Retour à la leçon

Guide de l'enseignant: Définition du logarithme

Comprendre ce que sont les logarithmes et comment ils fonctionnent comme l'inverse de l'exponentiation.

Présenter la leçonPartager dans ClassroomVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Logarithmes. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Définir le logarithme comme l'inverse de l'exponentiation
  • Convertir entre les formes exponentielle et logarithmique
  • Identifier la base, l'argument et la valeur d'un logarithme
  • Évaluer des logarithmes de puissances parfaites sans calculatrice
  • Reconnaître la notation des logarithmes décimal (log⁡\log) et naturel (ln⁡\ln)
Prérequis
  • • Compréhension des exposants et de leurs propriétés
  • • Familiarité avec les puissances de bases courantes (2, 3, 5, 10)
  • • Connaissance des opérations inverses (addition/soustraction, multiplication/division)
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu que les mathématiciens ont inventé les logarithmes ? Quel problème essayaient-ils de résoudre ?
  • 2. Comment le fait d'appuyer sur la touche LOG d'une calculatrice est-il similaire à demander 'quel exposant ?'
  • 3. Si 210=10242^{10} = 1024, que vaut log⁡2(1024)\log_2(1024) ? Peux-tu expliquer pourquoi sans calculer ?
  • 4. Pourquoi des échelles comme Richter (séismes) et les décibels (son) utilisent-elles des logarithmes plutôt que des nombres ordinaires ?
Idées reçues courantes

Penser que log⁡b(y)\log_b(y) signifie multiplier bb par yy

Remédiation: Souligne que le logarithme pose une question : 'Quelle puissance ?' Utilise la phrase 'log⁡2(8)\log_2(8) demande : 2 à quelle puissance donne 8 ?' Réponse : 3, car 23=82^3 = 8.

Croire que log⁡b(y)\log_b(y) peut être n'importe quel nombre réel pour n'importe quel yy

Remédiation: Montre que bxb^x est toujours positif pour tout xx réel quand b>0b > 0. Donc, yy doit être positif pour que log⁡b(y)\log_b(y) existe.

Confondre log⁡b(y)\log_b(y) avec log⁡(b⋅y)\log(b \cdot y) ou log⁡(by)\log(b^y)

Remédiation: Pratique la lecture attentive de la notation logarithmique. L'indice est la base, pas un multiplicateur. Utilise un code couleur dans les exemples.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commence uniquement avec la base 10 (log⁡(10)=1\log(10) = 1, log⁡(100)=2\log(100) = 2, etc.)
  • • Utilise un tableau de 'traduction logarithmique' : forme exponentielle | forme logarithmique
  • • Concentre-toi sur la question 'quelle puissance ?' avant d'introduire la notation formelle

Pour les élèves au niveau:

  • • Pratique les conversions entre formes exponentielle et logarithmique avec diverses bases
  • • Évalue des logarithmes comme log⁡2(32)\log_2(32), log⁡3(27)\log_3(27), log⁡5(125)\log_5(125)
  • • Applique les logarithmes à des contextes simples du monde réel (pH, échelle de Richter)

Pour les élèves avancés:

  • • Explore pourquoi log⁡b(bx)=x\log_b(b^x) = x et blog⁡b(x)=xb^{\log_b(x)} = x (relation inverse)
  • • Étudie les exposants fractionnaires et négatifs : log⁡4(2)=0,5\log_4(2) = 0{,}5 car 40,5=24^{0{,}5} = 2
  • • Prévisualise les propriétés des logarithmes (règles du produit, du quotient, de la puissance)
Alignement aux standards
  • HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)

    Comprendre la relation inverse entre les exposants et les logarithmes

  • HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)

    Exprimer la solution d'une équation exponentielle en utilisant les logarithmes

Ressources de la leçon
  • visualConvertisseur exponentiel-logarithme

    Outil interactif pour basculer entre les formes bx=yb^x = y et log⁡b(y)=x\log_b(y) = x

