Suites géométriques
Apprends les suites où chaque terme est multiplié par une raison constante pour obtenir le suivant.
Définition
Essaie tout de suite
Exemples résolus
La suite est-elle géométrique ? Si oui, trouve la raison.
Vérifie le rapport entre les termes consécutifs
, , , → Tous les rapports sont égaux
Confirme la raison constante
Puisque chaque rapport égale , c'est géométrique → Oui, c'est géométrique
Énonce la raison
→ La raison est
Réponse: Oui, c'est une suite géométrique de raison . Chaque terme est le double du précédent.
Erreurs courantes
Confusion sur l'exposant : utiliser au lieu de
Pourquoi c'est faux: Le premier terme a l'exposant 0 : . Donc le nième terme a l'exposant .
Correct: Utilise toujours . Pour le 5ème terme, l'exposant est .
Penser qu'une raison négative signifie que ce n'est pas géométrique
Pourquoi c'est faux: Les suites géométriques peuvent avoir des raisons négatives ! Les signes alternent alors.
Correct: Exemple : est géométrique avec .
Additionner au lieu de multiplier pour trouver le terme suivant
Pourquoi c'est faux: C'est la différence entre les suites arithmétiques (addition) et géométriques (multiplication).
Correct: Dans les suites géométriques, MULTIPLIE toujours par : si et , alors , PAS .
Oublier que peut être une fraction (causant une décroissance)
Pourquoi c'est faux: Quand , chaque terme devient plus petit. Cela modélise la décroissance, pas la croissance.
Correct: Exemple : a (chaque terme est la moitié du précédent).
Visuel interactif
Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.
Bac à sable interactif
Calculateur d'expressions
Essayez ceux-ci:
Historique
Aucun calcul encore
Exercices pratiques
16 exercicesLaquelle est une suite géométrique ?
Pourquoi c'est important
- Intérêts composés : Ton épargne croît géométriquement avec les intérêts composés
- Croissance démographique : Les bactéries doublent chaque heure, créant un motif géométrique
- Dépréciation : Une voiture perd un pourcentage de sa valeur chaque année
- Physique : Les balles rebondissantes perdent une fraction de hauteur à chaque rebond
- Technologie : La loi de Moore décrit la croissance géométrique de la puissance de calcul
Applications dans le monde réel
Intérêts composés
Quand l'argent rapporte des intérêts composés, le solde forme une suite géométrique où la raison est $(1 + \text{taux d'intérêt})$.
Exemple:
Tu investis 1000 euros à 5% d'intérêt annuel. Chaque année, ton solde est multiplié par : - Année 0 : 1000 euros - Année 1 : 1050 euros - Année 2 : 1102,50 euros - Année 3 : 1157,63 euros
Tu déposes 500 euros sur un compte rapportant 8% d'intérêt annuel.
Combien auras-tu après 10 ans ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Utilise avec , , :
Croissance bactérienne
Les bactéries doublent souvent à intervalles réguliers, créant une suite géométrique avec $r = 2$.
Exemple:
Si une culture commence avec 100 bactéries et double chaque heure : - Heure 0 : 100 bactéries - Heure 1 : 200 bactéries - Heure 2 : 400 bactéries - Heure 5 : bactéries
Une colonie bactérienne commence avec 50 cellules et triple toutes les 2 heures.
Combien de bactéries y aura-t-il après 8 heures ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Trouve le numéro du terme pour 8 heures, puis utilise la formule :
Dépréciation
Les voitures et équipements perdent de la valeur au fil du temps. Si quelque chose perd un pourcentage fixe chaque année, cela suit une suite géométrique avec $r < 1$.
Exemple:
Une voiture valant 20000 euros se déprécie de 15% chaque année (garde 85%) : - Année 0 : 20000 euros - Année 1 : 17000 euros - Année 2 : 14450 euros - Année 3 : 12282,50 euros
Un ordinateur valant 1200 euros perd 20% de sa valeur chaque année.
Quelle est sa valeur après 4 ans ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Utilise (garde 80% chaque année) :
Points clés
- 1Une suite géométrique multiplie chaque terme par une raison constante pour obtenir le suivant
- 2La formule du terme général est
- 3Trouve la raison en divisant un terme par son précédent :
- 4Si , la suite croît ; si , elle décroît
- 5Si , les termes alternent entre positif et négatif
- 6Les suites géométriques modélisent les intérêts composés, la croissance démographique, la dépréciation et plus
Questions fréquentes
Glossaire
- Suite géométrique
- Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une raison constante
- Raison ()
- Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs
- Croissance exponentielle
- Quand , causant une croissance rapide de la suite
- Décroissance exponentielle
- Quand , causant un rétrécissement de la suite vers zéro
- Progression géométrique
- Autre nom pour une suite géométrique
Carte des formules
Terme general
Trouve n'importe quel terme connaissant le premier terme et la raison
Raison
Trouve la raison en divisant des termes consecutifs
Formule recursive
Chaque terme egale le terme precedent fois $r$