Une solution négative est-elle toujours parasite ?

Non. Ce qui compte, c'est le signe de chaque argument, pas celui de $x$. Pour $\log_2(x + 5) = 1$, on obtient $x + 5 = 2$, donc $x = -3$, et l'argument $-3 + 5 = 2$ est positif. La solution $x = -3$ est valable.

Faut-il utiliser log ou ln pour résoudre $3^x = 20$ ?

Les deux conviennent. $\frac{\log 20}{\log 3}$ et $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ donnent le même nombre, environ $2{,}73$. C'est exactement la formule de changement de base : les deux sont égaux à $\log_3 20$.

Une équation logarithmique peut-elle n'avoir aucune solution ?

Oui. Pour $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$, les arguments donnent $x - 4 = 2x - 1$, donc $x = -3$. Mais alors les deux arguments valent $-7$, ce qui est interdit. Le seul candidat est rejeté, donc l'équation n'a pas de solution.

Ressources enseignants

Résoudre des équations logarithmiques

Q: Pourquoi des solutions parasites apparaissent-elles ?

Le regroupement change l'ensemble de définition. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ exige $x > 2$, mais $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ exige seulement $x(x - 2) > 0$, ce qui est aussi vrai pour $x < 0$. L'équation regroupée peut donc avoir des solutions que l'équation de départ n'a pas. C'est pourquoi on vérifie toujours dans l'équation de départ.

Résous des équations où l'inconnue est dans un logarithme, élimine les solutions parasites et utilise les logarithmes pour résoudre des équations comme 3^x = 20.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans l'argument d'un logarithme, par exemple

\log_2 x = 3

\log_3(2x + 1) = 2

Deux outils permettent de résoudre presque toutes les équations logarithmiques :

1. Passer à la forme exponentielle. Un logarithme est un exposant, donc

\log_b A = c \iff A = b^c

Par exemple,

\log_2 x = 3

signifie

x = 2^3 = 8

. Sur le graphique, la droite

y = 3

coupe la courbe

y = \log_2 x

exactement en

x = 8

2. Utiliser l'égalité des logarithmes. Si deux logarithmes de même base sont égaux, leurs arguments sont égaux :

\log_b M = \log_b N \implies M = N

La méthode :

1.Regrouper chaque membre en un seul logarithme grâce aux propriétés du produit, du quotient et de la puissance.
2.Réécrire sous forme exponentielle, ou égaler les arguments.
3.Résoudre l'équation obtenue (le plus souvent du premier ou du second degré).
4.Vérifier l'ensemble de définition : chaque argument de l'équation DE DÉPART doit être strictement positif. Une valeur candidate qui rend un argument nul ou négatif est une solution parasite et doit être rejetée.

Équations exponentielles avec des bases différentes. Quand les deux membres d'une équation exponentielle ne peuvent pas s'écrire avec la même base, on prend le logarithme des deux membres et on applique la propriété de la puissance :

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Ici,

\log

est le logarithme décimal (base 10). Le logarithme népérien

\ln

donne le même résultat.

Essaie tout de suite

Quelle équation est la forme exponentielle de

\log_4 x = 3

Exemples résolus

Résous $\log_2 x = 3$ .

Repérer les éléments

Base $2$ , argument $x$ , valeur du logarithme $3$ → $\log_2 x = 3$

Écrire sous forme exponentielle

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Calculer la puissance

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Vérifier

$\log_2 8 = 3$ car $2^3 = 8$ ✓, et l'argument $8$ est positif → La solution est valable

Réponse: $x = 8$

Erreurs courantes

Garder les deux candidats : $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ ou $x = -2$

Pourquoi c'est faux: Après le regroupement en $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ , les valeurs négatives de $x$ semblent permises, car le produit de deux nombres négatifs est positif. Mais l'équation de départ contient $\log_2 x$ , qui n'est pas défini pour $x = -2$ .

Correct: Teste chaque candidat dans l'équation DE DÉPART. Seul $x = 4$ convient, $x = -2$ est une solution parasite.

Supprimer les logarithmes : $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Pourquoi c'est faux: On ne peut enlever les logarithmes que si chaque membre est un seul logarithme de même base (égalité des logarithmes). Ici, le membre de gauche est une somme de logarithmes et celui de droite est un nombre.

Correct: Regroupe d'abord, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , puis passe à la forme exponentielle : $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Inverser la base et l'exposant : $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Pourquoi c'est faux: Dans $\log_b A = c$ , c'est la base $b$ qui est élevée à la puissance $c$ . La base du logarithme reste la base de la puissance.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , donc $x = 4$ . Vérification : $\log_3 9 = 2$ ✓

Diviser au lieu de prendre le logarithme : $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Pourquoi c'est faux: $3^x$ est une puissance, pas le produit $3 \cdot x$ . Une vérification rapide montre l'erreur : $3^{6{,}67}$ vaut environ $1500$ , bien plus que $20$ .

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Attention : $\frac{\log 20}{\log 3}$ n'est PAS égal à $\log \frac{20}{3}$ .

Visuel interactif

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = log₂(x)y = 3Asymptote

Point d'intersection : (8 ; 3)

Tableau de valeurs

x	1	2	4	8	16
log₂(x)	0	1	2	3	4
3	3	3	3	3	3

Courbe de la fonction

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Touche un nom pour afficher ou masquer sa courbe.

Asymptote

Point d'intersection : (-2 ; 3)
Point d'intersection : (4 ; 3)
Les courbes sont confondues : une infinité de points communs.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle équation est la forme exponentielle de $\log_4 x = 3$ ?

