Définition du logarithme

Comprendre ce que sont les logarithmes et comment ils fonctionnent comme l'inverse de l'exponentiation.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un logarithme répond à la question : "Quel exposant ai-je besoin ?"
Si bx=yb^x = y, alors log⁡b(y)=x\log_b(y) = x
En mots : **Le logarithme en base bb de yy égale xx signifie bb élevé à la puissance xx égale yy**.
log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y
Composantes clés :
  • Base (bb) : Le nombre élevé à une puissance (doit être positif, b≠1b \neq 1)
  • Argument (yy) : Le résultat de l'exponentiation (doit être positif)
  • Logarithme (xx) : L'exposant recherché
Exemple : log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 car 23=82^3 = 8

Essaie tout de suite

Que signifie log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 sous forme exponentielle ?

Exemples résolus

Écris 53=1255^3 = 125 sous forme logarithmique.
1

Identifie la base

La base est 55 (le nombre élevé à une puissance) → Base : b=5b = 5
2

Identifie l'exposant

L'exposant est 33 → Exposant : x=3x = 3
3

Identifie le résultat

Le résultat de 535^3 est 125125 → Argument : y=125y = 125
4

Écris sous forme logarithmique

log⁡b(y)=x\log_b(y) = x devient log⁡5(125)=3\log_5(125) = 3

Erreurs courantes

Confondre la base et l'argument

Pourquoi c'est faux: Dans log⁡b(y)=x\log_b(y) = x, les élèves échangent parfois bb et yy. La base est le nombre en indice, l'argument est entre parenthèses.

Correct: Rappelle-toi : log⁡base(argument)=exposant\log_{\text{base}}(\text{argument}) = \text{exposant}. La BASE est ce qui est élevé à une puissance.

Penser que log⁡b(0)\log_b(0) ou log⁡b(−5)\log_b(-5) existe

Pourquoi c'est faux: Aucune base positive élevée à n'importe quelle puissance ne peut égaler zéro ou un nombre négatif.

Correct: L'argument d'un logarithme doit toujours être positif. log⁡b(y)\log_b(y) n'existe que lorsque y>0y > 0.

Oublier que log⁡\log (sans base écrite) signifie base 10

Pourquoi c'est faux: La notation peut être confuse. Certains manuels utilisent lg⁡\lg pour la base 10.

Correct: log⁡(x)\log(x) est le logarithme décimal en base 10. ln⁡(x)\ln(x) est le logarithme naturel en base e≈2,718e \approx 2{,}718.

Écrire log⁡1(x)\log_1(x)

Pourquoi c'est faux: 11 élevé à n'importe quelle puissance égale toujours 11, donc la base 11 ne peut produire d'autres valeurs.

Correct: La base d'un logarithme doit être positive et différente de 11 : b>0b > 0 et b≠1b \neq 1.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

051015202530-202468xy(32 ; 5)(8 ; 3)x = 0

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

x12481632
log₂(x)012345
2^x2416256655364294970000
10³ = 1000
3

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = log2(x)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Que signifie log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 sous forme exponentielle ?

Pourquoi c'est important

Les logarithmes sont des outils essentiels pour résoudre des problèmes du monde réel impliquant la croissance exponentielle et les grands nombres :
  • Séismes : L'échelle de Richter utilise les logarithmes. Un séisme de magnitude 7 est 10 fois plus fort que la magnitude 6.
  • Son : Les décibels mesurent l'intensité sonore de façon logarithmique. Chaque 10 dB double le volume perçu.
  • Niveaux de pH : La chimie utilise pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] pour mesurer l'acidité.
  • Informatique : La complexité algorithmique implique souvent log⁡n\log n (recherche binaire, tri).
  • Finance : Calculer le temps pour doubler un investissement utilise les logarithmes.
Sans logarithmes, résoudre des équations comme 2x=1002^x = 100 serait presque impossible !

Applications dans le monde réel

Mesure de la magnitude des séismes

L'échelle de Richter utilise les logarithmes pour mesurer l'intensité des séismes. Chaque augmentation d'un nombre entier représente 10 fois plus de mouvement du sol.

Exemple:

Un séisme de magnitude 6 a une amplitude A6A_6, et la magnitude 7 a une amplitude A7=10×A6A_7 = 10 \times A_6. La formule utilise log⁡10\log_{10}.

