Calculer ln d'une puissance de e

Calcule $\ln(e^5)$ sans calculatrice.

Reformuler en question: $\ln(e^5)$ demande : à quelle puissance dois-je élever $e$ pour obtenir $e^5$ ? = $e^{?} = e^5$

Lire l'exposant: La puissance qui transforme $e$ en $e^5$ est $5$ = $? = 5$

Utiliser la règle de réciprocité: $\ln$ annule $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ = $\ln(e^5) = 5$

Answer: $\ln(e^5) = 5$

Passer de la forme ln à la forme exponentielle

(a) Écris $\ln x = 3$ sous forme exponentielle et trouve $x$. (b) Écris $e^0 = 1$ sous forme logarithmique.

Utiliser la définition pour (a): $\ln x = y$ signifie $e^y = x$, donc $\ln x = 3$ signifie $e^3 = x$ = $x = e^3$

Calculer à la calculatrice: $e^3 \approx 20{,}09$ = $x \approx 20{,}09$

Réécrire (b) avec ln: Dans $e^0 = 1$, l'exposant est $0$ et le résultat est $1$, donc $\ln 1 = 0$ = $\ln 1 = 0$

Answer: (a) $x = e^3 \approx 20{,}09$. (b) $\ln 1 = 0$.

Simplifier avec les règles de réciprocité

Simplifie $e^{\ln 7}$ et $\ln \sqrt{e}$.

Simplifier $e^{\ln 7}$: $e^x$ annule $\ln$ : $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ = $e^{\ln 7} = 7$

Écrire $\sqrt{e}$ comme une puissance de $e$: Une racine carrée correspond à la puissance $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{e} = e^{1/2}$

Appliquer $\ln(e^x) = x$: $\ln(e^{1/2})$ est l'exposant $\frac{1}{2}$ = $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$

Answer: $e^{\ln 7} = 7$ et $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Calculer ln à la calculatrice

Trouve $\ln 10$ à 3 décimales près et vérifie le résultat.

Appuyer sur la touche LN (pas LOG): Tape ln(10) sur la calculatrice = $\ln 10 = 2{,}302585...$

Arrondir à 3 décimales: La 4e décimale est $5$, donc on arrondit au-dessus = $\ln 10 \approx 2{,}303$

Vérifier avec $e^x$: $e^{2{,}303} \approx 10{,}004$, ce qui est très proche de $10$ = Vérification réussie

Contrôler l'ordre de grandeur: $e^2 \approx 7{,}39$ et $e^3 \approx 20{,}09$, et $10$ se trouve entre les deux = $2 < \ln 10 < 3$

Answer: $\ln 10 \approx 2{,}303$

Résoudre une équation exponentielle avec ln

Résous $3e^{2x} = 60$. Arrondis à 3 décimales.

Isoler la puissance de $e$: Divise les deux membres par $3$ : $e^{2x} = \frac{60}{3}$ = $e^{2x} = 20$

Appliquer $\ln$ aux deux membres: $\ln(e^{2x}) = \ln 20$, et $\ln(e^{2x}) = 2x$ = $2x = \ln 20$

Calculer $\ln 20$: Calculatrice : $\ln 20 \approx 2{,}9957$ = $2x \approx 2{,}9957$

Diviser par 2: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}4979$ = $x \approx 1{,}498$

Vérifier: $3e^{2 \times 1{,}498} = 3e^{2{,}996} \approx 3 \times 20{,}005 \approx 60$ = Vérification réussie

Answer: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}498$

Mistake: Écrire $\ln 1 = 1$ ou $\ln e = 0$

Why: On confond facilement les deux valeurs clés. $\ln$ donne un exposant, pas le nombre lui-même.

Correct: $\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$, et $\ln e = 1$ car $e^1 = e$.

Mistake: Prendre le $\ln$ de zéro ou d'un nombre négatif, comme $\ln 0$ ou $\ln(-3)$

Why: $e^y$ est toujours strictement positif, quel que soit $y$. Aucune puissance de $e$ ne donne $0$ ou un nombre négatif.

Correct: $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$. La calculatrice affiche une erreur pour $\ln 0$ et $\ln(-3)$.

Mistake: Appuyer sur LOG au lieu de LN sur la calculatrice

Why: LOG est le logarithme décimal (base 10), LN est le logarithme népérien (base $e$). Ils donnent des résultats différents.

Correct: $\log 10 = 1$, mais $\ln 10 \approx 2{,}303$. Utilise LN dès que la base est $e$.

Mistake: Résoudre $e^x = 20$ en divisant : $x = \frac{20}{e}$

Why: $x$ est un exposant, pas un facteur. Diviser par $e$ n'annule pas l'élévation de $e$ à une puissance.

Correct: Annule $e^x$ avec $\ln$ : $x = \ln 20 \approx 2{,}996$.

Biologie : quand la culture atteindra-t-elle son objectif ?

Une culture de bactéries bien nourrie croît de façon continue selon $N = N_0 e^{rt}$. Pour savoir QUAND elle atteint une taille donnée, il faut $\ln$ pour faire descendre $t$ de l'exposant.

Avec $N = 1000e^{0{,}3t}$, la culture atteint 3000 quand $e^{0{,}3t} = 3$, donc $0{,}3t = \ln 3$ et $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ heures.

Finance : temps de doublement avec intérêts continus

Les banques comparent les placements avec des intérêts composés en continu, $A = Pe^{rt}$. Le temps nécessaire pour doubler un capital est $t = \frac{\ln 2}{r}$.

À 7 % composés en continu, un capital double en $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ ans. Comme $\ln 2 \approx 0{,}693$, les banquiers utilisent la "règle de 70" : 70 divisé par le taux en pourcentage.

Médecine : combien de temps un médicament reste dans le sang

Beaucoup de médicaments sont éliminés de façon continue : la quantité dans le sang suit $C = C_0 e^{-kt}$. Les médecins utilisent $\ln$ pour savoir quand donner la dose suivante.

Un médicament avec $k = 0{,}25$ par heure a une demi-vie de $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ heures : après ce temps, il en reste la moitié.

Q: Pourquoi l'appelle-t-on logarithme népérien ou naturel ?

A: "Népérien" vient de John Napier (Neper), l'inventeur des logarithmes. "Naturel" parce que sa base $e$ apparaît naturellement : dans la croissance continue, les intérêts continus et en analyse, où $e^x$ et $\ln x$ ont les taux de variation les plus simples. Le "n" de $\ln$ vient du latin "logarithmus naturalis".

Q: ln, est-ce la même chose que log ?

A: Non. $\log x$ (logarithme décimal) a pour base 10 et $\ln x$ a pour base $e$. Par exemple, $\log 100 = 2$ mais $\ln 100 \approx 4{,}605$. Les deux répondent au même type de question, seule la base change.

Q: Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle une erreur pour ln(0) ?

A: Parce que $e^y$ est toujours strictement positif : aucune puissance de $e$ ne vaut $0$ ou un nombre négatif. La courbe de $y = \ln x$ se trouve uniquement à droite de l'axe des ordonnées, qui est une asymptote verticale.

Q: Quel lien y a-t-il entre les courbes de $y = e^x$ et $y = \ln x$ ?

A: Elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite $y = x$, car ce sont des fonctions réciproques. Le point $(0, 1)$ de $y = e^x$ correspond au point $(1, 0)$ de $y = \ln x$, et $(1, e)$ correspond à $(e, 1)$.