Le pH d'un soda

Un soda a une concentration en ions hydrogène $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcule son pH, arrondi à deux décimales.

Écrire la formule: $\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ = $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Calculer le logarithme décimal: $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$ = $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Appliquer le signe moins: $\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$ = $3{,}49485$

Arrondir à deux décimales: La troisième décimale est $4$, donc on arrondit vers le bas = $\text{pH} \approx 3{,}49$

Answer: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (acide, car inférieur à 7)

Le niveau sonore d'un aspirateur

Un aspirateur produit un son $5\,000\,000$ de fois plus intense que le seuil d'audibilité, donc $\frac{I}{I_0} = 5\,000\,000$. Calcule son niveau sonore en décibels, arrondi à une décimale.

Écrire la formule: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 10 \log(5\,000\,000)$ = $L = 10 \log(5\,000\,000)$

Calculer le logarithme: $5\,000\,000 = 5 \times 10^6$, donc $\log(5\,000\,000) = \log 5 + 6 \approx 6{,}69897$ = $\approx 6{,}69897$

Multiplier par 10: $L \approx 10 \times 6{,}69897 = 66{,}9897$ = $66{,}9897$

Arrondir à une décimale: La deuxième décimale est $8$, donc on arrondit vers le haut = $L \approx 67{,}0$ dB

Answer: $L \approx 67{,}0$ dB

Comparer deux séismes

Un séisme mesure $7{,}3$ sur l'échelle de Richter et un autre $5{,}1$. Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ? Arrondis à l'unité.

Calculer la différence de magnitude: $d = 7{,}3 - 5{,}1 = 2{,}2$ = $d = 2{,}2$

Transformer la différence en rapport: Chaque degré entier de l'échelle multiplie l'amplitude par $10$, donc le rapport vaut $10^{d} = 10^{2{,}2}$ = $10^{2{,}2}$

Calculer la puissance: $10^{2{,}2} = 10^2 \times 10^{0{,}2} \approx 100 \times 1{,}58489 = 158{,}489$ = $\approx 158{,}489$

Arrondir à l'unité: $158{,}489 \approx 158$ = $158$

Answer: L'amplitude est environ $158$ fois plus grande (et non $2{,}2$ fois !)

Quand l'épargne double-t-elle ?

Tu places 1000 € à $5\,\%$ d'intérêts composés une fois par an. Au bout de combien de temps le solde atteint-il 2000 € ? Donne $t$ arrondi à deux décimales, puis le nombre d'années complètes nécessaires.

Écrire l'équation de croissance: $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ = $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$

Isoler la puissance: Diviser les deux membres par $1000$ = $1{,}05^t = 2$

Appliquer ln aux deux membres et utiliser la propriété de la puissance: $\ln(1{,}05^t) = \ln 2 \Rightarrow t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2$ = $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$

Calculer et arrondir à deux décimales: $t \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$ = $t \approx 14{,}21$ ans

Interpréter : les intérêts sont versés une fois par an: Après 14 ans : $1000 \cdot 1{,}05^{14} \approx 1979{,}93$ (pas encore). Après 15 ans : $1000 \cdot 1{,}05^{15} \approx 2078{,}93$ = $15$ années complètes

Answer: $t \approx 14{,}21$ ans, donc le solde atteint 2000 € pour la première fois après $15$ années complètes

La demi-vie d'un médicament

Une patiente prend $400$ mg d'un médicament dont la demi-vie est de $6$ heures. Au bout de combien d'heures ne restera-t-il que $30$ mg ? Arrondis à une décimale.

