Suites arithmétiques

Apprends à identifier, analyser et travailler avec des suites arithmétiques où les termes augmentent ou diminuent d'une différence constante.

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Définition

Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Cette différence constante s'appelle la raison et est notée dd.
Par exemple : 3,7,11,15,19,…3, 7, 11, 15, 19, \ldots
Ici, chaque terme est 4 de plus que le précédent, donc d=4d = 4.

La formule explicite

Pour trouver n'importe quel terme d'une suite arithmétique, utilise la formule explicite :
an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
Où :
  • ana_n = le nn-ième terme (le terme que nous voulons trouver)
  • a1a_1 = le premier terme
  • nn = la position du terme
  • dd = la raison

Trouver la raison

Pour trouver dd, soustrais n'importe quel terme du terme qui le suit :
d=an+1−and = a_{n+1} - a_n

Essaie tout de suite

Quelle suite est arithmétique ?

Exemples résolus

Trouve la raison de la suite : 8,5,2,−1,−4,…8, 5, 2, -1, -4, \ldots
1

Choisis deux termes consécutifs

Prenons a1=8a_1 = 8 et a2=5a_2 = 5 → Deux premiers termes identifiés
2

Soustrais le premier du second

d=a2−a1=5−8=−3d = a_2 - a_1 = 5 - 8 = -3 → d=−3d = -3
3

Vérifie avec une autre paire

2−5=−32 - 5 = -3 et −1−2=−3-1 - 2 = -3 → Confirmé : d=−3d = -3

Erreurs courantes

Utiliser nn au lieu de (n−1)(n-1) dans la formule

Pourquoi c'est faux: La formule an=a1+nda_n = a_1 + nd donnerait le (n+1)(n+1)-ième terme, pas le nn-ième. Quand n=1n=1, nous devrions obtenir a1a_1, ce qui nécessite (n−1)=0(n-1) = 0.

Correct: Utilise toujours an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d. Vérifie : quand n=1n=1, a1=a1+0⋅d=a1a_1 = a_1 + 0 \cdot d = a_1.

Soustraire dans le mauvais ordre pour trouver dd

Pourquoi c'est faux: Les élèves calculent parfois an−an+1a_n - a_{n+1} au lieu de an+1−ana_{n+1} - a_n, ce qui donne le mauvais signe pour dd.

Correct: Soustrais toujours le terme antérieur du terme postérieur : d=an+1−and = a_{n+1} - a_n

Oublier que dd peut être négatif

Pourquoi c'est faux: Les suites arithmétiques peuvent décroître ! Une suite comme 20,17,14,11,…20, 17, 14, 11, \ldots a d=−3d = -3.

Correct: Vérifie si la suite est croissante (d>0d > 0) ou décroissante (d<0d < 0) avant d'écrire la formule.

Confondre le numéro du terme avec la valeur du terme

Pourquoi c'est faux: Dans a5=23a_5 = 23, l'indice 5 est la position (5ème terme), et 23 est la valeur.

Correct: ana_n signifie le terme à la position nn. L'indice est toujours la position.

Visuel interactif

Explorateur de suites

3,
7,
11,
15,
19,
23,
27,
31
, ...

Formule

a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1
Formule de somme: S_8 = 8/2 × (2×3 + 7×4) = 136
12345678
a_1

3

a_5

19

a_10

39

a_20

79

à

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Quelle suite est arithmétique ?

Pourquoi c'est important

Les suites arithmétiques apparaissent partout dans la vie quotidienne et sont fondamentales pour comprendre les motifs :
  • Plans d'épargne : Si tu économises 50€ chaque mois, ton épargne totale forme une suite arithmétique : 50, 100, 150, 200, ...
  • Disposition des sièges : Les rangées de théâtre augmentent souvent d'un nombre fixe de sièges : 20, 24, 28, 32, ...
  • Dépréciation : Une voiture perdant 2000€ de valeur chaque année suit un motif arithmétique
  • Construction d'escaliers : Chaque marche monte de la même hauteur, formant une suite arithmétique d'élévations
Comprendre les suites arithmétiques mène à l'étude des séries arithmétiques (sommes) et te prépare à des motifs plus complexes comme les suites géométriques.

Applications dans le monde réel

Épargne et planification financière

Les dépôts d'épargne réguliers créent des suites arithmétiques. Comprendre ces motifs aide à la planification financière.

