La courbe du logarithme a-t-elle une asymptote horizontale comme l'exponentielle ?

Non. La courbe exponentielle a l'asymptote horizontale $y = 0$ ; après la symétrie par rapport à $y = x$, elle devient l'asymptote verticale $x = 0$. La courbe du logarithme continue de monter (pour $b > 1$), simplement très lentement.

À quoi ressemblent les courbes de $\log x$ et de $\ln x$ ?

Les deux ont une base supérieure à 1 ($10$ et $e \approx 2{,}718$), donc les deux sont croissantes, passent par $(1, 0)$ et ont l'asymptote $x = 0$. $\ln x$ passe par $(e, 1)$ et $\log x$ par $(10, 1)$, donc $\ln x$ monte plus vite.

Comment savoir si une courbe logarithme est croissante ou décroissante ?

Regarde la base. Si $b > 1$, la courbe est croissante ; si $0 < b < 1$, elle est décroissante. Un signe moins devant, comme dans $y = -\log_2 x$, transforme aussi une courbe croissante en courbe décroissante.

Ressources enseignants

Représenter graphiquement une fonction logarithme

Q: Pourquoi la courbe ne touche-t-elle jamais l'axe des ordonnées ?

Sur l'axe des ordonnées, $x = 0$, et $\log_b 0$ demanderait $b^y = 0$. Une base positive élevée à n'importe quelle puissance reste positive, donc aucun $y$ ne convient. Près de $x = 0$, les valeurs deviennent de très grands nombres négatifs (pour $b > 1$), c'est pourquoi la courbe plonge le long de l'asymptote.

Apprends à tracer une fonction logarithme : points clés, ensemble de définition, ensemble image, asymptote verticale, symétrique de l'exponentielle et translations.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une fonction logarithme s'écrit

f(x) = \log_b x

avec une base

b > 0

b \neq 1

. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle

y = b^x

y = \log_b x

signifie

b^y = x

Points clés (ils viennent directement de la définition) :

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ car $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ car $b^0 = 1$
$(b, 1)$ car $b^1 = b$

**Propriétés de la courbe de

y = \log_b x

:**

Ensemble de définition : $x > 0$ (on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre positif)
Ensemble image : tous les nombres réels
Asymptote verticale : la droite $x = 0$ (l'axe des ordonnées) ; la courbe s'en rapproche de plus en plus sans jamais la toucher
Intersection avec l'axe des abscisses : $(1, 0)$ ; il n'y a pas d'intersection avec l'axe des ordonnées
Si $b > 1$ , la courbe est croissante ; si $0 < b < 1$ , elle est décroissante

La courbe de

y = \log_b x

est la symétrique de la courbe de

y = b^x

par rapport à la droite

y = x

: chaque point

(p, q)

y = b^x

devient le point

(q, p)

Transformations :

y = \log_b(x - h) + k

décale la courbe de $h$ unités vers la droite (vers la gauche si $h < 0$ ) et de $k$ unités vers le haut (vers le bas si $k < 0$ )
asymptote verticale $x = h$ , ensemble de définition $x > h$ , points clés $(1 + h, k)$ et $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ est la symétrique par rapport à l'axe des abscisses ; $y = \log_b(-x)$ est la symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (ensemble de définition $x < 0$ )

Dans le graphique interactif, déplace les curseurs

b

h

k

et observe l'asymptote et les deux points clés bouger.

Essaie tout de suite

Quel est l'ensemble de définition de

y = \log_3 x

Exemples résolus

Trace $y = \log_2 x$ et donne son ensemble de définition, son ensemble image et son asymptote.

Choisis des valeurs de x qui sont des puissances de 2

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , car $\log_2$ d'une puissance de 2 se trouve facilement → Six valeurs de x faciles

Calcule chaque valeur de y

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Place les points et trace l'asymptote

Place $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ et trace la droite en pointillés $x = 0$ → Points et asymptote $x = 0$

Relie-les par une courbe régulière

La courbe plonge près de l'axe des ordonnées sans le toucher et monte lentement vers la droite → Courbe croissante passant par $(1, 0)$

Réponse: Ensemble de définition $x > 0$ , ensemble image tous les réels, asymptote verticale $x = 0$ , intersection avec l'axe des abscisses $(1, 0)$ .