  • activityJeu d'association des puissances

    Associe les expressions exponentielles à leurs équivalents logarithmiques

  • worksheetLogarithmes dans le monde réel

    Problèmes impliquant le pH, les décibels et les magnitudes sismiques

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un logarithme répond à la question : "Quel exposant ai-je besoin ?"
Si bx=yb^x = y, alors log⁡b(y)=x\log_b(y) = x
En mots : **Le logarithme en base bb de yy égale xx signifie bb élevé à la puissance xx égale yy**.
log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y
Composantes clés :
  • Base (bb) : Le nombre élevé à une puissance (doit être positif, b≠1b \neq 1)
  • Argument (yy) : Le résultat de l'exponentiation (doit être positif)
  • Logarithme (xx) : L'exposant recherché
Exemple : log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3 car 23=82^3 = 8

Exemples résolus

Écris 53=1255^3 = 125 sous forme logarithmique.
1

Identifie la base

La base est 55 (le nombre élevé à une puissance) → Base : b=5b = 5
2

Identifie l'exposant

L'exposant est 33 → Exposant : x=3x = 3
3

Identifie le résultat

Le résultat de 535^3 est 125125 → Argument : y=125y = 125
4

Écris sous forme logarithmique

log⁡b(y)=x\log_b(y) = x devient log⁡5(125)=3\log_5(125) = 3

Erreurs courantes

Confondre la base et l'argument

Pourquoi c'est faux: Dans log⁡b(y)=x\log_b(y) = x, les élèves échangent parfois bb et yy. La base est le nombre en indice, l'argument est entre parenthèses.

Correct: Rappelle-toi : log⁡base(argument)=exposant\log_{\text{base}}(\text{argument}) = \text{exposant}. La BASE est ce qui est élevé à une puissance.

Penser que log⁡b(0)\log_b(0) ou log⁡b(−5)\log_b(-5) existe

Pourquoi c'est faux: Aucune base positive élevée à n'importe quelle puissance ne peut égaler zéro ou un nombre négatif.

Correct: L'argument d'un logarithme doit toujours être positif. log⁡b(y)\log_b(y) n'existe que lorsque y>0y > 0.

Oublier que log⁡\log (sans base écrite) signifie base 10

Pourquoi c'est faux: La notation peut être confuse. Certains manuels utilisent lg⁡\lg pour la base 10.

Correct: log⁡(x)\log(x) est le logarithme décimal en base 10. ln⁡(x)\ln(x) est le logarithme naturel en base e≈2,718e \approx 2{,}718.

Écrire log⁡1(x)\log_1(x)

Pourquoi c'est faux: 11 élevé à n'importe quelle puissance égale toujours 11, donc la base 11 ne peut produire d'autres valeurs.

Correct: La base d'un logarithme doit être positive et différente de 11 : b>0b > 0 et b≠1b \neq 1.

Pourquoi c'est important

Les logarithmes sont des outils essentiels pour résoudre des problèmes du monde réel impliquant la croissance exponentielle et les grands nombres :
  • Séismes : L'échelle de Richter utilise les logarithmes. Un séisme de magnitude 7 est 10 fois plus fort que la magnitude 6.
  • Son : Les décibels mesurent l'intensité sonore de façon logarithmique. Chaque 10 dB double le volume perçu.
  • Niveaux de pH : La chimie utilise pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] pour mesurer l'acidité.
  • Informatique : La complexité algorithmique implique souvent log⁡n\log n (recherche binaire, tri).
  • Finance : Calculer le temps pour doubler un investissement utilise les logarithmes.
Sans logarithmes, résoudre des équations comme 2x=1002^x = 100 serait presque impossible !

Applications dans le monde réel

Mesure de la magnitude des séismes

L'échelle de Richter utilise les logarithmes pour mesurer l'intensité des séismes. Chaque augmentation d'un nombre entier représente 10 fois plus de mouvement du sol.

Exemple:

Un séisme de magnitude 6 a une amplitude A6A_6, et la magnitude 7 a une amplitude A7=10×A6A_7 = 10 \times A_6. La formule utilise log⁡10\log_{10}.

1Essaie par toi-même

Un séisme mesure la magnitude 5 sur l'échelle de Richter. La formule de Richter est M=log⁡10(A)M = \log_{10}(A) où AA est l'amplitude.

