Suites géométriques

Apprends les suites où chaque terme est multiplié par une raison constante pour obtenir le suivant.

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Définition

Une suite géométrique est une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre fixe appelé la raison (rr).
Si le premier terme est a1a_1 et la raison est rr, la suite ressemble à :
a1,a1⋅r,a1⋅r2,a1⋅r3,…a_1, \quad a_1 \cdot r, \quad a_1 \cdot r^2, \quad a_1 \cdot r^3, \quad \ldots
La formule du terme général est :
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Pour trouver la raison, divise n'importe quel terme par son terme précédent :
r=anan−1r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}}

Essaie tout de suite

Laquelle est une suite géométrique ?

Exemples résolus

La suite 3,6,12,24,48,…3, 6, 12, 24, 48, \ldots est-elle géométrique ? Si oui, trouve la raison.
1

Vérifie le rapport entre les termes consécutifs

63=2\frac{6}{3} = 2, 126=2\frac{12}{6} = 2, 2412=2\frac{24}{12} = 2, 4824=2\frac{48}{24} = 2 → Tous les rapports sont égaux
2

Confirme la raison constante

Puisque chaque rapport égale 22, c'est géométrique → Oui, c'est géométrique
3

Énonce la raison

r=2r = 2 → La raison est 22

Erreurs courantes

Confusion sur l'exposant : utiliser rnr^n au lieu de rn−1r^{n-1}

Pourquoi c'est faux: Le premier terme a l'exposant 0 : a1=a1⋅r0a_1 = a_1 \cdot r^0. Donc le nième terme a l'exposant n−1n-1.

Correct: Utilise toujours an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}. Pour le 5ème terme, l'exposant est 5−1=45-1=4.

Penser qu'une raison négative signifie que ce n'est pas géométrique

Pourquoi c'est faux: Les suites géométriques peuvent avoir des raisons négatives ! Les signes alternent alors.

Correct: Exemple : 2,−6,18,−54,…2, -6, 18, -54, \ldots est géométrique avec r=−3r = -3.

Additionner au lieu de multiplier pour trouver le terme suivant

Pourquoi c'est faux: C'est la différence entre les suites arithmétiques (addition) et géométriques (multiplication).

Correct: Dans les suites géométriques, MULTIPLIE toujours par rr : si a3=12a_3 = 12 et r=2r = 2, alors a4=12×2=24a_4 = 12 \times 2 = 24, PAS 12+2=1412 + 2 = 14.

Oublier que rr peut être une fraction (causant une décroissance)

Pourquoi c'est faux: Quand 0<r<10 < r < 1, chaque terme devient plus petit. Cela modélise la décroissance, pas la croissance.

Correct: Exemple : 100,50,25,12,5,…100, 50, 25, 12{,}5, \ldots a r=0,5r = 0{,}5 (chaque terme est la moitié du précédent).

Visuel interactif

Explorateur de suites

3,
6,
12,
24,
48,
96,
192,
384
, ...

Formule

a_n = 3 × 2^(n-1)
12345678
a_1

3

a_5

48

a_10

1536

a_20

1 572 864

Explorateur de suites

256,
128,
64,
32,
16,
8
, ...

Formule

a_n = 256 × 0,5^(n-1)
123456
a_1

256

a_5

16

a_10

0,5

a_20

0,000488

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Laquelle est une suite géométrique ?

Pourquoi c'est important

Les suites géométriques modélisent de nombreux phénomènes réels :
  • Intérêts composés : Ton épargne croît géométriquement avec les intérêts composés
  • Croissance démographique : Les bactéries doublent chaque heure, créant un motif géométrique
  • Dépréciation : Une voiture perd un pourcentage de sa valeur chaque année
  • Physique : Les balles rebondissantes perdent une fraction de hauteur à chaque rebond
  • Technologie : La loi de Moore décrit la croissance géométrique de la puissance de calcul
Comprendre les suites géométriques est essentiel pour la planification financière, la biologie, la physique et l'informatique !

Applications dans le monde réel

Intérêts composés

Quand l'argent rapporte des intérêts composés, le solde forme une suite géométrique où la raison est $(1 + \text{taux d'intérêt})$.