Erreurs courantes

Décaler $y = \log_2(x - 3)$ de trois unités vers la gauche

Pourquoi c'est faux: Le signe moins fait penser à un décalage vers la gauche, mais l'argument $x - 3$ doit être positif, ce qui donne $x > 3$ : toute la courbe est à droite de $x = 3$ .

Correct: $y = \log_b(x - h)$ décale la courbe de $h$ unités vers la droite. $y = \log_2(x - 3)$ a pour asymptote $x = 3$ .

Faire toucher ou traverser l'axe des ordonnées par la courbe

Pourquoi c'est faux: $\log_b 0$ et le logarithme d'un nombre négatif n'existent pas, car $b^y$ est toujours positif.

Correct: La courbe de $y = \log_b x$ se rapproche de plus en plus de $x = 0$ sans jamais l'atteindre. L'ensemble de définition est $x > 0$ .

Penser que la courbe se stabilise à une certaine hauteur

Pourquoi c'est faux: La courbe monte lentement et paraît plate, mais elle ne s'arrête jamais de monter : $\log_2 1024 = 10$ et $\log_2 1048576 = 20$ .

Correct: Une courbe logarithme n'a pas d'asymptote horizontale. L'ensemble image est l'ensemble de tous les réels.

Garder l'ensemble de définition $x > 0$ après une translation horizontale

Pourquoi c'est faux: L'ensemble de définition vient de l'argument, pas de $x$ tout seul.

Correct: Pour $y = \log_3(x + 5)$ , l'argument $x + 5$ doit être positif, donc l'ensemble de définition est $x > -5$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

b = 2h = 0k = 0

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = log_b(x - h) + kAsymptote

Tableau de valeurs

x	0,5	1	2	4	8
y	-1	0	1	2	3

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

y = xAsymptote

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

x	0,25	0,5	1	2	4	8
log_2(x)	-2	-1	0	1	2	3
log_0.5(x)	2	1	0	-1	-2	-3

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = log_2(x)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quel est l'ensemble de définition de $y = \log_3 x$ ?

Pourquoi c'est important

Les courbes de fonctions logarithmes montrent comment une grandeur augmente quand chaque nouveau pas demande beaucoup plus d'entrée :

Son : un sonomètre affiche $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ décibels ; multiplier l'intensité par $10$ n'ajoute que $10$ dB, c'est pour cela que la courbe est si plate.
Chimie : $\text{pH} = -\log[H^+]$ est une courbe logarithme retournée : plus d'ions hydrogène donnent un pH plus petit.
Informatique : la recherche dichotomique demande environ $\log_2 n$ étapes pour $n$ éléments ; doubler la liste n'ajoute qu'une étape.
Séismes : la magnitude sur l'échelle de Richter augmente de $1$ chaque fois que l'amplitude est multipliée par $10$ .

Lire ces courbes, c'est repérer trois choses d'un coup d'œil : où se trouve l'asymptote, quelles valeurs sont permises (ensemble de définition) et à quelle vitesse la courbe monte. Cette leçon s'appuie sur « Définition du logarithme » et te prépare à « Résoudre des équations logarithmiques ».

Applications dans le monde réel

Niveau sonore en décibels

Un sonomètre affiche $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ décibels, où $\frac{I}{I_0}$ indique combien de fois le son est plus fort que le son le plus faible que l'on puisse entendre. La courbe est une courbe logarithme étirée : très plate pour les grandes intensités.

Exemple:

Un son $100$ fois plus fort que $I_0$ donne $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Un son encore $10$ fois plus fort ne donne que $30$ dB.

