Est-ce qu'elle marche aussi pour le logarithme népérien ?

Oui, elle est vraie pour toute base valable, y compris $e$ : $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Par exemple $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Existe-t-il une règle pour $\log(M + N)$ ?

Non. En général, le logarithme d'une somme n'a pas de forme plus simple. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, alors que $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Quelle différence avec les propriétés du quotient et de la puissance ?

Ce sont des variantes de la même idée. La propriété du produit transforme une multiplication en addition ; la Propriété du quotient des logarithmes transforme une division en soustraction ; la Propriété de la puissance des logarithmes transforme une puissance en multiplication par l'exposant.

Ressources enseignants

Propriété du produit pour les logarithmes

Q: La propriété du produit marche-t-elle avec plus de deux facteurs ?

Oui. Applique-la plusieurs fois : $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Par exemple $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Comprends pourquoi le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, et utilise cette propriété pour développer, regrouper et calculer.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La propriété du produit des logarithmes dit que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs :

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Elle est vraie pour toute base

b > 0

b \neq 1

, et pour tous nombres

M

N

strictement positifs.

Pourquoi elle est vraie : un logarithme est un exposant. Écris

M = b^m

N = b^n

, donc

\log_b M = m

\log_b N = n

. Quand tu multiplies des puissances de même base, tu additionnes les exposants :

MN = b^m \cdot b^n = b^{m+n}

L'exposant de

MN

est donc

m + n

, c'est-à-dire

\log_b(MN) = m + n = \log_b M + \log_b N

Vérification avec des nombres :

\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Lue de gauche à droite, la propriété développe le logarithme d'un produit en une somme. Lue de droite à gauche, elle regroupe une somme de logarithmes (de même base) en un seul logarithme.

Essaie tout de suite

Quelle expression est égale à

\log_b(MN)

(avec

M, N > 0

) ?

Exemples résolus

Montre que $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ .

Calcule le membre de gauche

$4 \cdot 8 = 32$ et $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$

Calcule chaque logarithme du membre de droite

$2^2 = 4$ et $2^3 = 8$ → $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$

Additionne et compare

$2 + 3 = 5$ , comme à gauche → $5 = 5$

Réponse: Les deux membres valent $5$ : multiplier $4$ par $8$ additionne les exposants $2$ et $3$ .

Erreurs courantes

Écrire $\log(M + N) = \log M + \log N$

Pourquoi c'est faux: La propriété concerne un produit dans le logarithme, pas une somme. Vérification : $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$ , mais $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$ .

Correct: Seule l'égalité $\log(MN) = \log M + \log N$ est vraie. Le logarithme d'une somme, comme $\log(x + 3)$ , ne se découpe pas.

Multiplier les logarithmes : $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Pourquoi c'est faux: Multiplier les nombres additionne les exposants, cela ne les multiplie pas. Vérification : $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ , mais $\log_2 32 = 5$ .

Correct: Un produit à l'intérieur devient une somme à l'extérieur : $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$ .

Regrouper des logarithmes de bases différentes : $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Pourquoi c'est faux: La démonstration utilise $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ , ce qui n'est vrai que si les deux puissances ont la même base $b$ .

Correct: Regroupe seulement des logarithmes de même base. $\log_2 x + \log_3 y$ reste tel quel (ou utilise d'abord la formule de changement de base).

Appliquer la propriété à des facteurs négatifs : $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Pourquoi c'est faux: $\log 10 = 1$ existe, mais $\log(-2)$ et $\log(-5)$ n'existent pas : l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

Correct: La propriété exige $M > 0$ et $N > 0$ . Quand tu regroupes, garde l'ensemble de définition des logarithmes de départ (par exemple $x > 0$ ).

Visuel interactif

Courbe de la fonction

a = 4

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

log₂(a) = 2

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

x	1	2	4	8	16
log₂(x)	0	1	2	3	4
log₂(a·x)	2	3	4	5	6
log₂(a) + log₂(x)	2	3	4	5	6

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle expression est égale à $\log_b(MN)$ (avec $M, N > 0$ ) ?

Pourquoi c'est important

La propriété du produit transforme une multiplication en addition, et c'est exactement pour cela que les logarithmes ont été inventés :

Calculer à la main : avant les calculatrices, on multipliait de grands nombres en additionnant leurs logarithmes lus dans une table (la règle à calcul additionne aussi des longueurs).
Calculer des logarithmes : si tu connais $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ , tu obtiens $\log 6 \approx 0{,}778$ sans calculatrice.
Son et sciences : quand un son devient 100 fois plus intense, son niveau en décibels augmente d'une valeur fixe, car $\log(100 \cdot I) = 2 + \log I$ .
Résoudre des équations : dans la leçon Résoudre des équations logarithmiques, tu regrouperas $\log_2 x + \log_2(x+2)$ en un seul logarithme avant de résoudre.
Informatique : combiner des choix indépendants multiplie les possibilités mais additionne les bits, car $\log_2(16 \cdot 64) = 4 + 6$ .

