Logarithme décimal (base 10)

Découvre le logarithme décimal log x de base 10 : valeurs exactes des puissances de 10, encadrement entre deux entiers et utilisation de la calculatrice.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le logarithme décimal est le logarithme de base 10. Il est si courant qu'on n'écrit pas la base :
log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x
log⁡x\log x répond à la question : **"10 à quelle puissance donne xx ?"**
log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x
Les puissances de 10 ont des logarithmes entiers :
xx0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}11110101001001 0001\,0001 000 0001\,000\,000
log⁡x\log x−3-3−2-2−1-10011223366
Donc log⁡(10n)=n\log(10^n) = n pour tout exposant nn.
Un nombre compris entre deux puissances de 10 a un logarithme compris entre deux entiers. Comme 10<50<10010 < 50 < 100, on sait que 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2. La calculatrice (touche LOG) donne log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699.
L'argument doit être strictement positif : log⁡0\log 0 et log⁡(−5)\log(-5) n'existent pas.

Essaie tout de suite

Combien vaut log⁡10 000\log 10\,000 ?

Exemples résolus

Calcule log⁡100 000\log 100\,000 et log⁡1\log 1 sans calculatrice.

1

Pose la question pour 100 000

10 à quelle puissance donne 100 000100\,000 ? → 10n=100 00010^n = 100\,000

2

Compte les zéros

100 000100\,000 s'écrit avec un 1 suivi de 5 zéros, donc 100 000=105100\,000 = 10^5 → log⁡100 000=5\log 100\,000 = 5

3

Pose la question pour 1

Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1 : 100=110^0 = 1 → log⁡1=0\log 1 = 0

Erreurs courantes

Penser que log⁡50=1,5\log 50 = 1{,}5 parce que 50 est à peu près au milieu entre 10 et 100

Pourquoi c'est faux: Une échelle logarithmique n'est pas régulière. Chaque pas de 1 sur le logarithme multiplie le nombre par 10, donc le milieu entre 10 et 100 est 101,5≈31,610^{1{,}5} \approx 31{,}6.

Correct: log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699. Encadre d'abord entre deux entiers (1<log⁡50<21 < \log 50 < 2), puis utilise la calculatrice.

Écrire log⁡0,01=2\log 0{,}01 = 2 ou dire que le logarithme d'un nombre décimal n'existe pas

Pourquoi c'est faux: 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}, l'exposant est donc négatif. Les logarithmes des nombres entre 0 et 1 existent, ils sont simplement négatifs.

Correct: log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2, log⁡0,1=−1\log 0{,}1 = -1, log⁡0,001=−3\log 0{,}001 = -3.

Écrire log⁡0=0\log 0 = 0 ou log⁡(−100)=−2\log(-100) = -2

Pourquoi c'est faux: 10n10^n est positif pour tout exposant nn. Aucune puissance de 10 n'est égale à 0 ou à un nombre négatif.

Correct: log⁡0\log 0 et log⁡(−100)\log(-100) ne sont pas définis, la calculatrice affiche une erreur. Retiens : log⁡1=0\log 1 = 0, et non log⁡0\log 0.

Compter tous les chiffres : log⁡1 000=4\log 1\,000 = 4

Pourquoi c'est faux: 1 0001\,000 a 4 chiffres mais seulement 3 zéros. Le logarithme compte les facteurs 10, pas les chiffres.

Correct: log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 car 103=1 00010^3 = 1\,000. Un entier de dd chiffres a un logarithme compris entre d−1d - 1 et dd.

Visuel interactif

10³ = 1000
3

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Diagramme à barres

Logarithme décimal de x

0,01(-2)
0,1(-1)
1(0)
5(0,7)
10(1)
50(1,7)
100(2)
1000(3)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile

Combien vaut log⁡10 000\log 10\,000 ?

Pourquoi c'est important

Notre système de numération est en base 10, donc le logarithme décimal donne d'un coup d'œil la taille d'un nombre :
  • Ordres de grandeur : la partie entière de log⁡x\log x est l'exposant de xx en écriture scientifique. log⁡(3 000)≈3,477\log(3\,000) \approx 3{,}477 et 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3.
  • Chimie : le pH d'une solution est −log⁡-\log de la concentration en ions hydrogène.
  • Son : les décibels utilisent 10log⁡10 \log d'un rapport d'intensités.
  • Séismes et étoiles : l'échelle de Richter et les échelles de luminosité des étoiles reposent sur des logarithmes de base 10.
  • Graphiques scientifiques : une échelle logarithmique place 11, 1010, 100100 et 1 000 0001\,000\,000 sur un même axe lisible.
Si tu connais par cœur les logarithmes des puissances de 10, tu peux vérifier n'importe quel résultat de la calculatrice en quelques secondes.

Applications dans le monde réel

Ordres de grandeur

Les scientifiques comparent des grandeurs immenses et minuscules par leur ordre de grandeur : la partie entière de leur logarithme décimal.

Exemple:

Un cheveu humain mesure environ 0,00010{,}0001 m d'épaisseur, et log⁡0,0001=−4\log 0{,}0001 = -4. La Terre mesure environ 10 000 00010\,000\,000 m de large, et log⁡10 000 000=7\log 10\,000\,000 = 7. L'écart de 11 ordres de grandeur signifie que la Terre est environ 101110^{11} fois plus large.

