Tracer la fonction de référence

Trace $y = \log_2 x$ et donne son ensemble de définition, son ensemble image et son asymptote.

Choisis des valeurs de x qui sont des puissances de 2: $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$, car $\log_2$ d'une puissance de 2 se trouve facilement = Six valeurs de x faciles

Calcule chaque valeur de y: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, $\log_2 1 = 0$, $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$ = $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Place les points et trace l'asymptote: Place $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$, $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(8, 3)$ et trace la droite en pointillés $x = 0$ = Points et asymptote $x = 0$

Relie-les par une courbe régulière: La courbe plonge près de l'axe des ordonnées sans le toucher et monte lentement vers la droite = Courbe croissante passant par $(1, 0)$

Answer: Ensemble de définition $x > 0$, ensemble image tous les réels, asymptote verticale $x = 0$, intersection avec l'axe des abscisses $(1, 0)$.

Une base entre 0 et 1

Trace $y = \log_{1/2} x$ et compare-la avec $y = \log_2 x$.

Utilise les points clés: $\left(\frac{1}{b}, -1\right) = (2, -1)$, $(1, 0)$, $(b, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ = $(2, -1)$, $(1, 0)$, $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

Ajoute un point: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, donc $\log_{1/2} 4 = -2$ = $(4, -2)$

Décris le sens de variation: Quand $x$ augmente, $y$ diminue : $1, 0, -1, -2$ = La courbe est décroissante

Compare avec la base 2: En $x = 2$ : $\log_2 2 = 1$ mais $\log_{1/2} 2 = -1$. Chaque valeur de y change de signe = $\log_{1/2} x = -\log_2 x$

Answer: La courbe de $y = \log_{1/2} x$ est décroissante, passe par $(1, 0)$, a pour asymptote $x = 0$ et est la symétrique de $y = \log_2 x$ par rapport à l'axe des abscisses.

Symétrique d'une courbe exponentielle

Utilise des points de $y = 3^x$ pour trouver des points de $y = \log_3 x$.

Liste des points de la fonction exponentielle: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, $3^0 = 1$, $3^1 = 3$, $3^2 = 9$ = $\left(-1, \frac{1}{3}\right)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$

Échange x et y dans chaque point: La symétrie par rapport à $y = x$ transforme $(p, q)$ en $(q, p)$ = $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$

Échange aussi les asymptotes: $y = 3^x$ a l'asymptote horizontale $y = 0$ ; après l'échange elle devient $x = 0$ = Asymptote verticale $x = 0$

Échange ensemble de définition et ensemble image: $y = 3^x$ : défini sur tous les réels, image $y > 0$. $y = \log_3 x$ : défini pour $x > 0$, image tous les réels = Ensemble de définition $x > 0$

Answer: $y = \log_3 x$ passe par $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$ avec l'asymptote $x = 0$.

Translater la courbe

Trace $y = \log_2(x - 3) + 1$. Donne l'asymptote, l'ensemble de définition, l'ensemble image et l'intersection avec l'axe des abscisses.

Lis h et k: Compare avec $y = \log_b(x - h) + k$ : $b = 2$, $h = 3$, $k = 1$ = 3 vers la droite, 1 vers le haut

Déplace l'asymptote: $x = 0$ se décale de 3 unités vers la droite = Asymptote $x = 3$, ensemble de définition $x > 3$

Déplace les points clés: $(1, 0) \to (1 + 3, 0 + 1)$ et $(2, 1) \to (2 + 3, 1 + 1)$ = $(4, 1)$ et $(5, 2)$

Trouve l'intersection avec l'axe des abscisses: $\log_2(x - 3) + 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x - 3) = -1 \Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ = $x = 3{,}5$

Answer: Asymptote $x = 3$, ensemble de définition $x > 3$, ensemble image tous les réels, intersection avec l'axe des abscisses $(3{,}5 ; 0)$, points clés $(4, 1)$ et $(5, 2)$.

Retrouver l'équation à partir de la courbe

Une courbe de la forme $y = \log_b(x - h) + k$ a l'asymptote verticale $x = -1$ et passe par $(0, 2)$ et $(1, 3)$. Trouve $b$, $h$ et $k$.

