Passer à la forme exponentielle

Résous $\log_2 x = 3$.

Repérer les éléments: Base $2$, argument $x$, valeur du logarithme $3$ = $\log_2 x = 3$

Écrire sous forme exponentielle: $\log_b A = c \iff A = b^c$ = $x = 2^3$

Calculer la puissance: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ = $x = 8$

Vérifier: $\log_2 8 = 3$ car $2^3 = 8$ ✓, et l'argument $8$ est positif = La solution est valable

Answer: $x = 8$

Une expression dans le logarithme

Résous $\log_3(2x + 1) = 2$.

Écrire sous forme exponentielle: La base $3$ est élevée à la puissance $2$ : $2x + 1 = 3^2$ = $2x + 1 = 9$

Résoudre l'équation du premier degré: $2x = 9 - 1 = 8$ = $x = 4$

Vérifier l'ensemble de définition: Argument : $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$ = L'argument est positif

Vérifier l'équation: $\log_3 9 = 2$ car $3^2 = 9$ ✓ = La solution est valable

Answer: $x = 4$

Des logarithmes dans les deux membres

Résous $\log_5(3x - 2) = \log_5(x + 6)$.

Utiliser l'égalité des logarithmes: Chaque membre est un seul logarithme de base $5$, donc les arguments sont égaux = $3x - 2 = x + 6$

Résoudre l'équation du premier degré: $3x - x = 6 + 2$, donc $2x = 8$ = $x = 4$

Vérifier les deux arguments: $3 \cdot 4 - 2 = 10 > 0$ et $4 + 6 = 10 > 0$ = Les deux arguments sont positifs ✓

Answer: $x = 4$

D'abord regrouper : deux candidats, un rejeté

Résous $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

Regrouper avec la propriété du produit: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2\big(x(x - 2)\big)$ = $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$

Écrire sous forme exponentielle: $x(x - 2) = 2^3$ = $x^2 - 2x = 8$

Résoudre l'équation du second degré: $x^2 - 2x - 8 = 0$, donc $(x - 4)(x + 2) = 0$ = Candidats : $x = 4$ ou $x = -2$

Tester chaque candidat dans l'équation de départ: $x = 4$ : les arguments $4$ et $2$ sont positifs ✓. $x = -2$ : $\log_2(-2)$ n'est pas défini ✗ = $x = -2$ est une solution parasite

Answer: $x = 4$ (le candidat $x = -2$ est rejeté). Le deuxième graphique montre pourquoi : la courbe regroupée $y = \log_2\big(x(x-2)\big)$ existe aussi pour $x$ négatif et coupe $y = 3$ deux fois, alors que la courbe de départ ne la coupe qu'en $x = 4$. Pour $x > 2$, les deux courbes sont superposées ; affiche-les ou masque-les dans la légende pour les comparer.

Bases différentes : prendre le logarithme des deux membres

Résous $3^x = 20$. Arrondis au centième.

Chercher une base commune: $3^2 = 9$ et $3^3 = 27$, donc $20$ n'est pas une puissance de $3$ = La méthode de la même base échoue, mais $2 < x < 3$

Prendre le logarithme décimal des deux membres: $\log(3^x) = \log 20$, puis la propriété de la puissance = $x \log 3 = \log 20$

Diviser par $\log 3$: $\log 3$ est un nombre, environ $0{,}4771$ = $x = \frac{\log 20}{\log 3}$ (valeur exacte)

Utiliser la calculatrice: $\frac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}727$ = $x \approx 2{,}73$

Vérifier: $3^{2{,}73} \approx 20{,}07 \approx 20$ ✓, et $2{,}73$ est bien entre $2$ et $3$ = La solution est valable

Answer: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Mistake: Garder les deux candidats : $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ ou $x = -2$

Why: Après le regroupement en $\log_2\big(x(x - 2)\big)$, les valeurs négatives de $x$ semblent permises, car le produit de deux nombres négatifs est positif. Mais l'équation de départ contient $\log_2 x$, qui n'est pas défini pour $x = -2$.

Correct: Teste chaque candidat dans l'équation DE DÉPART. Seul $x = 4$ convient, $x = -2$ est une solution parasite.

Mistake: Supprimer les logarithmes : $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Why: On ne peut enlever les logarithmes que si chaque membre est un seul logarithme de même base (égalité des logarithmes). Ici, le membre de gauche est une somme de logarithmes et celui de droite est un nombre.

Correct: Regroupe d'abord, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$, puis passe à la forme exponentielle : $x(x - 2) = 2^3 = 8$.

Mistake: Inverser la base et l'exposant : $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Why: Dans $\log_b A = c$, c'est la base $b$ qui est élevée à la puissance $c$. La base du logarithme reste la base de la puissance.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$, donc $x = 4$. Vérification : $\log_3 9 = 2$ ✓

Mistake: Diviser au lieu de prendre le logarithme : $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Why: $3^x$ est une puissance, pas le produit $3 \cdot x$. Une vérification rapide montre l'erreur : $3^{6{,}67}$ vaut environ $1500$, bien plus que $20$.

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$. Attention : $\frac{\log 20}{\log 3}$ n'est PAS égal à $\log \frac{20}{3}$.

Doubler son épargne

Une somme qui augmente chaque année d'un pourcentage fixe suit $A = P \cdot (1 + r)^t$. En isolant l'exposant $t$ avec les logarithmes, tu sais quand un objectif d'épargne est atteint.

À 6 % d'intérêts par an, une somme double quand $1{,}06^t = 2$, donc au bout de $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ ans.

Le niveau sonore en décibels

Le niveau sonore en décibels vaut $L = 10 \log r$, où $r = \frac{I}{I_0}$ compare l'intensité d'un son à celle du son le plus faible que l'oreille humaine perçoit.

Une conversation normale fait environ 60 dB : $10 \log r = 60$ donne $\log r = 6$, donc $r = 10^6$, un million de fois le seuil d'audition.

Des bactéries qui se multiplient

Une colonie qui double toutes les heures suit $N = N_0 \cdot 2^t$. Quand la taille visée n'est pas une puissance de 2, les logarithmes donnent le temps exact.

Une colonie de 200 cellules atteint 1000 cellules quand $2^t = 5$, donc au bout de $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ heures.

Q: Pourquoi des solutions parasites apparaissent-elles ?

A: Le regroupement change l'ensemble de définition. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ exige $x > 2$, mais $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ exige seulement $x(x - 2) > 0$, ce qui est aussi vrai pour $x < 0$. L'équation regroupée peut donc avoir des solutions que l'équation de départ n'a pas. C'est pourquoi on vérifie toujours dans l'équation de départ.

Q: Une solution négative est-elle toujours parasite ?

A: Non. Ce qui compte, c'est le signe de chaque argument, pas celui de $x$. Pour $\log_2(x + 5) = 1$, on obtient $x + 5 = 2$, donc $x = -3$, et l'argument $-3 + 5 = 2$ est positif. La solution $x = -3$ est valable.

Q: Faut-il utiliser log ou ln pour résoudre $3^x = 20$ ?

A: Les deux conviennent. $\frac{\log 20}{\log 3}$ et $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ donnent le même nombre, environ $2{,}73$. C'est exactement la formule de changement de base : les deux sont égaux à $\log_3 20$.

Q: Une équation logarithmique peut-elle n'avoir aucune solution ?

A: Oui. Pour $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$, les arguments donnent $x - 4 = 2x - 1$, donc $x = -3$. Mais alors les deux arguments valent $-7$, ce qui est interdit. Le seul candidat est rejeté, donc l'équation n'a pas de solution.