1Essaie par toi-même

Dans une bibliothèque calme, le son est $1000$ fois plus fort que le son audible le plus faible, donc $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

Quel est le niveau sonore $L$ en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $L = 10 \log(1000)$ :

Recherche dichotomique en informatique

La recherche dichotomique trouve un nom dans une liste triée en coupant la liste en deux encore et encore. Pour $n$ noms, il faut environ $\log_2 n$ partages, donc la courbe du nombre d'étapes est la courbe de $y = \log_2 x$.

Exemple:

Une liste de $8$ noms demande $\log_2 8 = 3$ partages : $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Essaie par toi-même

Une liste de contacts triée contient $1024$ noms. Chaque étape de la recherche dichotomique coupe la liste en deux.

Combien de partages faut-il pour arriver à un seul nom ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\log_2(1024)$ :

L'échelle de pH en chimie

On mesure l'acidité avec $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. Le signe moins retourne la courbe logarithme par rapport à l'axe des abscisses, donc le pH baisse quand la concentration augmente.

Exemple:

Le jus de citron a $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , donc $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Essaie par toi-même

Un échantillon d'eau de pluie a $[H^+] = 0{,}0001$ .

Quel est son pH ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Points clés

1 $y = \log_b x$ est la réciproque de $y = b^x$ : sa courbe est la symétrique de celle de $y = b^x$ par rapport à la droite $y = x$
2Points clés de $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ et $(b, 1)$
3Ensemble de définition $x > 0$ , ensemble image tous les réels, asymptote verticale $x = 0$ , pas d'intersection avec l'axe des ordonnées
4Pour $b > 1$ la courbe est croissante ; pour $0 < b < 1$ elle est décroissante
5 $y = \log_b(x - h) + k$ décale la courbe de $h$ vers la droite et de $k$ vers le haut : asymptote $x = h$ , ensemble de définition $x > h$
6Un signe moins devant le logarithme donne la symétrique par rapport à l'axe des abscisses ; $\log_b(-x)$ donne la symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Questions fréquentes

Sur l'axe des ordonnées,

x = 0

, et

\log_b 0

demanderait

b^y = 0

. Une base positive élevée à n'importe quelle puissance reste positive, donc aucun

y

ne convient. Près de

x = 0

, les valeurs deviennent de très grands nombres négatifs (pour

b > 1

), c'est pourquoi la courbe plonge le long de l'asymptote.

Glossaire

Fonction logarithme: Une fonction $f(x) = \log_b x$ avec $b > 0$ , $b \neq 1$ ; elle donne l'exposant auquel il faut élever $b$ pour obtenir $x$
Asymptote verticale: Une droite verticale $x = h$ dont la courbe se rapproche de plus en plus sans la toucher ; pour $y = \log_b x$ , c'est $x = 0$
Ensemble de définition: Toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie ; pour $y = \log_b(x - h)$ , c'est $x > h$
Ensemble image: Toutes les valeurs de y prises par la fonction ; pour toute fonction logarithme, ce sont tous les nombres réels
Fonction réciproque: Une fonction qui défait une autre fonction ; sa courbe est la symétrique par rapport à $y = x$ , comme $y = \log_b x$ pour $y = b^x$
Points clés: Des points faciles à placer : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ et $(b, 1)$ pour $y = \log_b x$

Carte des formules

Fonction de référence

y = \log_b x \iff b^y = x

Base $b > 0$, $b \neq 1$ ; ensemble de définition $x > 0$, ensemble image tous les réels

Points clés

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Place d'abord ces trois points

Fonction transformée

y = \log_b(x - h) + k

Asymptote $x = h$, ensemble de définition $x > h$, points clés $(1 + h, k)$ et $(b + h, 1 + k)$

Symétries

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

Par rapport à l'axe des abscisses et par rapport à l'axe des ordonnées (ensemble de définition $x < 0$)

Réciproque de l'exponentielle

(p, q) \text{ sur } y = b^x \iff (q, p) \text{ sur } y = \log_b x

Symétrie par rapport à la droite $y = x$

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