Écrire le modèle de demi-vie: $400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = 30$ = $400 \cdot 0{,}5^{t/6} = 30$

Isoler la puissance: $0{,}5^{t/6} = \frac{30}{400} = 0{,}075$ = $0{,}5^{t/6} = 0{,}075$

Appliquer ln aux deux membres: $\frac{t}{6} \cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}075$ = $\frac{t}{6} = \frac{\ln 0{,}075}{\ln 0{,}5} \approx 3{,}73697$

Multiplier par 6 et arrondir: $t \approx 6 \times 3{,}73697 \approx 22{,}4218$ = $t \approx 22{,}4$ heures

Answer: Environ $22{,}4$ heures (un peu moins de 4 demi-vies, car après 4 demi-vies il resterait $25$ mg)

Mistake: Dire qu'un séisme de magnitude 8 est "2 fois" ou "deux fois" plus fort qu'un séisme de magnitude 6

Why: L'échelle de Richter est logarithmique : chaque degré entier multiplie l'amplitude par 10. Les différences de magnitude sont des exposants, pas des coefficients multiplicateurs.

Correct: Rapport des amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ fois.

Mistake: Oublier le signe moins dans $\text{pH} = -\log[H^+]$ et obtenir un pH négatif comme $-3{,}49$

Why: Des concentrations comme $0{,}00032$ sont inférieures à 1, donc leur logarithme est négatif. Le signe moins de la formule rend le pH positif.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Mistake: Utiliser le taux au lieu du coefficient multiplicateur : $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Why: Le solde est multiplié chaque année par $1 + r = 1{,}05$, pas par $0{,}05$. De plus, $\ln 0{,}05$ est négatif, ce qui donnerait une durée négative.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ ans. Pour une décroissance, utilise $1 - r$, par exemple $0{,}85$ pour une baisse de $15\,\%$.

Mistake: Arrondir trop tôt, par exemple écrire $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$

Why: De petits arrondis dans un quotient s'amplifient : $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ au lieu de $14{,}21$, soit une erreur d'environ 4 mois.

Correct: Garde toute la précision de la calculatrice (ou au moins 5 chiffres significatifs) et n'arrondis que le résultat final, comme le demande l'énoncé.

Les pluies acides

Les scientifiques de l'environnement comparent l'acidité des pluies grâce au pH. Comme le pH est un logarithme, une petite différence de pH signifie une grande différence d'ions hydrogène.

Une pluie normale a un pH d'environ $5{,}6$. Une pluie de pH $4{,}6$ contient $10^{1} = 10$ fois plus d'ions hydrogène.

Protéger son audition en concert

Les ingénieurs du son et les audioprothésistes travaillent en décibels. Les bouchons d'oreille sont classés selon la réduction d'intensité sonore qu'ils apportent.

Diviser l'intensité par $10$ fait baisser le niveau de $10$ dB, la diviser par $100$ le fait baisser de $20$ dB.

Planifier un objectif d'épargne

Les conseillers financiers utilisent les logarithmes pour savoir combien d'années un placement met à atteindre un objectif.

À $4\,\%$ par an, l'argent est multiplié par $1{,}04$ chaque année, donc le nombre d'années vaut $t = \frac{\ln(\text{objectif}/\text{départ})}{\ln 1{,}04}$.

Q: Faut-il utiliser log ou ln pour trouver une durée ?

A: Les deux marchent, à condition d'utiliser le même en haut et en bas : $\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$. Les formules du pH et des décibels sont définies avec le logarithme décimal $\log$ (base 10), utilise donc $\log$ dans ces cas-là.

Q: Pourquoi la réponse est-elle 15 ans si la calculatrice affiche 14,21 ?

A: L'équation traite le temps comme continu, mais la banque ne verse les intérêts qu'une fois par an. Après 14 ans, le solde est encore sous l'objectif, il faut donc le 15e versement. Demande-toi toujours si la situation autorise des fractions d'année.

Q: Un pH peut-il être négatif ou supérieur à 14 ?

A: Mathématiquement oui : $[H^+] = 2$ mol/L donne $\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30$. Dans la chimie de tous les jours, presque toutes les solutions ont toutefois un pH entre 0 et 14.

Q: Existe-t-il une estimation rapide du temps de doublement ?

A: La "règle des 72" dit que le temps de doublement vaut environ $72 \div (\text{taux en }\%)$. À $5\,\%$ : $72 \div 5 = 14{,}4$ ans, proche de la valeur exacte $14{,}21$. Utilise les logarithmes quand l'énoncé demande une réponse exacte.