Vérifier la propriété avec des nombres

Montre que $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$.

Calcule le membre de gauche: $4 \cdot 8 = 32$ et $2^5 = 32$ = $\log_2 32 = 5$

Calcule chaque logarithme du membre de droite: $2^2 = 4$ et $2^3 = 8$ = $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$

Additionne et compare: $2 + 3 = 5$, comme à gauche = $5 = 5$

Answer: Les deux membres valent $5$ : multiplier $4$ par $8$ additionne les exposants $2$ et $3$.

Développer un logarithme

Développe $\log_3(9x)$ le plus possible ($x > 0$).

Écris le produit sous forme de somme: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x$ = $\log_3 9 + \log_3 x$

Calcule le logarithme que tu connais: $3^2 = 9$, donc $\log_3 9 = 2$ = $2$

Écris la forme finale: Remplace $\log_3 9$ par $2$ = $2 + \log_3 x$

Answer: $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$

Regrouper une somme de logarithmes

Écris $\log_4 2 + \log_4 8$ sous forme d'un seul logarithme, puis calcule-le.

Vérifie que les bases sont les mêmes: Les deux logarithmes sont en base $4$, la propriété s'applique = Même base

Multiplie les arguments: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4(2 \cdot 8)$ = $\log_4 16$

Calcule: $4^2 = 16$ = $\log_4 16 = 2$

Answer: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16 = 2$

Calculer avec des logarithmes connus

Utilise $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ (logarithmes décimaux, base 10) pour donner une valeur approchée de $\log 12$.

Décompose l'argument en nombres dont tu connais le logarithme: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ = $\log 12 = \log 2 + \log 2 + \log 3$

Remplace par les valeurs connues: $0{,}301 + 0{,}301 + 0{,}477$ = $1{,}079$

Vérifie à la calculatrice: $\log 12 = 1{,}07918\ldots$ = $\log 12 \approx 1{,}079$

Answer: $\log 12 \approx 1{,}079$

Regrouper avec des variables

Écris $\log_2 x + \log_2(x + 2)$ sous forme d'un seul logarithme, puis calcule sa valeur pour $x = 2$.

Multiplie les arguments: $\log_2 x + \log_2(x+2) = \log_2\big(x(x+2)\big)$ = $\log_2(x^2 + 2x)$

Note l'ensemble de définition: Les deux logarithmes de départ exigent $x > 0$ et $x + 2 > 0$ = $x > 0$

Remplace $x$ par $2$: $2^2 + 2 \cdot 2 = 8$ = $\log_2 8$

Calcule et vérifie: $\log_2 8 = 3$, et $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ = $3$

Answer: $\log_2(x^2 + 2x)$ pour $x > 0$ ; en $x = 2$ sa valeur est $3$.

Mistake: Écrire $\log(M + N) = \log M + \log N$

Why: La propriété concerne un produit dans le logarithme, pas une somme. Vérification : $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, mais $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$.

Correct: Seule l'égalité $\log(MN) = \log M + \log N$ est vraie. Le logarithme d'une somme, comme $\log(x + 3)$, ne se découpe pas.

Mistake: Multiplier les logarithmes : $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Why: Multiplier les nombres additionne les exposants, cela ne les multiplie pas. Vérification : $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$, mais $\log_2 32 = 5$.

Correct: Un produit à l'intérieur devient une somme à l'extérieur : $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$.

Mistake: Regrouper des logarithmes de bases différentes : $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Why: La démonstration utilise $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$, ce qui n'est vrai que si les deux puissances ont la même base $b$.

Correct: Regroupe seulement des logarithmes de même base. $\log_2 x + \log_3 y$ reste tel quel (ou utilise d'abord la formule de changement de base).

Mistake: Appliquer la propriété à des facteurs négatifs : $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Why: $\log 10 = 1$ existe, mais $\log(-2)$ et $\log(-5)$ n'existent pas : l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Correct: La propriété exige $M > 0$ et $N > 0$. Quand tu regroupes, garde l'ensemble de définition des logarithmes de départ (par exemple $x > 0$).

Décibels et intensité sonore

Le niveau sonore en décibels est $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Quand l'intensité $I$ est multipliée par un facteur $k$, la propriété du produit donne $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, donc le niveau augmente de $10 \log k$.

Un son qui devient 10 fois plus intense augmente de $10 \log 10 = 10$ décibels, quel que soit son niveau de départ.

Règle à calcul : multiplier en additionnant

Une règle à calcul place chaque nombre $x$ à une distance $\log x$ du début. Faire glisser une échelle le long de l'autre additionne deux distances, et d'après la propriété du produit, la somme des distances est le logarithme du produit.

Pour multiplier $2 \cdot 3$, on additionne $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$, et c'est là qu'est marqué le $6$.

Les bits d'information

En informatique, il faut $\log_2 N$ bits pour enregistrer une option parmi $N$ options équiprobables. Combiner deux choix indépendants multiplie les options mais additionne les bits.

Un choix parmi $8$ symboles demande $\log_2 8 = 3$ bits, un choix parmi $4$ demande $2$ bits, et les deux ensemble donnent $32$ options : $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

Q: La propriété du produit marche-t-elle avec plus de deux facteurs ?

A: Oui. Applique-la plusieurs fois : $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Par exemple $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Q: Est-ce qu'elle marche aussi pour le logarithme népérien ?

A: Oui, elle est vraie pour toute base valable, y compris $e$ : $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Par exemple $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Q: Existe-t-il une règle pour $\log(M + N)$ ?

A: Non. En général, le logarithme d'une somme n'a pas de forme plus simple. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, alors que $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Q: Quelle différence avec les propriétés du quotient et de la puissance ?

A: Ce sont des variantes de la même idée. La propriété du produit transforme une multiplication en addition ; la Propriété du quotient des logarithmes transforme une division en soustraction ; la Propriété de la puissance des logarithmes transforme une puissance en multiplication par l'exposant.