Définition du logarithme

Comprendre ce que sont les logarithmes et comment ils fonctionnent comme l'inverse de l'exponentiation.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un logarithme répond à la question : "Quel exposant ai-je besoin ?"
Si , alors
En mots : **Le logarithme en base de égale signifie élevé à la puissance égale **.
Composantes clés :
  • Base () : Le nombre élevé à une puissance (doit être positif, )
  • Argument () : Le résultat de l'exponentiation (doit être positif)
  • Logarithme () : L'exposant recherché
Exemple : car

Essaie tout de suite

Que signifie sous forme exponentielle ?

Exemples résolus

Écrivez sous forme logarithmique.

1

Identifiez la base

La base est (le nombre élevé à une puissance) → Base :

2

Identifiez l'exposant

L'exposant est → Exposant :

3

Identifiez le résultat

Le résultat de est → Argument :

4

Écrivez sous forme logarithmique

devient →

Erreurs courantes

Confondre la base et l'argument

Pourquoi c'est faux: Dans , les élèves échangent parfois et . La base est le nombre en indice, l'argument est entre parenthèses.

Correct: Rappelez-vous : . La BASE est ce qui est élevé à une puissance.

Penser que ou existe

Pourquoi c'est faux: Aucune base positive élevée à n'importe quelle puissance ne peut égaler zéro ou un nombre négatif.

Correct: L'argument d'un logarithme doit toujours être positif. n'existe que lorsque .

Oublier que (sans base écrite) signifie base 10

Pourquoi c'est faux: La notation peut être confuse. Certains manuels utilisent pour la base 10.

Correct: est le logarithme décimal en base 10. est le logarithme naturel en base .

Écrire

Pourquoi c'est faux: élevé à n'importe quelle puissance égale toujours , donc la base ne peut produire d'autres valeurs.

Correct: La base d'un logarithme doit être positive et différente de : et .

Visuel interactif

Explorateur de fonction lineaire

y = x
Pente (m)1
Ordonnee a l'origine (b)0
b
course
montée
xy
-2-2
-1-1
00
11
22
2^3 = 8
3

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Essayez ces exemples:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculateur d'expressions

Essayez ceux-ci:

Historique

Aucun calcul encore

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile

Que signifie sous forme exponentielle ?

Pourquoi c'est important

Les logarithmes sont des outils essentiels pour résoudre des problèmes du monde réel impliquant la croissance exponentielle et les grands nombres :
  • Séismes : L'échelle de Richter utilise les logarithmes. Un séisme de magnitude 7 est 10 fois plus fort que la magnitude 6.
  • Son : Les décibels mesurent l'intensité sonore de façon logarithmique. Chaque 10 dB double le volume perçu.
  • Niveaux de pH : La chimie utilise pour mesurer l'acidité.
  • Informatique : La complexité algorithmique implique souvent (recherche binaire, tri).
  • Finance : Calculer le temps pour doubler un investissement utilise les logarithmes.
Sans logarithmes, résoudre des équations comme serait presque impossible !

Applications dans le monde réel

Mesure de la magnitude des séismes

L'échelle de Richter utilise les logarithmes pour mesurer l'intensité des séismes. Chaque augmentation d'un nombre entier représente 10 fois plus de mouvement du sol.

Exemple:

Un séisme de magnitude 6 a une amplitude , et la magnitude 7 a une amplitude . La formule utilise .

1Essayez vous-même

Un séisme mesure la magnitude 5 sur l'échelle de Richter. La formule de Richter est où est l'amplitude.

Quelle est l'amplitude de ce séisme ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Si , convertissez en forme exponentielle :

Calcul du pH en chimie

L'échelle de pH mesure l'acidité ou la basicité d'une solution en utilisant la formule $\text{pH} = -\log[H^+]$.

Exemple:

Si , alors (acide, comme le vinaigre).

2Essayez vous-même

Une solution a une concentration en ions hydrogène .

Quel est le pH de cette solution ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Calculez :

Points clés

  • 1Un logarithme signifie (les logarithmes sont l'inverse des puissances)
  • 2La base () doit être positive et différente de 1
  • 3L'argument () doit être positif
  • 4Logarithme décimal : (base 10)
  • 5Logarithme naturel : (base )
  • 6Valeurs clés : car , et car

Questions fréquentes

Si la base était négative, élever à des puissances fractionnaires donnerait des nombres complexes. Si la base était 1, alors pour tout , donc on ne pourrait jamais obtenir d'autres valeurs. Nous avons besoin de résultats cohérents et prévisibles.
Si la base était négative, élever à des puissances fractionnaires donnerait des nombres complexes. Si la base était 1, alors pour tout , donc on ne pourrait jamais obtenir d'autres valeurs. Nous avons besoin de résultats cohérents et prévisibles.
(logarithme décimal) utilise la base 10 et est pratique pour les calculs décimaux. (logarithme naturel) utilise la base et apparaît naturellement en calcul, dans les problèmes de croissance et décroissance, et dans les intérêts composés continus.
Aucun nombre positif élevé à n'importe quelle puissance réelle n'égale zéro ou un nombre négatif. Par exemple, est toujours positif quel que soit . Donc et n'ont pas de solutions réelles.

Glossaire

Logarithme
L'exposant auquel une base doit être élevée pour produire un nombre donné : signifie
Base
Le nombre élevé à une puissance dans une expression exponentielle ; apparaît en indice dans la notation logarithmique
Argument
La valeur d'entrée d'un logarithme ; le nombre entre parenthèses dans
Logarithme décimal
Un logarithme de base 10, écrit ou
Logarithme naturel
Un logarithme de base , écrit ou
Opération inverse
Une opération qui inverse l'effet d'une autre ; les logarithmes et l'exponentiation sont des inverses

Carte des formules

Définition

Relation fondamentale

Log de 1

Car $b^0 = 1$

Log de la base

Car $b^1 = b$

Log décimal

Notation du logarithme décimal

Log naturel

Notation du logarithme naturel

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Avancé25 min