Pourquoi la réponse est-elle 15 ans si la calculatrice affiche 14,21 ?

L'équation traite le temps comme continu, mais la banque ne verse les intérêts qu'une fois par an. Après 14 ans, le solde est encore sous l'objectif, il faut donc le 15e versement. Demande-toi toujours si la situation autorise des fractions d'année.

Un pH peut-il être négatif ou supérieur à 14 ?

Mathématiquement oui : $[H^+] = 2$ mol/L donne $\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30$. Dans la chimie de tous les jours, presque toutes les solutions ont toutefois un pH entre 0 et 14.

Existe-t-il une estimation rapide du temps de doublement ?

La "règle des 72" dit que le temps de doublement vaut environ $72 \div (\text{taux en }\%)$. À $5\,\%$ : $72 \div 5 = 14{,}4$ ans, proche de la valeur exacte $14{,}21$. Utilise les logarithmes quand l'énoncé demande une réponse exacte.

Ressources enseignants

Problèmes concrets avec les logarithmes

Utilise les logarithmes pour résoudre de vrais problèmes : pH, décibels, magnitude des séismes, temps de doublement, demi-vie et croissance d'un placement.

Avancé35 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un problème concret avec les logarithmes décrit une situation réelle dans laquelle l'inconnue est un exposant : une durée, une magnitude ou un niveau. Tu le résous en trois temps : écrire la formule, isoler la puissance, puis appliquer un logarithme aux deux membres.

Deux types de problèmes reviennent sans cesse :

1. Les échelles logarithmiques (la formule contient déjà un logarithme) :

pH d'une solution : $\text{pH} = -\log[H^+]$ , où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en mol/L
Niveau sonore en décibels : $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , où $I_0$ est le seuil d'audibilité
Magnitude sur l'échelle de Richter : deux séismes dont les magnitudes diffèrent de $d$ ont des amplitudes dans le rapport $10^{d}$

2. Croissance et décroissance dans le temps (l'inconnue

t

est dans l'exposant) :

A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}

Pour une croissance continue,

A = Pe^{rt}

donne

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

, et pour une demi-vie

h

, la quantité

N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h}

donne

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}

Ici,

\log

désigne le logarithme décimal (base 10) et

\ln

le logarithme népérien (base

e

). La plupart des réponses sont des nombres décimaux, donc chaque problème précise comment arrondir, et tu n'arrondis qu'à la toute fin.

Essaie tout de suite

On compare un séisme de magnitude

6

à un séisme de magnitude

4

sur l'échelle de Richter. Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ?

Exemples résolus

Un soda a une concentration en ions hydrogène $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcule son pH, arrondi à deux décimales.

Écrire la formule

$\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ → $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Calculer le logarithme décimal

$\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Appliquer le signe moins

$\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$

Arrondir à deux décimales

La troisième décimale est $4$ , donc on arrondit vers le bas → $\text{pH} \approx 3{,}49$

Réponse: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (acide, car inférieur à 7)

Erreurs courantes

Dire qu'un séisme de magnitude 8 est "2 fois" ou "deux fois" plus fort qu'un séisme de magnitude 6

Pourquoi c'est faux: L'échelle de Richter est logarithmique : chaque degré entier multiplie l'amplitude par 10. Les différences de magnitude sont des exposants, pas des coefficients multiplicateurs.

Correct: Rapport des amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ fois.

Oublier le signe moins dans $\text{pH} = -\log[H^+]$ et obtenir un pH négatif comme $-3{,}49$

Pourquoi c'est faux: Des concentrations comme $0{,}00032$ sont inférieures à 1, donc leur logarithme est négatif. Le signe moins de la formule rend le pH positif.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Utiliser le taux au lieu du coefficient multiplicateur : $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Pourquoi c'est faux: Le solde est multiplié chaque année par $1 + r = 1{,}05$ , pas par $0{,}05$ . De plus, $\ln 0{,}05$ est négatif, ce qui donnerait une durée négative.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ ans. Pour une décroissance, utilise $1 - r$ , par exemple $0{,}85$ pour une baisse de $15\,\%$ .

Arrondir trop tôt, par exemple écrire $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$

Pourquoi c'est faux: De petits arrondis dans un quotient s'amplifient : $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ au lieu de $14{,}21$ , soit une erreur d'environ 4 mois.

