L'exposant doit-il être un nombre entier ?

Non. La propriété est vraie pour tout exposant réel : négatif ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), fractionnaire ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) et même irrationnel.

$\log(x^2)$ et $2 \log x$ sont-elles vraiment la même fonction ?

Seulement pour $x > 0$. La fonction $\log(x^2)$ existe aussi pour $x$ négatif (par exemple $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), mais pas $2 \log x$. Pour tout $x \neq 0$, l'énoncé exact est $\log(x^2) = 2 \log |x|$. Le graphique ci-dessus montre les deux courbes.

Quand faut-il développer et quand faut-il regrouper ?

Développe quand tu veux des morceaux simples, par exemple pour approcher $\log 72$ à partir de $\log 2$ et $\log 3$. Regroupe quand tu veux un seul logarithme, par exemple pour résoudre une équation comme $2 \log x - \log 4 = 2$ (voir Résoudre des équations logarithmiques).

Ressources enseignants

Propriété de la puissance des logarithmes

Q: Pourquoi la propriété de la puissance est-elle vraie ?

Un logarithme est un exposant. Si $\log_b M = x$, alors $M = b^x$ et $M^p = b^{px}$. Élever à la puissance $p$ multiplie l'exposant par $p$, donc le logarithme (l'exposant) est lui aussi multiplié par $p$.

Apprends comment la propriété de la puissance fait passer un exposant devant le logarithme, comment les racines deviennent des puissances fractionnaires, et comment développer et regrouper avec les trois propriétés.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La propriété de la puissance des logarithmes dit qu'un exposant à l'intérieur d'un logarithme peut passer devant, comme facteur :

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Elle est vraie pour tout exposant réel

p

, à condition que

M > 0

b > 0

b \neq 1

Pourquoi c'est vrai : pose

x = \log_b M

, donc

M = b^x

. Alors

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, et le logarithme de

b^{px}

vaut tout simplement

px

. Donc

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Les racines sont aussi des puissances. Comme

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Exemple :

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

, et

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Avec la propriété du produit (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) et la propriété du quotient (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

), la propriété de la puissance te permet de développer un logarithme en plusieurs logarithmes simples, ou de regrouper plusieurs logarithmes en un seul.

Essaie tout de suite

Quelle expression est égale à

\log_3(x^5)

pour

x > 0

Exemples résolus

Calcule $\log_2(8^5)$ sans calculatrice.

Fais passer l'exposant devant

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Calcule le logarithme plus simple

$2^3 = 8$ , donc $\log_2 8 = 3$

Multiplie

$5 \cdot 3 = 15$

Réponse: $\log_2(8^5) = 15$ . Vérification : $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Erreurs courantes

Traiter $(\log M)^p$ comme $p \log M$

Pourquoi c'est faux: La propriété de la puissance ne s'applique que si l'exposant porte sur l'argument, à l'intérieur du logarithme. Dans $(\log M)^p$ , c'est tout le logarithme qui est élevé à la puissance. Exemple : $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , mais $3 \log 100 = 6$ .

Correct: $\log(M^p) = p \log M$ , alors que $(\log M)^p$ ne se simplifie pas avec cette propriété. Regarde où se trouve l'exposant avant de le déplacer.

Appliquer l'exposant à tout l'argument : $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Pourquoi c'est faux: Dans $3x^2$ , seul $x$ est au carré, pas le $3$ . Vérifie avec $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , mais $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Correct: Sépare d'abord le produit : $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Transformer une racine carrée en facteur 2 : $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Pourquoi c'est faux: Une racine carrée est la puissance $\frac{1}{2}$ , pas la puissance $2$ . L'indice de la racine va au dénominateur.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ , et $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

Regrouper $3 \log x - \log y$ en $\log \frac{3x}{y}$

Pourquoi c'est faux: Un coefficient devant un logarithme est un exposant de l'argument, pas un facteur de celui-ci.

Correct: Fais d'abord monter le coefficient : $3 \log x = \log x^3$ . Ensuite $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

x	-10	0,1	1	10	1000
log(x²)	2	-2	0	2	6
2 log(x)	non déf.	-2	0	2	6
(log x)²	non déf.	1	0	1	9

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle expression est égale à $\log_3(x^5)$ pour $x > 0$ ?

