3-2-101230246xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

g(x)
  • En x = 1 : à gauche et à droite g(x) → 1, donc la limite vaut 1. g(1) = 4.

Tableau de valeurs

x0,90,9911,011,1
y0,810,980141,02011,21

Courbe de la fonction

-3-2-101230510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

h(x)
  • En x = 1 : à gauche h(x) → 3, à droite h(x) → 6. Les valeurs sont différentes, donc la limite n'existe pas (saut). h(1) = 6.

Tableau de valeurs

x0,90,9911,011,1
y2,92,9966,02016,21

Courbe de la fonction

-8-6-4-202468-505xy(3 ; 1,2)x = -2y = 1

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

r(x) = (x² − 9)/(x² − x − 6)Asymptote

Tableau de valeurs

x-2,1-2,01-1,99-1,92,993,01
y-9-99101111,20041,1996

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile

Quel type de discontinuité f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} présente-t-elle en x=4x = 4 ?

Pourquoi c'est important

Connaître le type d'une discontinuité te dit à quel point la rupture est grave et ce que tu peux faire :
  • Les trous sont des lacunes sans danger : la fonction est prévisible autour, et un seul point redéfini la rend continue. Les programmes qui plantent sur 00\frac{0}{0} sont souvent corrigés exactement ainsi.
  • Les sauts décrivent des changements brusques : tarifs de parking, tarifs postaux, tranches d'impôt et interrupteurs qui s'allument ou s'éteignent.
  • Les discontinuités infinies signalent qu'une grandeur explose : l'image d'une lentille qui part à l'infini, la résonance d'un pont ou une formule qui divise par presque zéro.
En analyse, le type de discontinuité décide si une limite existe, si l'on peut intégrer une fonction sur un intervalle et comment tracer sa courbe. Tracer correctement une fonction rationnelle (trous ou asymptotes) est l'une des compétences les plus évaluées avant l'analyse.

Applications dans le monde réel

Tarifs de parking (sauts)

Les parkings facturent chaque heure commencée : le prix est constant pendant chaque heure et saute à chaque heure pleine.

Exemple:

Un parking coûte 4 € jusqu'à 1 heure et 7 € au-delà de 1 heure et jusqu'à 2 heures. En t=1t = 1, le prix saute de 3 €.

1Essaie par toi-même

Le même parking coûte 7 € au-delà de 1 heure et jusqu'à 2 heures, et 10 € au-delà de 2 heures et jusqu'à 3 heures. C(t)C(t) est le prix pour tt heures.

Quelle est la hauteur du saut du prix en t=2t = 2 heures (en €) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais la limite à gauche de la limite à droite :

Lentilles et images à l'infini

Pour une lentille de distance focale $10$ cm, un objet à la distance $u$ donne une image à la distance $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Quand l'objet atteint le foyer, l'image part à l'infini.

Exemple:

Pour u=15u = 15 cm, l'image est à v=1505=30v = \frac{150}{5} = 30 cm. Pour u=10,1u = 10{,}1 cm, elle est déjà à v=1010,1=1010v = \frac{101}{0{,}1} = 1010 cm.

2Essaie par toi-même

La distance de l'image est v(u)=10uu−10v(u) = \frac{10u}{u - 10} (en cm).

Pour quelle distance uu de l'objet (en cm) vv a-t-elle une discontinuité infinie ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Cherche où le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule :

Corriger une division par zéro dans un logiciel

Les programmes calculent souvent un taux de variation moyen $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. En $t = a$ la formule donne $\frac{0}{0}$ et le programme plante, alors que les valeurs voisines sont parfaitement régulières : c'est une discontinuité éliminable.

Exemple:

Pour f(t)=t2f(t) = t^2 et a=3a = 3, le taux t2−9t−3\frac{t^2 - 9}{t - 3} se simplifie en t+3t + 3 : la programmeuse enregistre donc la valeur 66 pour t=3t = 3.

3Essaie par toi-même

Un programme calcule R(t)=t2−16t−4R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4} et plante en t=4t = 4.

Quelle valeur faut-il donner à R(4)R(4) pour que RR soit continue ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Simplifie, puis remplace tt par 44 :

Points clés

  • 1Une discontinuité en x=ax = a signifie que lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) est faux
  • 2Éliminable (trou) : la limite LL existe, mais f(a)f(a) manque ou est différent ; on répare avec f(a)=Lf(a) = L
  • 3Saut : limites à gauche et à droite finies et différentes ; hauteur du saut =∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
  • 4Infinie : une limite latérale vaut ±∞\pm\infty ; la courbe a l'asymptote verticale x=ax = a
  • 5Pour une fonction rationnelle, factorise d'abord : facteurs simplifiés = trous, facteurs restant au dénominateur = asymptotes
  • 6L'ordonnée d'un trou vient de la fonction simplifiée, jamais de f(a)f(a)

Questions fréquentes

Parce qu'un seul point suffit à le réparer. La limite LL existe déjà, donc poser (ou redéfinir) f(a)=Lf(a) = L rend vraie l'égalité lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a), et la fonction devient continue en aa.
Parce qu'un seul point suffit à le réparer. La limite LL existe déjà, donc poser (ou redéfinir) f(a)=Lf(a) = L rend vraie l'égalité lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a), et la fonction devient continue en aa.
Non. À gauche, la fonction tend vers une hauteur, à droite vers une autre. Quelle que soit la valeur donnée à f(a)f(a), elle ne correspond qu'à un seul côté au mieux, et la limite n'existe toujours pas.
Non. Le type ne dépend que des limites au voisinage de aa. Un saut reste un saut, que f(a)f(a) soit la valeur de gauche, celle de droite ou non définie, et un trou reste éliminable, que f(a)f(a) manque ou soit faux.
Oui, mais ils sont plus rares. Par exemple, sin⁡(1x)\sin\left(\frac{1}{x}\right) oscille de plus en plus vite près de x=0x = 0 et n'a aucune limite à gauche ni à droite (discontinuité oscillante). Les sauts, les discontinuités infinies et les discontinuités oscillantes sont tous non éliminables ; on réserve souvent le nom de discontinuités essentielles aux discontinuités infinies et oscillantes.

Glossaire

Discontinuité
Un point x=ax = a où l'égalité lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) n'est pas vérifiée
Discontinuité éliminable (trou)
La limite existe et est finie, mais f(a)f(a) n'est pas définie ou lui est différente ; on la répare en redéfinissant un point
Discontinuité de saut
Les limites à gauche et à droite sont finies mais différentes
Hauteur du saut
L'écart entre les deux limites latérales : ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
Discontinuité infinie
Au moins une limite latérale vaut ∞\infty ou −∞-\infty ; la courbe a une asymptote verticale
Asymptote verticale
Une droite verticale x=ax = a dont la courbe s'approche pendant que ses valeurs deviennent infiniment grandes

Carte des formules

Éliminable (trou)

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L existe, f(a)≠Lf(a) \neq L ou non définie

Réparation : $f(a) = L$

Saut

lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x), toutes deux finies

Hauteur du saut $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Infinie

lim⁡x→a±f(x)=±∞\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Asymptote verticale $x = a$

Test pour les fonctions rationnelles

(x−a) p(x)(x−a) q(x)=p(x)q(x)\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Un facteur simplifié donne un trou en $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ si $q(a) \neq 0$ ; un facteur restant au dénominateur donne une asymptote

Plus sur ce sujet

Introduction aux limites

Avancé25 min

Notation des limites

Avancé25 min

Lire une limite sur un graphique

Avancé25 min

Déterminer une limite à l'aide d'un tableau de valeurs

Avancé30 min