Utilise l'asymptote: L'asymptote est $x = h$, donc $h = -1$ = $h = -1$

Utilise le point clé (1 + h, k): $1 + h = 1 + (-1) = 0$, donc le point $(0, 2)$ donne $k = 2$ = $k = 2$

Utilise le point clé (b + h, 1 + k): $1 + k = 3$ correspond au point $(1, 3)$, donc $b + h = 1$ et $b = 1 - (-1)$ = $b = 2$

Écris l'équation et vérifie: $y = \log_2(x + 1) + 2$. Vérification : $x = 1$ donne $\log_2 2 + 2 = 3$ = $y = \log_2(x + 1) + 2$

Answer: $y = \log_2(x + 1) + 2$, donc $b = 2$, $h = -1$, $k = 2$.

Mistake: Décaler $y = \log_2(x - 3)$ de trois unités vers la gauche

Why: Le signe moins fait penser à un décalage vers la gauche, mais l'argument $x - 3$ doit être positif, ce qui donne $x > 3$ : toute la courbe est à droite de $x = 3$.

Correct: $y = \log_b(x - h)$ décale la courbe de $h$ unités vers la droite. $y = \log_2(x - 3)$ a pour asymptote $x = 3$.

Mistake: Faire toucher ou traverser l'axe des ordonnées par la courbe

Why: $\log_b 0$ et le logarithme d'un nombre négatif n'existent pas, car $b^y$ est toujours positif.

Correct: La courbe de $y = \log_b x$ se rapproche de plus en plus de $x = 0$ sans jamais l'atteindre. L'ensemble de définition est $x > 0$.

Mistake: Penser que la courbe se stabilise à une certaine hauteur

Why: La courbe monte lentement et paraît plate, mais elle ne s'arrête jamais de monter : $\log_2 1024 = 10$ et $\log_2 1048576 = 20$.

Correct: Une courbe logarithme n'a pas d'asymptote horizontale. L'ensemble image est l'ensemble de tous les réels.

Mistake: Garder l'ensemble de définition $x > 0$ après une translation horizontale

Why: L'ensemble de définition vient de l'argument, pas de $x$ tout seul.

Correct: Pour $y = \log_3(x + 5)$, l'argument $x + 5$ doit être positif, donc l'ensemble de définition est $x > -5$.

Niveau sonore en décibels

Un sonomètre affiche $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ décibels, où $\frac{I}{I_0}$ indique combien de fois le son est plus fort que le son le plus faible que l'on puisse entendre. La courbe est une courbe logarithme étirée : très plate pour les grandes intensités.

Un son $100$ fois plus fort que $I_0$ donne $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un son encore $10$ fois plus fort ne donne que $30$ dB.

Recherche dichotomique en informatique

La recherche dichotomique trouve un nom dans une liste triée en coupant la liste en deux encore et encore. Pour $n$ noms, il faut environ $\log_2 n$ partages, donc la courbe du nombre d'étapes est la courbe de $y = \log_2 x$.

Une liste de $8$ noms demande $\log_2 8 = 3$ partages : $8 \to 4 \to 2 \to 1$.

L'échelle de pH en chimie

On mesure l'acidité avec $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. Le signe moins retourne la courbe logarithme par rapport à l'axe des abscisses, donc le pH baisse quand la concentration augmente.

Le jus de citron a $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$, donc $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$.

Q: Pourquoi la courbe ne touche-t-elle jamais l'axe des ordonnées ?

A: Sur l'axe des ordonnées, $x = 0$, et $\log_b 0$ demanderait $b^y = 0$. Une base positive élevée à n'importe quelle puissance reste positive, donc aucun $y$ ne convient. Près de $x = 0$, les valeurs deviennent de très grands nombres négatifs (pour $b > 1$), c'est pourquoi la courbe plonge le long de l'asymptote.

Q: La courbe du logarithme a-t-elle une asymptote horizontale comme l'exponentielle ?

A: Non. La courbe exponentielle a l'asymptote horizontale $y = 0$ ; après la symétrie par rapport à $y = x$, elle devient l'asymptote verticale $x = 0$. La courbe du logarithme continue de monter (pour $b > 1$), simplement très lentement.

Q: À quoi ressemblent les courbes de $\log x$ et de $\ln x$ ?

A: Les deux ont une base supérieure à 1 ($10$ et $e \approx 2{,}718$), donc les deux sont croissantes, passent par $(1, 0)$ et ont l'asymptote $x = 0$. $\ln x$ passe par $(e, 1)$ et $\log x$ par $(10, 1)$, donc $\ln x$ monte plus vite.

Q: Comment savoir si une courbe logarithme est croissante ou décroissante ?

A: Regarde la base. Si $b > 1$, la courbe est croissante ; si $0 < b < 1$, elle est décroissante. Un signe moins devant, comme dans $y = -\log_2 x$, transforme aussi une courbe croissante en courbe décroissante.