Pourquoi c'est important

Les équations logarithmiques répondent aux questions combien de temps ? et quelle intensité ? dès que quelque chose augmente ou diminue d'un facteur constant :

Finance : au bout de combien d'années une épargne placée à 8 % double-t-elle ? Résous $1{,}08^t = 2$ .
Biologie : quand une culture de bactéries atteint-elle une taille qui n'est pas une puissance de 2 ?
Acoustique : une tondeuse à gazon à 90 dB est-elle combien de fois plus intense que le son le plus faible que tu peux entendre ?
Chimie et géologie : le pH et l'échelle de Richter sont des logarithmes. Retrouver la concentration ou l'énergie qui se cache derrière, c'est résoudre une équation logarithmique.

Dans la leçon Résoudre des équations exponentielles, tu pouvais seulement dire que la solution de

2^x = 20

se trouve entre

4

5

. Avec les logarithmes, tu obtiens la valeur exacte

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. Et la vérification de l'ensemble de définition te servira pour toute équation avec des racines, des fractions ou des logarithmes.

Applications dans le monde réel

Doubler son épargne

Une somme qui augmente chaque année d'un pourcentage fixe suit $A = P \cdot (1 + r)^t$. En isolant l'exposant $t$ avec les logarithmes, tu sais quand un objectif d'épargne est atteint.

Exemple:

À 6 % d'intérêts par an, une somme double quand $1{,}06^t = 2$ , donc au bout de $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ ans.

1Essaie par toi-même

Tu places 1000 € sur un compte d'épargne rémunéré à 8 % par an. Au bout de $t$ années, tu as $1000 \cdot 1{,}08^t$ euros.

Au bout de combien d'années la somme a-t-elle doublé pour atteindre 2000 € ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ et écris la valeur exacte de $t$ comme quotient de deux logarithmes, sous la forme ln(a)/ln(b) (sans arrondir pour l'instant) :

Le niveau sonore en décibels

Le niveau sonore en décibels vaut $L = 10 \log r$, où $r = \frac{I}{I_0}$ compare l'intensité d'un son à celle du son le plus faible que l'oreille humaine perçoit.

Exemple:

Une conversation normale fait environ 60 dB : $10 \log r = 60$ donne $\log r = 6$ , donc $r = 10^6$ , un million de fois le seuil d'audition.

2Essaie par toi-même

Une tondeuse à gazon atteint 90 dB. Son rapport d'intensité $r$ vérifie $10 \log r = 90$ .

Quel est le rapport d'intensité $r$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $r$ comme une puissance de 10 :

Des bactéries qui se multiplient

Une colonie qui double toutes les heures suit $N = N_0 \cdot 2^t$. Quand la taille visée n'est pas une puissance de 2, les logarithmes donnent le temps exact.

Exemple:

Une colonie de 200 cellules atteint 1000 cellules quand $2^t = 5$ , donc au bout de $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ heures.

3Essaie par toi-même

Une culture commence avec 500 bactéries et double toutes les heures.

Au bout de combien d'heures y a-t-il 6000 bactéries ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $500 \cdot 2^t = 6000$ et écris la valeur exacte de $t$ comme quotient de deux logarithmes, sous la forme ln(a)/ln(b) (sans arrondir pour l'instant) :

Points clés

1Dans une équation logarithmique, l'inconnue est dans un logarithme, comme dans $\log_2 x = 3$
2Forme exponentielle : $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Injectivité du logarithme : $\log_b M = \log_b N$ donne $M = N$
4Regroupe les sommes et différences de logarithmes en un seul logarithme avant de résoudre
5Teste chaque candidat dans l'équation DE DÉPART : tous les arguments doivent être positifs, sinon c'est une solution parasite
6Pour une équation exponentielle avec des bases différentes, prends le logarithme : $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Questions fréquentes

Le regroupement change l'ensemble de définition.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

exige

x > 2

, mais

\log_2\big(x(x - 2)\big)

exige seulement

x(x - 2) > 0

, ce qui est aussi vrai pour

x < 0

. L'équation regroupée peut donc avoir des solutions que l'équation de départ n'a pas. C'est pourquoi on vérifie toujours dans l'équation de départ.

Glossaire

Équation logarithmique: Une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans l'argument d'un logarithme, comme $\log_3(2x + 1) = 2$
Forme exponentielle: L'écriture d'un logarithme sous forme de puissance : $\log_b A = c$ s'écrit $A = b^c$
Injectivité du logarithme: Si $\log_b M = \log_b N$ , alors $M = N$ (pour $M, N > 0$ )
Candidat: Une valeur trouvée pendant la résolution, qu'il faut encore tester dans l'équation de départ
Solution parasite: Un candidat qui rend un argument de l'équation de départ nul ou négatif et qui est donc rejeté
Ensemble de définition d'un logarithme: Les valeurs pour lesquelles $\log_b A$ est défini : l'argument doit être strictement positif, $A > 0$

Carte des formules

Forme exponentielle

\log_b A = c \iff A = b^c

Valable pour $b > 0$, $b \neq 1$. À utiliser quand un membre est un seul logarithme et l'autre un nombre.

Injectivité du logarithme

\log_b M = \log_b N \implies M = N

À utiliser quand chaque membre est un seul logarithme de même base.

Vérification de l'ensemble de définition

A > 0

Chaque argument $A$ d'un logarithme de l'équation de départ doit être positif. Sinon, le candidat est une solution parasite.

Logarithme des deux membres

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Résout les équations exponentielles dont les membres ne s'écrivent pas avec la même base, par exemple $3^x = 20$.

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Injectivité du logarithme

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