Quelle est l'amplitude AA de ce séisme ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si log⁡10(A)=5\log_{10}(A) = 5, convertis en forme exponentielle :

Calcul du pH en chimie

L'échelle de pH mesure l'acidité ou la basicité d'une solution en utilisant la formule $\text{pH} = -\log[H^+]$.

Exemple:

Si [H+]=0,001=10−3[H^+] = 0{,}001 = 10^{-3}, alors pH=−log⁡(10−3)=−(−3)=3\text{pH} = -\log(10^{-3}) = -(-3) = 3 (acide, comme le vinaigre).

2Essaie par toi-même

Une solution a une concentration en ions hydrogène [H+]=10−7[H^+] = 10^{-7}.

Quel est le pH de cette solution ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule pH=−log⁡(10−7)\text{pH} = -\log(10^{-7}) :

Points clés

  • 1Un logarithme log⁡b(y)=x\log_b(y) = x signifie bx=yb^x = y (les logarithmes sont l'inverse des puissances)
  • 2La base (bb) doit être positive et différente de 1
  • 3L'argument (yy) doit être positif
  • 4Logarithme décimal : log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x) (base 10)
  • 5Logarithme naturel : ln⁡(x)=log⁡e(x)\ln(x) = \log_e(x) (base e≈2,718e \approx 2{,}718)
  • 6Valeurs clés : log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0 car b0=1b^0 = 1, et log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1 car b1=bb^1 = b

Questions fréquentes

Pourquoi la base est-elle toujours positive et différente de 1 ?

Si la base était négative, élever à des puissances fractionnaires donnerait des nombres complexes. Si la base était 1, alors 1x=11^x = 1 pour tout xx, donc on ne pourrait jamais obtenir d'autres valeurs. Nous avons besoin de résultats cohérents et prévisibles.

Quelle est la différence entre log et ln ?

log⁡\log (logarithme décimal) utilise la base 10 et est pratique pour les calculs décimaux. ln⁡\ln (logarithme naturel) utilise la base e≈2,718e \approx 2{,}718 et apparaît naturellement en calcul, dans les problèmes de croissance et décroissance, et dans les intérêts composés continus.

Pourquoi ne peut-on pas prendre le logarithme de zéro ou de nombres négatifs ?

Aucun nombre positif élevé à n'importe quelle puissance réelle n'égale zéro ou un nombre négatif. Par exemple, 2x2^x est toujours positif quel que soit xx. Donc log⁡2(0)\log_2(0) et log⁡2(−5)\log_2(-5) n'ont pas de solutions réelles.

Glossaire

Logarithme
L'exposant auquel une base doit être élevée pour produire un nombre donné : log⁡b(y)=x\log_b(y) = x signifie bx=yb^x = y
Base
Le nombre élevé à une puissance dans une expression exponentielle ; apparaît en indice dans la notation logarithmique
Argument
La valeur d'entrée d'un logarithme ; le nombre entre parenthèses dans log⁡b(y)\log_b(y)
Logarithme décimal
Un logarithme de base 10, écrit log⁡(x)\log(x) ou log⁡10(x)\log_{10}(x)
Logarithme naturel
Un logarithme de base e≈2,718e \approx 2{,}718, écrit ln⁡(x)\ln(x) ou log⁡e(x)\log_e(x)
Opération inverse
Une opération qui inverse l'effet d'une autre ; les logarithmes et l'exponentiation sont des inverses

Carte des formules

Définition

log⁡b(y)=x  ⟺  bx=y\log_b(y) = x \iff b^x = y

Relation fondamentale

Log de 1

log⁡b(1)=0\log_b(1) = 0

Car $b^0 = 1$

Log de la base

log⁡b(b)=1\log_b(b) = 1

Car $b^1 = b$

Log décimal

log⁡(x)=log⁡10(x)\log(x) = \log_{10}(x)

Notation du logarithme décimal

Log naturel

ln⁡(x)=log⁡e(x)\ln(x) = \log_e(x)

Notation du logarithme naturel

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Avancé25 min

Logarithme décimal (base 10)

Avancé25 min

Logarithme népérien (ln)

Avancé25 min

Représenter graphiquement une fonction logarithme

Avancé30 min