Calculer avec la propriété de la puissance

Calcule $\log_2(8^5)$ sans calculatrice.

Fais passer l'exposant devant: $\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ = $5 \log_2 8$

Calcule le logarithme plus simple: $2^3 = 8$, donc $\log_2 8 = 3$ = $\log_2 8 = 3$

Multiplie: $5 \cdot 3 = 15$ = $15$

Answer: $\log_2(8^5) = 15$. Vérification : $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Logarithme d'une racine

Calcule $\log_5 \sqrt{125}$.

Écris la racine comme une puissance fractionnaire: $\sqrt{125} = 125^{1/2}$ = $\log_5(125^{1/2})$

Applique la propriété de la puissance: $\log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 125$ = $\frac{1}{2} \log_5 125$

Calcule le logarithme: $5^3 = 125$, donc $\log_5 125 = 3$ = $\log_5 125 = 3$

Multiplie: $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Answer: $\log_5 \sqrt{125} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Développer avec les trois propriétés

Développe $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}}$ (toutes les variables sont positives).

Propriété du quotient : numérateur moins dénominateur: $\log(x^3 y^2) - \log \sqrt{z}$ = Deux logarithmes

Propriété du produit sur le numérateur: $\log(x^3 y^2) = \log x^3 + \log y^2$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log \sqrt{z}$

Écris la racine comme une puissance: $\sqrt{z} = z^{1/2}$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log z^{1/2}$

Propriété de la puissance sur chaque terme: Fais passer chaque exposant devant = $3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Answer: $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}} = 3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Regrouper en un seul logarithme

Écris $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$ sous la forme d'un seul logarithme.

Propriété de la puissance à l'envers : les coefficients deviennent des exposants: $2 \ln x = \ln x^2$, $3 \ln y = \ln y^3$, $4 \ln z = \ln z^4$ = $\ln x^2 + \ln y^3 - \ln z^4$

Propriété du produit à l'envers sur la somme: $\ln x^2 + \ln y^3 = \ln(x^2 y^3)$ = $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4$

Propriété du quotient à l'envers sur la différence: $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4 = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$ = $\ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Answer: $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Valeur approchée à partir de logarithmes connus

Utilise $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ pour donner une valeur approchée de $\log 72$.

Décompose en puissances de nombres premiers: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ = $\log 72 = \log(2^3 \cdot 3^2)$

Propriété du produit: $\log(2^3 \cdot 3^2) = \log 2^3 + \log 3^2$ = $\log 2^3 + \log 3^2$

Propriété de la puissance: $\log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3$ = $3 \log 2 + 2 \log 3$

Remplace par les valeurs: $3 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 0{,}903 + 0{,}954$ = $1{,}857$

Answer: $\log 72 \approx 1{,}857$ (la calculatrice donne $1{,}8573$)

Mistake: Traiter $(\log M)^p$ comme $p \log M$

Why: La propriété de la puissance ne s'applique que si l'exposant porte sur l'**argument**, à l'intérieur du logarithme. Dans $(\log M)^p$, c'est tout le logarithme qui est élevé à la puissance. Exemple : $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$, mais $3 \log 100 = 6$.

Correct: $\log(M^p) = p \log M$, alors que $(\log M)^p$ ne se simplifie pas avec cette propriété. Regarde où se trouve l'exposant avant de le déplacer.

Mistake: Appliquer l'exposant à tout l'argument : $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Why: Dans $3x^2$, seul $x$ est au carré, pas le $3$. Vérifie avec $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$, mais $2 \log 30 \approx 2{,}95$.

Correct: Sépare d'abord le produit : $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$.

Mistake: Transformer une racine carrée en facteur 2 : $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Why: Une racine carrée est la puissance $\frac{1}{2}$, pas la puissance $2$. L'indice de la racine va au dénominateur.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$, et $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$.

Mistake: Regrouper $3 \log x - \log y$ en $\log \frac{3x}{y}$

Why: Un coefficient devant un logarithme est un **exposant** de l'argument, pas un facteur de celui-ci.

Correct: Fais d'abord monter le coefficient : $3 \log x = \log x^3$. Ensuite $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$.

Intensité sonore en décibels

La variation du niveau sonore vaut $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ décibels, où $\frac{I_2}{I_1}$ indique combien de fois l'intensité augmente. La propriété de la puissance transforme les puissances de 10 en simples multiplications.

Si tu doubles ta distance à un haut-parleur, l'intensité est divisée par $2^2 = 4$, donc $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

Compter les chiffres de nombres gigantesques

Un entier naturel $N$ a $\lfloor \log N \rfloor + 1$ chiffres. Grâce à la propriété de la puissance, tu peux compter les chiffres de puissances énormes sans les calculer.

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$, donc $2^{10} = 1024$ a $3 + 1 = 4$ chiffres.

Croissance d'une population

Une population qui augmente d'un pourcentage fixe chaque année est une fonction exponentielle du temps. Pour savoir quand elle atteint un objectif, la propriété de la puissance fait descendre le temps de l'exposant.

Avec une croissance de 10 % par an, une population double quand $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$, donc $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ ans.

Q: Pourquoi la propriété de la puissance est-elle vraie ?

A: Un logarithme est un exposant. Si $\log_b M = x$, alors $M = b^x$ et $M^p = b^{px}$. Élever à la puissance $p$ multiplie l'exposant par $p$, donc le logarithme (l'exposant) est lui aussi multiplié par $p$.

Q: L'exposant doit-il être un nombre entier ?

A: Non. La propriété est vraie pour tout exposant réel : négatif ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), fractionnaire ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) et même irrationnel.

Q: $\log(x^2)$ et $2 \log x$ sont-elles vraiment la même fonction ?

A: Seulement pour $x > 0$. La fonction $\log(x^2)$ existe aussi pour $x$ négatif (par exemple $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), mais pas $2 \log x$. Pour tout $x \neq 0$, l'énoncé exact est $\log(x^2) = 2 \log |x|$. Le graphique ci-dessus montre les deux courbes.

Q: Quand faut-il développer et quand faut-il regrouper ?

A: Développe quand tu veux des morceaux simples, par exemple pour approcher $\log 72$ à partir de $\log 2$ et $\log 3$. Regroupe quand tu veux un seul logarithme, par exemple pour résoudre une équation comme $2 \log x - \log 4 = 2$ (voir Résoudre des équations logarithmiques).