Pourquoi c'est important

C'est la propriété de la puissance qui rend les logarithmes vraiment utiles :

Résoudre des équations exponentielles : dans $1{,}05^t = 2$ , l'inconnue est dans l'exposant. En prenant le logarithme et en appliquant la propriété de la puissance, on obtient $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ : l'exposant descend et devient un facteur ordinaire.
Nombres gigantesques : $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ t'indique tout de suite que $2^{64}$ a 20 chiffres, sans le calculer.
Échelles scientifiques : décibels, pH et échelle de Richter utilisent des logarithmes ; la propriété de la puissance explique pourquoi élever un rapport d'intensités au carré double la variation en décibels.
Analyse : avant de dériver un produit compliqué de puissances, on développe son logarithme grâce à la propriété de la puissance.

C'est la dernière des trois grandes propriétés des logarithmes, et désormais tu utiliseras les trois ensemble dans presque chaque exercice sur les logarithmes.

Applications dans le monde réel

Intensité sonore en décibels

La variation du niveau sonore vaut $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ décibels, où $\frac{I_2}{I_1}$ indique combien de fois l'intensité augmente. La propriété de la puissance transforme les puissances de 10 en simples multiplications.

Exemple:

Si tu doubles ta distance à un haut-parleur, l'intensité est divisée par $2^2 = 4$ , donc $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Essaie par toi-même

Tu es à 2 m d'un haut-parleur et tu recules jusqu'à 20 m. L'intensité sonore diminue avec le carré de la distance : elle est donc divisée par $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ . Le niveau baisse de $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ décibels.

De combien de décibels le niveau sonore baisse-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $10 \log(10^2)$ :

Compter les chiffres de nombres gigantesques

Un entier naturel $N$ a $\lfloor \log N \rfloor + 1$ chiffres. Grâce à la propriété de la puissance, tu peux compter les chiffres de puissances énormes sans les calculer.

Exemple:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , donc $2^{10} = 1024$ a $3 + 1 = 4$ chiffres.

2Essaie par toi-même

Les ordinateurs utilisent souvent des nombres sur $64$ bits, et $2^{64}$ est le nombre de valeurs différentes qu'ils peuvent stocker. Utilise $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Combien de chiffres a $2^{64}$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Nombre de chiffres : $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Croissance d'une population

Une population qui augmente d'un pourcentage fixe chaque année est une fonction exponentielle du temps. Pour savoir quand elle atteint un objectif, la propriété de la puissance fait descendre le temps de l'exposant.

Exemple:

Avec une croissance de 10 % par an, une population double quand $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$ , donc $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ ans.

3Essaie par toi-même

Une ville compte 20000 habitants et sa population augmente de 3 % par an. Après $t$ années, elle compte $20000 \cdot 1{,}03^t$ habitants.

Après combien d'années complètes la ville compte-t-elle au moins 30000 habitants ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Arrondis $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ à l'année entière supérieure :

Points clés

1Propriété de la puissance : $\log_b(M^p) = p \log_b M$ pour $M > 0$ et tout exposant réel $p$
2Les racines sont des puissances fractionnaires : $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Un inverse est la puissance $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Développer : sépare d'abord produits et quotients, puis fais passer chaque exposant devant
5Regrouper : transforme d'abord chaque coefficient en exposant, puis réunis les sommes en produits et les différences en quotients
6 $(\log M)^p$ n'est pas $p \log M$ : l'exposant doit être à l'intérieur du logarithme

Questions fréquentes

Un logarithme est un exposant. Si

\log_b M = x

, alors

M = b^x

M^p = b^{px}

. Élever à la puissance

p

multiplie l'exposant par

p

, donc le logarithme (l'exposant) est lui aussi multiplié par

p

Glossaire

Propriété de la puissance: La propriété des logarithmes $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exposant: Le nombre qui indique combien de fois la base est utilisée comme facteur, comme dans $M^p$
Exposant fractionnaire: Un exposant écrit sous forme de fraction ; $M^{1/n}$ est la racine $n$ -ième de $M$
Développer: Écrire un logarithme comme une somme et une différence de logarithmes plus simples
Regrouper: Écrire plusieurs logarithmes sous la forme d'un seul logarithme
Coefficient: Un nombre qui multiplie un logarithme, comme le $3$ de $3 \log x$ ; la propriété de la puissance le transforme en exposant

Carte des formules

Propriété de la puissance

\log_b(M^p) = p \log_b M

L'exposant de l'argument passe devant

Racine

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Car $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Inverse

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Car $\frac{1}{M} = M^{-1}$

Propriété du produit

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Rappel : les produits deviennent des sommes

Propriété du quotient

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Rappel : les quotients deviennent des différences

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