1Essaie par toi-même

La population mondiale est d'environ 8 000 000 0008\,000\,000\,000 personnes.

Quel est son ordre de grandeur, c'est-à-dire la partie entière de log⁡8 000 000 000\log 8\,000\,000\,000 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la partie entière du logarithme :

Le pH en chimie

Le pH d'une solution est $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en mol/L. Plus le pH est bas, plus la solution est acide.

Exemple:

L'eau pure a [H+]=0,0000001=10−7[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}, donc pH=−(−7)=7\text{pH} = -(-7) = 7 (neutre).

2Essaie par toi-même

Un échantillon de jus d'orange a [H+]=0,0001[H^+] = 0{,}0001 mol/L.

Quel est son pH ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule −log⁡0,0001-\log 0{,}0001 :

Décibels et son

Le niveau sonore en décibels est $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, où $\dfrac{I}{I_0}$ indique combien de fois un son est plus intense que le son le plus faible que l'on peut entendre.

Exemple:

Un chuchotement est environ 100100 fois plus intense que le seuil d'audition : L=10log⁡100=10×2=20L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20 dB.

3Essaie par toi-même

Une conversation normale est environ 1 000 0001\,000\,000 de fois plus intense que le seuil d'audition.

Quel est son niveau sonore en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 10log⁡1 000 00010 \log 1\,000\,000 :

Points clés

  • 1Le logarithme décimal a pour base 10 : log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x, et log⁡x=n\log x = n signifie 10n=x10^n = x
  • 2Les puissances de 10 ont des logarithmes entiers : log⁡(10n)=n\log(10^n) = n, par exemple log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 et log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2
  • 3log⁡1=0\log 1 = 0 et log⁡10=1\log 10 = 1 ; les nombres entre 0 et 1 ont un logarithme négatif
  • 4Pour encadrer log⁡x\log x, cherche les puissances de 10 autour de xx : 10<50<10010 < 50 < 100 donne 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2
  • 5La partie entière de log⁡x\log x est l'ordre de grandeur, l'exposant de xx en écriture scientifique
  • 6La touche LOG donne les décimales (log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699) ; log⁡0\log 0 et les logarithmes de nombres négatifs n'existent pas

Questions fréquentes

Notre système de numération est décimal, c'est-à-dire en base 10. Pendant des siècles, les tables de logarithmes étaient en base 10, et aujourd'hui toutes les calculatrices scientifiques ont la touche LOG. Comme on s'en sert très souvent, on n'écrit pas la base : log⁡x\log x signifie log⁡10x\log_{10} x.
Notre système de numération est décimal, c'est-à-dire en base 10. Pendant des siècles, les tables de logarithmes étaient en base 10, et aujourd'hui toutes les calculatrices scientifiques ont la touche LOG. Comme on s'en sert très souvent, on n'écrit pas la base : log⁡x\log x signifie log⁡10x\log_{10} x.
Elle utilise une méthode numérique rapide pour trouver l'exposant nn tel que 10n=5010^n = 50. Tu peux vérifier son résultat : 101,699≈5010^{1{,}699} \approx 50. L'encadrement 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2 te dit si tu as appuyé sur les bonnes touches.
On obtient les nombres entre 0 et 1 avec des exposants négatifs : 0,01=1100=10−20{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}. Donc log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2. Seul l'argument doit être positif, le logarithme lui-même peut être n'importe quel réel.
Non. LOG utilise la base 10, tandis que LN utilise une autre base, le nombre e≈2,718e \approx 2{,}718. Par exemple log⁡100=2\log 100 = 2, mais ln⁡100≈4,605\ln 100 \approx 4{,}605. La leçon Logarithme népérien (ln) présente cette touche.

Glossaire

Logarithme décimal
Le logarithme de base 10, noté log⁡x\log x : l'exposant nn tel que 10n=x10^n = x
Base
Le nombre que l'on élève à une puissance ; pour le logarithme décimal, c'est 10
Argument
Le nombre dont on prend le logarithme, le xx de log⁡x\log x ; il doit être strictement positif
Puissance de 10
Un nombre de la forme 10n10^n, comme 1 000=1031\,000 = 10^3 ou 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}
Ordre de grandeur
La partie entière de log⁡x\log x, c'est-à-dire l'exposant de xx en écriture scientifique
Écriture scientifique
Écrire un nombre sous la forme a×10na \times 10^n avec 1≤a<101 \le a < 10, comme 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3

Carte des formules

Logarithme décimal

log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x

La base 10 n'est pas écrite

Logarithme d'une puissance de 10

log⁡(10n)=n\log(10^n) = n

Par exemple $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Valeurs particulières

log⁡1=0,log⁡10=1\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Car $10^0 = 1$ et $10^1 = 10$

Encadrement

10n≤x<10n+1⇒n≤log⁡x<n+110^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Les puissances de 10 autour de $x$ donnent la partie entière

Retour au nombre

10log⁡x=x10^{\log x} = x

Par exemple $10^{1{,}699} \approx 50$

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Avancé25 min

Définition du logarithme

Avancé25 min

Logarithme népérien (ln)

Avancé25 min

Représenter graphiquement une fonction logarithme

Avancé30 min