Propriété du quotient des logarithmes

La **propriété du quotient** des logarithmes dit : le logarithme d'un quotient est le logarithme du numérateur **moins** le logarithme du dénominateur. $$\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$$ La propriété est vraie pour $M > 0$, $N > 0$ et une base $b > 0$ avec $b \neq 1$. **Pourquoi elle est vraie :** un logarithme est un exposant. Pose $\log_b M = x$ et $\log_b N = y$, donc $M = b^x$ et $N = b^y$. Quand on divise des puissances de même base, on soustrait les exposants : $$\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N$$ C'est la jumelle de la propriété du produit ($\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$) : multiplier dans le logarithme devient additionner à l'extérieur, et diviser dans le logarithme devient soustraire à l'extérieur. **Exemple :** $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3$, et on a bien $\log_2 8 = 3$. Tu peux utiliser la propriété dans les deux sens : - **Développer :** séparer le logarithme d'un quotient en une différence, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$ - **Regrouper :** écrire une différence sous forme d'un seul logarithme, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Vérifier la propriété avec des nombres

Montre que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Calculer directement le membre de gauche: $\dfrac{32}{4} = 8$ et $2^3 = 8$ = $\log_2 8 = 3$

Calculer chaque logarithme du membre de droite: $2^5 = 32$ et $2^2 = 4$ = $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$

Soustraire: $5 - 2 = 3$ = $3$

Comparer les deux membres: Membre de gauche $3$, membre de droite $3$ = Les deux membres sont égaux

Answer: Les deux membres valent $3$, donc $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Regrouper une différence

Écris $\log_3 54 - \log_3 2$ sous forme d'un seul logarithme et calcule-le.

Vérifier que les bases sont les mêmes: Les deux logarithmes sont en base $3$ = La propriété du quotient s'applique

Regrouper en un seul logarithme (numérateur : le premier terme): $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3\left(\dfrac{54}{2}\right)$ = $\log_3 27$

Calculer: $3^3 = 27$ = $\log_3 27 = 3$

Answer: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$

Développer un quotient avec une variable

Développe $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$ pour $x > 0$ et simplifie autant que possible.

Appliquer la propriété du quotient: Numérateur moins dénominateur : $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - \log_5 25$ = $\log_5 x - \log_5 25$

Calculer la partie numérique: $5^2 = 25$ = $\log_5 25 = 2$

Écrire la forme simplifiée: $\log_5 x$ ne peut pas être simplifié davantage = $\log_5 x - 2$

Answer: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - 2$

Propriétés du quotient et du produit ensemble

Développe $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ pour $a, b, c > 0$.

Séparer d'abord le quotient: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log(ab) - \log c$ = $\log(ab) - \log c$

Séparer le produit avec la propriété du produit: $\log(ab) = \log a + \log b$ = $\log a + \log b - \log c$

Vérifier avec des nombres ($a = 20$, $b = 5$, $c = 10$): $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ et $\log 20 + \log 5 - \log 10 = \log 100 - 1 = 1$ = Les deux donnent $1$

Answer: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$

Regrouper trois logarithmes

Calcule $\log 40 + \log 50 - \log 2$ sans calculatrice ($\log$ est le logarithme décimal, de base 10).

Regrouper la somme avec la propriété du produit: $\log 40 + \log 50 = \log(40 \times 50)$ = $\log 2000$

Regrouper la différence avec la propriété du quotient: $\log 2000 - \log 2 = \log\left(\dfrac{2000}{2}\right)$ = $\log 1000$

Écrire $1000$ comme une puissance de $10$: $1000 = 10^3$ = $\log 1000 = 3$

Answer: $\log 40 + \log 50 - \log 2 = \log 1000 = 3$

La propriété du quotient transforme une division en soustraction, et c'est exactement ce dont beaucoup de formules ont besoin : - **Comparer deux mesures** : les décibels, le pH et l'échelle de Richter comparent une grandeur à une valeur de référence avec $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$. La propriété du quotient montre que l'écart entre deux niveaux ne dépend que du rapport des deux grandeurs. - **Le son** : deux sons dont les intensités sont dans le rapport $1000$ diffèrent de $10 \log 1000 = 30$ décibels, quelle que soit leur intensité. - **La chimie** : deux solutions dont les concentrations en ions hydrogène diffèrent d'un facteur $100$ ont exactement $2$ unités d'écart sur l'échelle du pH. - **Simplifier des expressions** : développer $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ en $\log a + \log b - \log c$ rend la suite des calculs (et l'analyse) beaucoup plus simple. - **Résoudre des équations** : regrouper $\log_3 x - \log_3 4$ en $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ est souvent la première étape pour résoudre une équation logarithmique. Avec la propriété du produit et la propriété de la puissance, la propriété du quotient te permet de réécrire presque toute expression logarithmique sous la forme dont tu as besoin.

