Que se passe-t-il quand le quotient est inférieur à 1 ?

Alors le logarithme est négatif (pour une base supérieure à 1), et la propriété montre pourquoi : $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. En général, $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Est-ce que je peux développer $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ ?

Oui, pour $x > 2$ : $\log x - \log(x - 2)$. Mais $\log(x - 2)$ reste tel quel, car il n'existe aucune propriété pour le logarithme d'une différence.

Pourquoi l'appelle-t-on la jumelle de la propriété du produit ?

Diviser par $N$, c'est multiplier par $\dfrac{1}{N}$, donc $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Chaque étape avec la propriété du quotient est une étape avec la propriété du produit déguisée.

Ressources enseignants

Propriété du quotient des logarithmes

Q: Les deux logarithmes doivent-ils avoir la même base ?

Oui. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ ne fonctionne que si les deux termes ont la même base $b$. Une différence comme $\log_2 8 - \log_3 9$ ne peut pas être regroupée en un seul logarithme avec cette propriété.

Comprends pourquoi le logarithme d'un quotient est une différence de logarithmes, et utilise la propriété pour développer et regrouper.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La propriété du quotient des logarithmes dit : le logarithme d'un quotient est le logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

La propriété est vraie pour

M > 0

N > 0

et une base

b > 0

avec

b \neq 1

Pourquoi elle est vraie : un logarithme est un exposant. Pose

\log_b M = x

\log_b N = y

, donc

M = b^x

N = b^y

. Quand on divise des puissances de même base, on soustrait les exposants :

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

C'est la jumelle de la propriété du produit (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) : multiplier dans le logarithme devient additionner à l'extérieur, et diviser dans le logarithme devient soustraire à l'extérieur.

Exemple :

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, et on a bien

\log_2 8 = 3

Tu peux utiliser la propriété dans les deux sens :

Développer : séparer le logarithme d'un quotient en une différence, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Regrouper : écrire une différence sous forme d'un seul logarithme, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Essaie tout de suite

Quelle expression est égale à

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

(pour

M, N > 0

) ?

Exemples résolus

Montre que $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Calculer directement le membre de gauche

$\dfrac{32}{4} = 8$ et $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Calculer chaque logarithme du membre de droite

$2^5 = 32$ et $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Soustraire

$5 - 2 = 3$

Comparer les deux membres

Membre de gauche $3$ , membre de droite $3$ → Les deux membres sont égaux

Réponse: Les deux membres valent $3$ , donc $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Erreurs courantes

Écrire $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Pourquoi c'est faux: Un quotient de deux logarithmes n'est pas le logarithme d'un quotient. Teste-le : $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , mais $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Correct: La propriété transforme une division DANS le logarithme en soustraction : $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . La fraction $\dfrac{\log M}{\log N}$ n'a pas de raccourci de ce genre.

Écrire $\log(M - N) = \log M - \log N$

Pourquoi c'est faux: La propriété concerne un quotient dans le logarithme, pas une différence. Teste-le : $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , mais $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Correct: Aucune propriété ne sépare $\log(M - N)$ . Seul $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ devient $\log M - \log N$ .

Soustraire dans le mauvais ordre : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Pourquoi c'est faux: La soustraction n'est pas commutative, l'ordre compte. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , mais $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Correct: D'abord le numérateur, moins le dénominateur : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

Écrire $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$

Pourquoi c'est faux: $N$ et $P$ sont tous les deux au dénominateur, donc on soustrait les deux logarithmes. Le $+$ traite $P$ comme s'il était au numérateur.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Mets des parenthèses : $\log M - (\log N + \log P)$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

a = 2

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Tableau de valeurs

x	1	2	4	5	10	20
log(x/a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) - log(a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) / log(a) (FAUX : différent de log(x/a))	0	1	2	2,32193	3,32193	4,32193

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = log(x/2)

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle expression est égale à $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (pour $M, N > 0$ ) ?

Pourquoi c'est important

La propriété du quotient transforme une division en soustraction, et c'est exactement ce dont beaucoup de formules ont besoin :

Comparer deux mesures : les décibels, le pH et l'échelle de Richter comparent une grandeur à une valeur de référence avec $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . La propriété du quotient montre que l'écart entre deux niveaux ne dépend que du rapport des deux grandeurs.
Le son : deux sons dont les intensités sont dans le rapport $1000$ diffèrent de $10 \log 1000 = 30$ décibels, quelle que soit leur intensité.
La chimie : deux solutions dont les concentrations en ions hydrogène diffèrent d'un facteur $100$ ont exactement $2$ unités d'écart sur l'échelle du pH.
Simplifier des expressions : développer $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ en $\log a + \log b - \log c$ rend la suite des calculs (et l'analyse) beaucoup plus simple.
Résoudre des équations : regrouper $\log_3 x - \log_3 4$ en $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ est souvent la première étape pour résoudre une équation logarithmique.

