ln, est-ce la même chose que log ?

Non. $\log x$ (logarithme décimal) a pour base 10 et $\ln x$ a pour base $e$. Par exemple, $\log 100 = 2$ mais $\ln 100 \approx 4{,}605$. Les deux répondent au même type de question, seule la base change.

Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle une erreur pour ln(0) ?

Parce que $e^y$ est toujours strictement positif : aucune puissance de $e$ ne vaut $0$ ou un nombre négatif. La courbe de $y = \ln x$ se trouve uniquement à droite de l'axe des ordonnées, qui est une asymptote verticale.

Quel lien y a-t-il entre les courbes de $y = e^x$ et $y = \ln x$ ?

Elles sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite $y = x$, car ce sont des fonctions réciproques. Le point $(0, 1)$ de $y = e^x$ correspond au point $(1, 0)$ de $y = \ln x$, et $(1, e)$ correspond à $(e, 1)$.

Ressources enseignants

Logarithme népérien (ln)

Apprends ce que signifie ln x, pourquoi ln e = 1 et ln 1 = 0, comment ln annule e^x et comment résoudre des équations comme e^x = 20 à la calculatrice.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le logarithme népérien (ou logarithme naturel) est le logarithme de base

e

, où

e \approx 2{,}71828

est le nombre d'Euler. Au lieu d'écrire

\log_e x

, on écrit

\ln x

(on lit "logarithme népérien de x" ou "ln de x").

\ln x = \log_e x

Comme tout logarithme,

\ln x

répond à une question : **"À quelle puissance dois-je élever

e

pour obtenir

x

?"**

\ln x = y \iff e^y = x

Deux valeurs à connaître par cœur :

$\ln 1 = 0$ , car $e^0 = 1$
$\ln e = 1$ , car $e^1 = e$

ln annule e^x (et inversement) : la fonction

y = \ln x

est la fonction réciproque de

y = e^x

, donc

\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln x} = x \; (x > 0)

L'argument doit être strictement positif :

\ln x

n'existe que pour

x > 0

, car

e^y

n'est jamais nul ni négatif. L'ensemble de définition de

y = \ln x

est donc

x > 0

Essaie tout de suite

Quelle est la valeur de

\ln 1

Exemples résolus

Calcule $\ln(e^5)$ sans calculatrice.

Reformuler en question

$\ln(e^5)$ demande : à quelle puissance dois-je élever $e$ pour obtenir $e^5$ ? → $e^{?} = e^5$

Lire l'exposant

La puissance qui transforme $e$ en $e^5$ est $5$ → $? = 5$

Utiliser la règle de réciprocité

$\ln$ annule $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ → $\ln(e^5) = 5$

Réponse: $\ln(e^5) = 5$

Erreurs courantes

Écrire $\ln 1 = 1$ ou $\ln e = 0$

Pourquoi c'est faux: On confond facilement les deux valeurs clés. $\ln$ donne un exposant, pas le nombre lui-même.

Correct: $\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$ , et $\ln e = 1$ car $e^1 = e$ .

Prendre le $\ln$ de zéro ou d'un nombre négatif, comme $\ln 0$ ou $\ln(-3)$

Pourquoi c'est faux: $e^y$ est toujours strictement positif, quel que soit $y$ . Aucune puissance de $e$ ne donne $0$ ou un nombre négatif.

Correct: $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ . La calculatrice affiche une erreur pour $\ln 0$ et $\ln(-3)$ .

Appuyer sur LOG au lieu de LN sur la calculatrice

Pourquoi c'est faux: LOG est le logarithme décimal (base 10), LN est le logarithme népérien (base $e$ ). Ils donnent des résultats différents.

Correct: $\log 10 = 1$ , mais $\ln 10 \approx 2{,}303$ . Utilise LN dès que la base est $e$ .

Résoudre $e^x = 20$ en divisant : $x = \frac{20}{e}$

Pourquoi c'est faux: $x$ est un exposant, pas un facteur. Diviser par $e$ n'annule pas l'élévation de $e$ à une puissance.

Correct: Annule $e^x$ avec $\ln$ : $x = \ln 20 \approx 2{,}996$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

y = xAsymptote

Tableau de valeurs

x	0,5	1	2	3	5
e^x	1,64872	2,71828	7,38906	20,0855	148,413
ln(x)	-0,693147	0	0,693147	1,09861	1,60944

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle est la valeur de $\ln 1$ ?

Pourquoi c'est important

Le nombre

e

apparaît dès que quelque chose croît ou décroît de façon continue, et

\ln

est l'outil qui fait redescendre le temps ou le taux de l'exposant :

Croissance continue : si des bactéries croissent selon $N = 500e^{0{,}4t}$ , $\ln$ te dit quand il y en aura 2000.
Argent : avec des intérêts composés en continu $A = Pe^{rt}$ , le temps de doublement est $t = \frac{\ln 2}{r}$ .
Médecine : la durée pendant laquelle un médicament reste au-dessus d'un seuil dans le sang se calcule avec $\ln$ .
Sciences et analyse : $\ln x$ apparaît en physique, en chimie et dans tout cours d'analyse, car $e^x$ et $\ln x$ ont les dérivées les plus simples.