Exemple:

Si tu économises 75€ par mois à partir de 0, après nn mois tu as 75n75n euros. Si tu commences avec 200€, ton solde forme la suite 200,275,350,425,…200, 275, 350, 425, \ldots

1Essaie par toi-même

Tu ouvres un compte épargne avec 500€ et déposes 125€ chaque mois.

Combien auras-tu après 2 ans (24 mois) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d avec a1=500a_1 = 500 et d=125d = 125

Construction et architecture

Les constructeurs utilisent des suites arithmétiques pour planifier escaliers, sièges et motifs structurels.

Exemple:

Un escalier a une élévation totale de 3 mètres sur 15 marches. Chaque marche monte de 315=0,2\frac{3}{15} = 0,2 mètre. Les hauteurs forment la suite 0,2;0,4;0,6;…;3,00,2 ; 0,4 ; 0,6 ; \ldots ; 3,0 mètres.

2Essaie par toi-même

Une pyramide de boîtes a 1 boîte au sommet, 3 dans la deuxième rangée, 5 dans la troisième, et ainsi de suite.

Combien de boîtes y a-t-il dans la 10ème rangée ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

C'est une suite arithmétique avec a1=1a_1 = 1 et d=2d = 2

Sport et fitness

Les programmes d'entraînement augmentent souvent l'intensité selon des motifs arithmétiques.

Exemple:

Un coureur commence avec 2 km et ajoute 0,5 km chaque semaine. Après nn semaines, il court 2+0,5(n−1)2 + 0,5(n-1) km. Semaine 10 : 2+0,5×9=6,52 + 0,5 \times 9 = 6,5 km.

3Essaie par toi-même

Un abonnement de gym coûte 30€ d'inscription plus 15€ par mois.

Quel est le coût total après 12 mois ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Le premier mois coûte 45€ au total, puis 15€ sont ajoutés chaque mois

Points clés

  • 1Une suite arithmétique a une différence constante dd entre termes consécutifs
  • 2La formule explicite est an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d
  • 3Trouve dd en soustrayant un terme du suivant : d=an+1−and = a_{n+1} - a_n
  • 4La raison dd peut être positive (suite croissante) ou négative (suite décroissante)
  • 5Pour trouver un terme spécifique, substitue la position nn dans la formule explicite

Questions fréquentes

Une suite est une liste de nombres suivant un motif (ex. 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, \ldots). Une série est la somme des termes d'une suite (ex. 2+5+8+11+…2 + 5 + 8 + 11 + \ldots). Nous étudions les séries arithmétiques après avoir maîtrisé les suites.
Une suite est une liste de nombres suivant un motif (ex. 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, \ldots). Une série est la somme des termes d'une suite (ex. 2+5+8+11+…2 + 5 + 8 + 11 + \ldots). Nous étudions les séries arithmétiques après avoir maîtrisé les suites.
Oui ! Si d=0d = 0, chaque terme est identique : 5,5,5,5,…5, 5, 5, 5, \ldots est techniquement une suite arithmétique avec d=0d = 0.
Calcule les différences entre termes consécutifs. Si toutes les différences sont égales, elle est arithmétique. Pour 3,7,11,153, 7, 11, 15 : 7−3=47-3=4, 11−7=411-7=4, 15−11=415-11=4. Toutes les différences sont 4, donc elle est arithmétique avec d=4d=4.
Utilise la formule pour établir des équations. Si a3=10a_3 = 10 et a7=22a_7 = 22, alors a1+2d=10a_1 + 2d = 10 et a1+6d=22a_1 + 6d = 22. Soustrais pour obtenir 4d=124d = 12, donc d=3d = 3.

Glossaire

Suite arithmétique
Une suite où chaque terme diffère du précédent d'une quantité constante appelée la raison
Raison
La valeur constante dd ajoutée à chaque terme pour obtenir le terme suivant dans une suite arithmétique
Formule explicite
Une formule qui calcule directement n'importe quel terme : an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d
Terme
Chaque nombre dans une suite ; ana_n représente le terme à la position nn
Premier terme
La valeur de départ de la suite, notée a1a_1
n-ième terme
Le terme à la position nn dans la suite, noté ana_n

Carte des formules

Formule explicite

an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Trouve le $n$-ième terme directement

Raison

d=an+1−and = a_{n+1} - a_n

Différence entre termes consécutifs

Forme alternative

an=am+(n−m)⋅da_n = a_m + (n-m) \cdot d

Trouve $a_n$ en utilisant n'importe quel terme connu $a_m$

Défi du jourUn problème, trois essais

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