Avec la propriété du produit et la propriété de la puissance, la propriété du quotient te permet de réécrire presque toute expression logarithmique sous la forme dont tu as besoin.

Applications dans le monde réel

Comparer des niveaux sonores en décibels

Le niveau sonore vaut $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ décibels, où $I$ est l'intensité et $I_0$ une référence fixe. Avec la propriété du quotient, l'écart entre deux niveaux vaut $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ : la référence $I_0$ disparaît.

Exemple:

Un son 100 fois plus intense qu'un autre est plus fort de $10 \log 100 = 20$ décibels.

1Essaie par toi-même

Un haut-parleur produit une intensité $I_A = 0{,}01$ W/m², et une rue calme $I_B = 0{,}00001$ W/m².

De combien de décibels le haut-parleur est-il plus fort que la rue ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Comparer l'acidité avec le pH

En chimie, $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. Avec la propriété du quotient, l'écart de pH entre deux solutions est le logarithme du rapport de leurs concentrations.

Exemple:

Le café a $[H^+] = 10^{-5}$ et l'eau pure $10^{-7}$ . L'écart de pH vaut $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 contre pH 7).

2Essaie par toi-même

Le jus de tomate a $[H^+] = 10^{-4}$ et l'eau pure a $[H^+] = 10^{-7}$ .

De combien le pH du jus de tomate est-il plus bas que celui de l'eau ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Comparer des séismes sur l'échelle de Richter

La magnitude de Richter vaut $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, où $A$ est l'amplitude du mouvement du sol et $A_0$ une amplitude de référence. Pour deux séismes mesurés à la même distance, la propriété du quotient donne $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Exemple:

Si un séisme a une amplitude 10 fois plus grande qu'un autre, sa magnitude est plus élevée de $\log 10 = 1$ .

3Essaie par toi-même

Deux séismes sont enregistrés à la même distance. Le premier a une amplitude $A_1 = 50000$ micromètres, le second $A_2 = 500$ micromètres. Le second séisme a une magnitude de $4$ .

Quelle est la magnitude du premier séisme ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Points clés

1Propriété du quotient : $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ pour $M, N > 0$
2Elle vient de la règle des exposants $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : diviser des puissances revient à soustraire les exposants
3Développer sépare le logarithme d'un quotient en une différence ; regrouper écrit une différence sous forme d'un seul logarithme
4D'abord le numérateur : c'est toujours le logarithme du dénominateur qu'on soustrait
5Avec la propriété du produit : $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ et $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ et $\log(M - N)$ ne sont PAS égaux à $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Questions fréquentes

Oui.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

ne fonctionne que si les deux termes ont la même base

b

. Une différence comme

\log_2 8 - \log_3 9

ne peut pas être regroupée en un seul logarithme avec cette propriété.

Glossaire

Propriété du quotient: La propriété $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ pour $M, N > 0$
Quotient: Le résultat d'une division ; dans $\dfrac{M}{N}$ , $M$ est le numérateur et $N$ le dénominateur
Développer: Réécrire le logarithme d'un produit ou d'un quotient comme une somme ou une différence de logarithmes plus simples
Regrouper: Écrire une somme ou une différence de logarithmes de même base sous forme d'un seul logarithme
Argument: Le nombre dans un logarithme, comme $M$ dans $\log_b M$ ; il doit être strictement positif

Carte des formules

Propriété du quotient

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Pour $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Inverse

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Cas particulier avec $M = 1$, car $\log_b 1 = 0$

Avec la propriété du produit

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

Les facteurs du numérateur s'additionnent, ceux du dénominateur se soustraient

Pas une propriété

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Un quotient de logarithmes n'est pas le logarithme d'un quotient

Plus sur ce sujet

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Tableau de valeurs

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Comparer des niveaux sonores en décibels

Comparer l'acidité avec le pH

Comparer des séismes sur l'échelle de Richter

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Propriété du quotient

Inverse

Avec la propriété du produit

Pas une propriété

Plus sur ce sujet

Introduction aux logarithmes

Définition du logarithme

Logarithme décimal (base 10)

Logarithme népérien (ln)