Sans

\ln

, une équation comme

e^x = 20

ne se résoudrait qu'à tâtons. Avec

\ln

, une seule étape suffit :

x = \ln 20 \approx 2{,}996

Applications dans le monde réel

Biologie : quand la culture atteindra-t-elle son objectif ?

Une culture de bactéries bien nourrie croît de façon continue selon $N = N_0 e^{rt}$. Pour savoir QUAND elle atteint une taille donnée, il faut $\ln$ pour faire descendre $t$ de l'exposant.

Exemple:

Avec $N = 1000e^{0{,}3t}$ , la culture atteint 3000 quand $e^{0{,}3t} = 3$ , donc $0{,}3t = \ln 3$ et $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ heures.

1Essaie par toi-même

Une culture commence avec 500 bactéries et croît selon $N = 500e^{0{,}4t}$ , où $t$ est en heures.

Au bout de combien d'heures y a-t-il 2000 bactéries ? Arrondis à 2 décimales.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $t = \frac{\ln 4}{0{,}4}$ :

Finance : temps de doublement avec intérêts continus

Les banques comparent les placements avec des intérêts composés en continu, $A = Pe^{rt}$. Le temps nécessaire pour doubler un capital est $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Exemple:

À 7 % composés en continu, un capital double en $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ ans. Comme $\ln 2 \approx 0{,}693$ , les banquiers utilisent la "règle de 70" : 70 divisé par le taux en pourcentage.

2Essaie par toi-même

Tu places 1000 € à 5 % d'intérêts composés en continu, donc $A = 1000e^{0{,}05t}$ .

Au bout de combien d'années auras-tu 2000 € ? Arrondis à 2 décimales.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $t = \frac{\ln 2}{0{,}05}$ :

Médecine : combien de temps un médicament reste dans le sang

Beaucoup de médicaments sont éliminés de façon continue : la quantité dans le sang suit $C = C_0 e^{-kt}$. Les médecins utilisent $\ln$ pour savoir quand donner la dose suivante.

Exemple:

Un médicament avec $k = 0{,}25$ par heure a une demi-vie de $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ heures : après ce temps, il en reste la moitié.

3Essaie par toi-même

Une patiente prend 100 mg d'un médicament. La quantité restante après $t$ heures est $C = 100e^{-0{,}25t}$ .

Au bout de combien d'heures reste-t-il 40 mg ? Arrondis à 2 décimales.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $t = \frac{\ln 0{,}4}{-0{,}25}$ :

Points clés

1Le logarithme népérien est le logarithme de base $e \approx 2{,}71828$ : $\ln x = \log_e x$
2 $\ln x = y$ signifie $e^y = x$ : ln donne la puissance de $e$ qui produit $x$
3Valeurs clés : $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$
4 $\ln$ et $e^x$ sont des fonctions réciproques : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$
5 $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ ; il est négatif pour $0 < x < 1$ et positif pour $x > 1$
6Pour résoudre $e^x = k$ (avec $k > 0$ ), applique ln aux deux membres : $x = \ln k$

Questions fréquentes

"Népérien" vient de John Napier (Neper), l'inventeur des logarithmes. "Naturel" parce que sa base

e

apparaît naturellement : dans la croissance continue, les intérêts continus et en analyse, où

e^x

\ln x

ont les taux de variation les plus simples. Le "n" de

\ln

vient du latin "logarithmus naturalis".

Glossaire

Logarithme népérien: Le logarithme de base $e$ , noté $\ln x$ ; $\ln x = y$ signifie $e^y = x$
Nombre d'Euler $e$: Le nombre irrationnel $e \approx 2{,}71828$ , base de la croissance continue
Fonction réciproque: Une fonction qui annule l'effet d'une autre ; $\ln x$ et $e^x$ sont réciproques l'une de l'autre
Argument: Le nombre dont on prend le logarithme, le $x$ dans $\ln x$ ; il doit être strictement positif
Ensemble de définition: Toutes les valeurs autorisées pour la variable ; pour $y = \ln x$ , c'est $x > 0$
Équation exponentielle: Une équation où l'inconnue est dans l'exposant, comme $e^x = 20$

Carte des formules

Définition

\ln x = \log_e x

Logarithme de base $e \approx 2{,}71828$

Forme exponentielle

\ln x = y \iff e^y = x

Passer d'une forme à l'autre

Valeurs clés

\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1

Car $e^0 = 1$ et $e^1 = e$

Règles de réciprocité

\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x

La seconde pour $x > 0$

Résoudre $e^x = k$

x = \ln k

Seulement pour $k > 0$

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Forme exponentielle

Valeurs clés

Règles de réciprocité

Résoudre $e^x = k$

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