Correct: Garde toute la précision de la calculatrice (ou au moins 5 chiffres significatifs) et n'arrondis que le résultat final, comme le demande l'énoncé.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Point d'intersection : (14,21 ; 2000)

Base:

Calculer:10³ = 1000

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Base:

Calculer:10³ = 1000

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Calculateur d'intérêts

Capital (1 000,00 €)

Taux d'intérêt (5%)

Durée (15 ans)

Capitalisation

Formule

Intérêt composé:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 0,05)^15 = 2 078,93 €

Intérêt composé

Intérêts gagnés:1 078,93 €

Montant total:2 078,93 €

Croissance dans le temps

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

On compare un séisme de magnitude $6$ à un séisme de magnitude $4$ sur l'échelle de Richter. Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ?

Exercices pratiques: Problèmes concrets avec les logarithmes

1. On compare un séisme de magnitude 6 à un séisme de magnitude 4 sur l'échelle de Richter. Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ?
2. Une solution a une concentration en ions hydrogène [H^+] = 10^{-5} mol/L. Quel est son pH ?
3. Tu places 1000 € à 5 % d'intérêts composés une fois par an. Quelle expression donne la durée t, en années, au bout de laquelle l'argent a doublé ?
4. Le son A a un niveau de 90 dB et le son B un niveau de 60 dB. Combien de fois le son A est-il plus intense que le son B ?
5. Une substance perd 8 % de sa masse chaque année. Quelle égalité donne le nombre d'années t au bout duquel il n'en reste que la moitié ?
6. Une solution a [H^+] = 0{,}001 mol/L. Quel est son pH ? (La réponse est un nombre entier.)
7. Un son a une intensité I = 10^7 \cdot I_0. Quel est son niveau L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) en décibels ? (La réponse est un nombre entier.)
8. Calcule le pH d'une solution telle que [H^+] = 2{,}5 \times 10^{-6} mol/L. Arrondis à deux décimales.
9. On compare un séisme de magnitude 7,4 à un séisme de magnitude 5,6. Combien de fois l'amplitude du plus fort est-elle plus grande ? Arrondis à l'unité.
10. Une ville compte 25 000 habitants et sa population augmente de 3 % par an. Au bout de combien d'années atteindra-t-elle 40 000 habitants ? Arrondis à une décimale.
11. Le jus de citron a une concentration en ions hydrogène [H^+] = 0{,}01 mol/L. Calcule son pH.
12. Un sèche-cheveux produit un son 1 000 000 de fois plus intense que le seuil d'audibilité. Calcule son niveau en décibels.
13. Une tasse de café a un pH de 5. Calcule sa concentration en ions hydrogène [H^+] en mol/L, sous forme de nombre décimal.
14. Une circulation dense mesure 85 dB et une conversation normale 60 dB. Combien de fois le bruit de la circulation est-il plus intense ? Arrondis à l'unité.
15. On place de l'argent à 6 % d'intérêts composés une fois par an. Combien d'années complètes faut-il pour que le solde ait au moins doublé ?
16. Un échantillon de laboratoire contient 200 mg d'une substance dont la demi-vie est de 5 heures. Au bout de combien d'heures ne restera-t-il que 20 mg ? Arrondis à une décimale.
17. Tu places 3000 € à 4\,\% d'intérêts composés en continu, donc A = 3000e^{0{,}04t}. Au bout de combien d'années le solde atteint-il 4500 € ? Arrondis à deux décimales.
18. Une voiture achetée 24 000 € perd 15 % de sa valeur chaque année. Au bout de combien d'années complètes vaut-elle pour la première fois moins de 6000 € ?

Pourquoi c'est important

Les logarithmes transforment d'immenses plages de nombres en petits nombres lisibles, et ce sont les seuls outils capables de faire sortir une inconnue d'un exposant :

Chimie : le jus de citron (pH d'environ 2) contient $100\,000$ fois plus d'ions hydrogène que l'eau pure (pH 7).
Santé : un concert à 110 dB est $1000$ fois plus intense qu'une rue à 80 dB, d'où l'importance des protections auditives.
Géologie : un séisme de magnitude 7 a une amplitude $100$ fois plus grande qu'un séisme de magnitude 5.
Argent : banques, épargnants et conseillers se demandent "en combien d'années mon argent va-t-il doubler ?" et y répondent avec $\ln$ .
Médecine : les médecins utilisent la demi-vie pour savoir quand un médicament est passé sous un niveau efficace.

Chacune de ces questions porte sur un exposant, et un logarithme y répond.

Applications dans le monde réel

Les pluies acides

Les scientifiques de l'environnement comparent l'acidité des pluies grâce au pH. Comme le pH est un logarithme, une petite différence de pH signifie une grande différence d'ions hydrogène.

