Logarithmes des puissances de 10

Calcule $\log 100\,000$ et $\log 1$ sans calculatrice.

Pose la question pour 100 000: 10 à quelle puissance donne $100\,000$ ? = $10^n = 100\,000$

Compte les zéros: $100\,000$ s'écrit avec un 1 suivi de 5 zéros, donc $100\,000 = 10^5$ = $\log 100\,000 = 5$

Pose la question pour 1: Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1 : $10^0 = 1$ = $\log 1 = 0$

Answer: $\log 100\,000 = 5$ et $\log 1 = 0$

Logarithmes de petits nombres décimaux

Calcule $\log 0{,}001$.

Écris le nombre décimal sous forme de fraction: $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ = $\dfrac{1}{10^3}$

Utilise un exposant négatif: $\dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$ = $0{,}001 = 10^{-3}$

Lis l'exposant: $\log(10^{-3}) = -3$ = $\log 0{,}001 = -3$

Answer: $\log 0{,}001 = -3$. Les nombres compris entre 0 et 1 ont un logarithme négatif.

Encadrer log 50

Entre quels deux entiers se trouve $\log 50$ ? Calcule-le ensuite à la calculatrice.

Trouve les puissances de 10 qui encadrent 50: $10 < 50 < 100$, c'est-à-dire $10^1 < 50 < 10^2$ = Voisins : $10$ et $100$

Prends les logarithmes des voisins: $\log 10 = 1$ et $\log 100 = 2$ = $1 < \log 50 < 2$

Utilise la touche LOG: Tape log(50) = $\log 50 \approx 1{,}699$

Vérifie la taille: Le milieu sur une échelle logarithmique est $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$, pas 55. Comme $50 > 31{,}6$, $\log 50$ est au-dessus de $1{,}5$ = $1{,}699$ est cohérent

Answer: $1 < \log 50 < 2$ et $\log 50 \approx 1{,}699$

Logarithmes et écriture scientifique

Écris $3\,000$ en écriture scientifique, prévois la partie entière de $\log 3\,000$, puis vérifie à la calculatrice.

Écris le nombre en écriture scientifique: $3\,000 = 3 \times 10^3$ = Exposant : $3$

Trouve les puissances de 10 qui l'encadrent: $10^3 = 1\,000 \le 3\,000 < 10\,000 = 10^4$ = $3 \le \log 3\,000 < 4$

Utilise la touche LOG: Tape log(3000) = $\log 3\,000 \approx 3{,}477$

Compare: La partie entière $3$ est l'exposant de l'écriture scientifique = L'ordre de grandeur est $3$

Answer: $\log 3\,000 \approx 3{,}477$ : partie entière $3$, la même que l'exposant de $3 \times 10^3$

Du logarithme au nombre

Un nombre positif $x$ vérifie $\log x = 2{,}5$. Entre quelles puissances de 10 se trouve $x$, et combien vaut $x$ (à 2 décimales près) ?

Réécris avec une puissance de 10: $\log x = 2{,}5$ signifie $x = 10^{2{,}5}$ = $x = 10^{2{,}5}$

Situe l'exposant: $2 < 2{,}5 < 3$, donc $10^2 < x < 10^3$ = $100 < x < 1\,000$

Utilise la calculatrice: Tape 10^2,5 = $x \approx 316{,}23$

Answer: $x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}23$, un nombre compris entre $100$ et $1\,000$ (3 chiffres)

Mistake: Penser que $\log 50 = 1{,}5$ parce que 50 est à peu près au milieu entre 10 et 100

Why: Une échelle logarithmique n'est pas régulière. Chaque pas de 1 sur le logarithme multiplie le nombre par 10, donc le milieu entre 10 et 100 est $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$. Encadre d'abord entre deux entiers ($1 < \log 50 < 2$), puis utilise la calculatrice.

Mistake: Écrire $\log 0{,}01 = 2$ ou dire que le logarithme d'un nombre décimal n'existe pas

Why: $0{,}01 = 10^{-2}$, l'exposant est donc négatif. Les logarithmes des nombres entre 0 et 1 existent, ils sont simplement négatifs.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$, $\log 0{,}1 = -1$, $\log 0{,}001 = -3$.

Mistake: Écrire $\log 0 = 0$ ou $\log(-100) = -2$

Why: $10^n$ est positif pour tout exposant $n$. Aucune puissance de 10 n'est égale à 0 ou à un nombre négatif.

Correct: $\log 0$ et $\log(-100)$ ne sont pas définis, la calculatrice affiche une erreur. Retiens : $\log 1 = 0$, et non $\log 0$.

Mistake: Compter tous les chiffres : $\log 1\,000 = 4$

Why: $1\,000$ a 4 chiffres mais seulement 3 zéros. Le logarithme compte les facteurs 10, pas les chiffres.

Correct: $\log 1\,000 = 3$ car $10^3 = 1\,000$. Un entier de $d$ chiffres a un logarithme compris entre $d - 1$ et $d$.

Ordres de grandeur

Les scientifiques comparent des grandeurs immenses et minuscules par leur ordre de grandeur : la partie entière de leur logarithme décimal.

Un cheveu humain mesure environ $0{,}0001$ m d'épaisseur, et $\log 0{,}0001 = -4$. La Terre mesure environ $10\,000\,000$ m de large, et $\log 10\,000\,000 = 7$. L'écart de 11 ordres de grandeur signifie que la Terre est environ $10^{11}$ fois plus large.

Le pH en chimie

Le pH d'une solution est $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en mol/L. Plus le pH est bas, plus la solution est acide.

L'eau pure a $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$, donc $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutre).

Décibels et son

Le niveau sonore en décibels est $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, où $\dfrac{I}{I_0}$ indique combien de fois un son est plus intense que le son le plus faible que l'on peut entendre.

Un chuchotement est environ $100$ fois plus intense que le seuil d'audition : $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

Q: Pourquoi le logarithme de base 10 s'appelle-t-il décimal ?

A: Notre système de numération est décimal, c'est-à-dire en base 10. Pendant des siècles, les tables de logarithmes étaient en base 10, et aujourd'hui toutes les calculatrices scientifiques ont la touche LOG. Comme on s'en sert très souvent, on n'écrit pas la base : $\log x$ signifie $\log_{10} x$.

Q: Comment la calculatrice trouve-t-elle $\log 50$ ?

A: Elle utilise une méthode numérique rapide pour trouver l'exposant $n$ tel que $10^n = 50$. Tu peux vérifier son résultat : $10^{1{,}699} \approx 50$. L'encadrement $1 < \log 50 < 2$ te dit si tu as appuyé sur les bonnes touches.

Q: Pourquoi les logarithmes de nombres décimaux comme $0{,}01$ sont-ils négatifs ?

A: On obtient les nombres entre 0 et 1 avec des exposants négatifs : $0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$. Donc $\log 0{,}01 = -2$. Seul l'argument doit être positif, le logarithme lui-même peut être n'importe quel réel.

Q: La touche $\log$ de ma calculatrice est-elle la même que $\ln$ ?

A: Non. LOG utilise la base 10, tandis que LN utilise une autre base, le nombre $e \approx 2{,}718$. Par exemple $\log 100 = 2$, mais $\ln 100 \approx 4{,}605$. La leçon Logarithme népérien (ln) présente cette touche.