Mistake: Écrire $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Why: Un quotient de deux logarithmes n'est pas le logarithme d'un quotient. Teste-le : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$, mais $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$.

Correct: La propriété transforme une division DANS le logarithme en soustraction : $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$. La fraction $\dfrac{\log M}{\log N}$ n'a pas de raccourci de ce genre.

Mistake: Écrire $\log(M - N) = \log M - \log N$

Why: La propriété concerne un quotient dans le logarithme, pas une différence. Teste-le : $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$, mais $\log 100 - \log 10 = 1$.

Correct: Aucune propriété ne sépare $\log(M - N)$. Seul $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ devient $\log M - \log N$.

Mistake: Soustraire dans le mauvais ordre : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Why: La soustraction n'est pas commutative, l'ordre compte. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$, mais $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$.

Correct: D'abord le numérateur, moins le dénominateur : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$.

Mistake: Écrire $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Why: $N$ et $P$ sont tous les deux au dénominateur, donc on soustrait les deux logarithmes. Le $+$ traite $P$ comme s'il était au numérateur.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$. Mets des parenthèses : $\log M - (\log N + \log P)$.

Comparer des niveaux sonores en décibels

Le niveau sonore vaut $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ décibels, où $I$ est l'intensité et $I_0$ une référence fixe. Avec la propriété du quotient, l'écart entre deux niveaux vaut $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ : la référence $I_0$ disparaît.

Un son 100 fois plus intense qu'un autre est plus fort de $10 \log 100 = 20$ décibels.

Comparer l'acidité avec le pH

En chimie, $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. Avec la propriété du quotient, l'écart de pH entre deux solutions est le logarithme du rapport de leurs concentrations.

Le café a $[H^+] = 10^{-5}$ et l'eau pure $10^{-7}$. L'écart de pH vaut $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 contre pH 7).

Comparer des séismes sur l'échelle de Richter

La magnitude de Richter vaut $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, où $A$ est l'amplitude du mouvement du sol et $A_0$ une amplitude de référence. Pour deux séismes mesurés à la même distance, la propriété du quotient donne $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Si un séisme a une amplitude 10 fois plus grande qu'un autre, sa magnitude est plus élevée de $\log 10 = 1$.

Propriété du quotient : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ pour $M, N > 0$

Elle vient de la règle des exposants $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : diviser des puissances revient à soustraire les exposants

Développer sépare le logarithme d'un quotient en une différence ; regrouper écrit une différence sous forme d'un seul logarithme

D'abord le numérateur : c'est toujours le logarithme du dénominateur qu'on soustrait

Avec la propriété du produit : $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ et $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$

$\dfrac{\log M}{\log N}$ et $\log(M - N)$ ne sont PAS égaux à $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Q: Les deux logarithmes doivent-ils avoir la même base ?

A: Oui. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ ne fonctionne que si les deux termes ont la même base $b$. Une différence comme $\log_2 8 - \log_3 9$ ne peut pas être regroupée en un seul logarithme avec cette propriété.

Q: Que se passe-t-il quand le quotient est inférieur à 1 ?

A: Alors le logarithme est négatif (pour une base supérieure à 1), et la propriété montre pourquoi : $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. En général, $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Q: Est-ce que je peux développer $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ ?

A: Oui, pour $x > 2$ : $\log x - \log(x - 2)$. Mais $\log(x - 2)$ reste tel quel, car il n'existe aucune propriété pour le logarithme d'une différence.

Q: Pourquoi l'appelle-t-on la jumelle de la propriété du produit ?

A: Diviser par $N$, c'est multiplier par $\dfrac{1}{N}$, donc $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Chaque étape avec la propriété du quotient est une étape avec la propriété du produit déguisée.

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Comprends pourquoi le logarithme d'un quotient est une différence de logarithmes, et utilise la propriété pour développer et regrouper.

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