Exemple:

Une pluie normale a un pH d'environ $5{,}6$ . Une pluie de pH $4{,}6$ contient $10^{1} = 10$ fois plus d'ions hydrogène.

1Essaie par toi-même

Une pluie normale a un pH de $5{,}6$ . Un orage apporte une pluie acide de pH $4{,}3$ .

Combien de fois plus d'ions hydrogène la pluie acide contient-elle ? Arrondis à l'unité.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $10^{5{,}6 - 4{,}3}$ et arrondis à l'unité :

Protéger son audition en concert

Les ingénieurs du son et les audioprothésistes travaillent en décibels. Les bouchons d'oreille sont classés selon la réduction d'intensité sonore qu'ils apportent.

Exemple:

Diviser l'intensité par $10$ fait baisser le niveau de $10$ dB, la diviser par $100$ le fait baisser de $20$ dB.

2Essaie par toi-même

Un concert de rock atteint $110$ dB. Des bouchons d'oreille réduisent l'intensité sonore qui arrive à ton oreille à $\frac{1}{1000}$ de sa valeur.

Quel niveau sonore, en décibels, atteint ton oreille ? (La réponse est un nombre entier, pas besoin d'arrondir.)

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le nouveau niveau sous la forme $10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right)$ et calcule-le :

Planifier un objectif d'épargne

Les conseillers financiers utilisent les logarithmes pour savoir combien d'années un placement met à atteindre un objectif.

Exemple:

À $4\,\%$ par an, l'argent est multiplié par $1{,}04$ chaque année, donc le nombre d'années vaut $t = \frac{\ln(\text{objectif}/\text{départ})}{\ln 1{,}04}$ .

3Essaie par toi-même

Tu places 5000 € à $4\,\%$ d'intérêts composés une fois par an. Ton objectif est 8000 €.

Combien d'années complètes dois-tu attendre pour que le solde atteigne l'objectif pour la première fois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $5000 \cdot 1{,}04^t = 8000$ , puis arrondis à l'année entière supérieure :

Points clés

1Dans un problème concret avec les logarithmes, l'inconnue est un exposant : une durée, une magnitude ou un niveau
2pH : $\text{pH} = -\log[H^+]$ ; dans l'autre sens : $[H^+] = 10^{-\text{pH}}$
3Décibels : $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ ; chaque hausse de $10$ dB signifie une intensité $10$ fois plus grande
4Richter : des magnitudes qui diffèrent de $d$ correspondent à des amplitudes dans le rapport $10^{d}$
5Durée d'une croissance ou d'une décroissance : isoler la puissance, appliquer $\ln$ aux deux membres, puis $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}$ ; temps de doublement $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$
6N'arrondis qu'à la fin, exactement comme le demande l'énoncé, et vérifie si la situation exige des années entières

Questions fréquentes

Les deux marchent, à condition d'utiliser le même en haut et en bas :

\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

. Les formules du pH et des décibels sont définies avec le logarithme décimal

\log

(base 10), utilise donc

\log

dans ces cas-là.

Glossaire

pH: Mesure de l'acidité : $\text{pH} = -\log[H^+]$ . En dessous de 7 c'est acide, 7 est neutre, au-dessus de 7 c'est basique.
Décibel (dB): Unité du niveau sonore : $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , où $I_0$ est le seuil d'audibilité.
Échelle de Richter: Échelle logarithmique des séismes : un degré entier de plus signifie une amplitude du mouvement du sol $10$ fois plus grande.
Temps de doublement: Durée nécessaire pour qu'une quantité en croissance double : $t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ pour une croissance de $r$ par période.
Demi-vie: Durée nécessaire pour qu'une quantité en décroissance diminue de moitié.
Coefficient multiplicateur: Nombre par lequel une quantité est multipliée à chaque période : $1 + r$ pour une hausse, $1 - r$ pour une baisse.

Carte des formules

pH

\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

L'acidité à partir de la concentration en ions hydrogène

Niveau sonore

L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Les décibels à partir du rapport d'intensités

Comparaison sur l'échelle de Richter

\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Rapport des amplitudes de deux séismes

Durée pour atteindre un objectif

t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

À partir de $A = P(1 + r)^t$ ; utilise $1 - r$ pour une décroissance

Croissance continue

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

À partir de $A = Pe^{rt}$

Demi-vie

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

À partir de $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ avec une demi-vie $h$

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