1Essaie par toi-même

Un séisme mesure la magnitude 5 sur l'échelle de Richter. La formule de Richter est M=log⁡10(A)M = \log_{10}(A) où AA est l'amplitude.

Quelle est l'amplitude AA de ce séisme ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si log⁡10(A)=5\log_{10}(A) = 5, convertis en forme exponentielle :

Calcul du pH en chimie

L'échelle de pH mesure l'acidité ou la basicité d'une solution en utilisant la formule $\text{pH} = -\log[H^+]$.

Exemple:

Si [H+]=0,001=10−3[H^+] = 0{,}001 = 10^{-3}, alors pH=−log⁡(10−3)=−(−3)=3\text{pH} = -\log(10^{-3}) = -(-3) = 3 (acide, comme le vinaigre).

2Essaie par toi-même

Une solution a une concentration en ions hydrogène [H+]=10−7[H^+] = 10^{-7}.

Quel est le pH de cette solution ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule pH=−log⁡(10−7)\text{pH} = -\log(10^{-7}) :

Points clés

  • 1Un logarithme log⁡b(y)=x\log_b(y) = x signifie bx=yb^x = y (les logarithmes sont l'inverse des puissances)
  • 2La base (bb) doit être positive et différente de 1
  • 3L'argument (yy) doit être positif
  • 4Logarithme décimal : log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x) (base 10)
  • 5Logarithme naturel : ln⁡(x)=log⁡e(x)\ln(x) = \log_e(x) (base e≈2,718e \approx 2{,}718)
  • 6Valeurs clés : log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0 car b0=1b^0 = 1, et log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1 car b1=bb^1 = b

Questions fréquentes

Si la base était négative, élever à des puissances fractionnaires donnerait des nombres complexes. Si la base était 1, alors 1x=11^x = 1 pour tout xx, donc on ne pourrait jamais obtenir d'autres valeurs. Nous avons besoin de résultats cohérents et prévisibles.
Si la base était négative, élever à des puissances fractionnaires donnerait des nombres complexes. Si la base était 1, alors 1x=11^x = 1 pour tout xx, donc on ne pourrait jamais obtenir d'autres valeurs. Nous avons besoin de résultats cohérents et prévisibles.
log⁡\log (logarithme décimal) utilise la base 10 et est pratique pour les calculs décimaux. ln⁡\ln (logarithme naturel) utilise la base e≈2,718e \approx 2{,}718 et apparaît naturellement en calcul, dans les problèmes de croissance et décroissance, et dans les intérêts composés continus.
Aucun nombre positif élevé à n'importe quelle puissance réelle n'égale zéro ou un nombre négatif. Par exemple, 2x2^x est toujours positif quel que soit xx. Donc log⁡2(0)\log_2(0) et log⁡2(−5)\log_2(-5) n'ont pas de solutions réelles.

Glossaire

Logarithme
L'exposant auquel une base doit être élevée pour produire un nombre donné : log⁡b(y)=x\log_b(y) = x signifie bx=yb^x = y
Base
Le nombre élevé à une puissance dans une expression exponentielle ; apparaît en indice dans la notation logarithmique
Argument
La valeur d'entrée d'un logarithme ; le nombre entre parenthèses dans log⁡b(y)\log_b(y)
Logarithme décimal
Un logarithme de base 10, écrit log⁡(x)\log(x) ou log⁡10(x)\log_{10}(x)
Logarithme naturel
Un logarithme de base e≈2,718e \approx 2{,}718, écrit ln⁡(x)\ln(x) ou log⁡e(x)\log_e(x)
Opération inverse
Une opération qui inverse l'effet d'une autre ; les logarithmes et l'exponentiation sont des inverses

Carte des formules

Définition

log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y

Relation fondamentale

Log de 1

log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0

Car $b^0 = 1$

Log de la base

log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1

Car $b^1 = b$

Log décimal

log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x)

Notation du logarithme décimal

Log naturel

ln⁡(x)=log⁡e(x)\ln(x) = \log_e(x)

Notation du logarithme naturel

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Avancé25 min

Logarithme décimal (base 10)

Avancé25 min

Logarithme népérien (ln)

Avancé25 min

Représenter graphiquement une fonction logarithme

Avancé30 min