Applications dans le monde réel

Décibels et intensité sonore

Le niveau sonore en décibels est $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Quand l'intensité $I$ est multipliée par un facteur $k$, la propriété du produit donne $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, donc le niveau augmente de $10 \log k$.

Exemple:

Un son qui devient 10 fois plus intense augmente de $10 \log 10 = 10$ décibels, quel que soit son niveau de départ.

1Essaie par toi-même

Dans une rue, on mesure $60$ décibels. Une machine de chantier rend l'intensité sonore $1000$ fois plus grande.

Quel est le nouveau niveau sonore en décibels ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Ajoute $10 \log(1000)$ à l'ancien niveau :

Règle à calcul : multiplier en additionnant

Une règle à calcul place chaque nombre $x$ à une distance $\log x$ du début. Faire glisser une échelle le long de l'autre additionne deux distances, et d'après la propriété du produit, la somme des distances est le logarithme du produit.

Exemple:

Pour multiplier $2 \cdot 3$ , on additionne $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ , et c'est là qu'est marqué le $6$ .

2Essaie par toi-même

Sur une règle à calcul, le $4$ est à la distance $\log 4 \approx 0{,}602$ et le $5$ à la distance $\log 5 \approx 0{,}699$ . Mis bout à bout, ils donnent une distance totale.

Quel produit la règle à calcul affiche-t-elle ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le nombre dont le logarithme est la distance totale :

Les bits d'information

En informatique, il faut $\log_2 N$ bits pour enregistrer une option parmi $N$ options équiprobables. Combiner deux choix indépendants multiplie les options mais additionne les bits.

Exemple:

Un choix parmi $8$ symboles demande $\log_2 8 = 3$ bits, un choix parmi $4$ demande $2$ bits, et les deux ensemble donnent $32$ options : $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ bits.

3Essaie par toi-même

Un personnage de jeu est enregistré avec une couleur parmi $16$ et une forme parmi $64$ .

Combien de bits faut-il pour enregistrer la couleur et la forme ensemble ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $\log_2(16 \cdot 64) = \log_2 16 + \log_2 64$ :

Points clés

1Propriété du produit : $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ pour $M > 0$ , $N > 0$ , $b > 0$ , $b \neq 1$
2Elle vient de la règle des exposants $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ : multiplier des nombres additionne leurs exposants
3Développer : écrire le logarithme d'un produit comme une somme, par exemple $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$
4Regrouper : écrire une somme de logarithmes de même base comme un seul logarithme, par exemple $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16$
5Avec $\log 2 \approx 0{,}301$ et $\log 3 \approx 0{,}477$ , tu peux approcher les logarithmes de produits, comme $\log 6 \approx 0{,}778$
6Il n'existe pas de règle pour $\log(M + N)$ : le logarithme d'une somme ne se découpe pas

Questions fréquentes

Oui. Applique-la plusieurs fois :

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

. Par exemple

\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7

Glossaire

Propriété du produit: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ : le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes
Développer: Écrire un logarithme comme une somme de logarithmes plus simples, par exemple $\log(2x) = \log 2 + \log x$
Regrouper: Écrire une somme de logarithmes de même base sous forme d'un seul logarithme
Argument: Le nombre dans le logarithme, $M$ dans $\log_b M$ ; il doit être strictement positif
Logarithme décimal: Le logarithme de base 10, noté $\log x$

Carte des formules

Propriété du produit

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Pour $M, N > 0$ et $b > 0$, $b \neq 1$

D'où elle vient

b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Multiplier des puissances additionne les exposants

Trois facteurs

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

Appliquer la propriété plusieurs fois

Valeurs utiles

\log 2 \approx 0{,}301

\log 3 \approx 0{,}477

Logarithmes décimaux pour estimer les logarithmes de produits

Plus sur ce sujet

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Tableau de valeurs

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Décibels et intensité sonore

Règle à calcul : multiplier en additionnant

Les bits d'information

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Propriété du produit

D'où elle vient

Trois facteurs

Valeurs utiles

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Définition du logarithme

Logarithme décimal (base 10)

Logarithme népérien (ln)