Exemple:

Tu investis 1000 euros à 5% d'intérêt annuel. Chaque année, ton solde est multiplié par 1,051,05 : - Année 0 : 1000 euros - Année 1 : 1050 euros - Année 2 : 1102,50 euros - Année 3 : 1157,63 euros

1Essaie par toi-même

Tu déposes 500 euros sur un compte rapportant 8% d'intérêt annuel.

Combien auras-tu après 10 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} avec a1=500a_1 = 500, r=1,08r = 1,08, n=11n = 11 :

Croissance bactérienne

Les bactéries doublent souvent à intervalles réguliers, créant une suite géométrique avec $r = 2$.

Exemple:

Si une culture commence avec 100 bactéries et double chaque heure : - Heure 0 : 100 bactéries - Heure 1 : 200 bactéries - Heure 2 : 400 bactéries - Heure 5 : 100×25=3200100 \times 2^5 = 3200 bactéries

2Essaie par toi-même

Une colonie bactérienne commence avec 50 cellules et triple toutes les 2 heures.

Combien de bactéries y aura-t-il après 8 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve le numéro du terme pour 8 heures, puis utilise la formule :

Dépréciation

Les voitures et équipements perdent de la valeur au fil du temps. Si quelque chose perd un pourcentage fixe chaque année, cela suit une suite géométrique avec $r < 1$.

Exemple:

Une voiture valant 20000 euros se déprécie de 15% chaque année (garde 85%) : - Année 0 : 20000 euros - Année 1 : 17000 euros - Année 2 : 14450 euros - Année 3 : 12282,50 euros

3Essaie par toi-même

Un ordinateur valant 1200 euros perd 20% de sa valeur chaque année.

Quelle est sa valeur après 4 ans ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise r=0,80r = 0,80 (garde 80% chaque année) :

Points clés

  • 1Une suite géométrique multiplie chaque terme par une raison constante rr pour obtenir le suivant
  • 2La formule du terme général est an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
  • 3Trouve la raison en divisant un terme par son précédent : r=anan−1r = \frac{a_n}{a_{n-1}}
  • 4Si ∣r∣>1|r| > 1, la suite croît ; si ∣r∣<1|r| < 1, elle décroît
  • 5Si r<0r < 0, les termes alternent entre positif et négatif
  • 6Les suites géométriques modélisent les intérêts composés, la croissance démographique, la dépréciation et plus

Questions fréquentes

Dans une suite arithmétique, tu AJOUTES le même nombre pour obtenir le terme suivant (raison dd). Dans une suite géométrique, tu MULTIPLIES par le même nombre (raison rr). Exemple : 2,5,8,112, 5, 8, 11 est arithmétique (d=3d = 3) ; 2,6,18,542, 6, 18, 54 est géométrique (r=3r = 3).
Dans une suite arithmétique, tu AJOUTES le même nombre pour obtenir le terme suivant (raison dd). Dans une suite géométrique, tu MULTIPLIES par le même nombre (raison rr). Exemple : 2,5,8,112, 5, 8, 11 est arithmétique (d=3d = 3) ; 2,6,18,542, 6, 18, 54 est géométrique (r=3r = 3).
Oui ! Quand r<0r < 0, les termes alternent entre positif et négatif. Par exemple, 2,−6,18,−54,…2, -6, 18, -54, \ldots a r=−3r = -3.
Si r=1r = 1, chaque terme est identique : a,a,a,a,…a, a, a, a, \ldots (suite constante). Si r=0r = 0, chaque terme après le premier est nul : a,0,0,0,…a, 0, 0, 0, \ldots
Divise les termes consécutifs. Si tous les rapports sont égaux, c'est géométrique. Par exemple, dans 4,12,364, 12, 36 : 124=3\frac{12}{4} = 3 et 3612=3\frac{36}{12} = 3, donc c'est géométrique avec r=3r = 3.

Glossaire

Suite géométrique
Une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une raison constante
Raison (rr)
Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs
Croissance exponentielle
Quand ∣r∣>1|r| > 1, causant une croissance rapide de la suite
Décroissance exponentielle
Quand ∣r∣<1|r| < 1, causant un rétrécissement de la suite vers zéro
Progression géométrique
Autre nom pour une suite géométrique

Carte des formules

Terme général

an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Trouve n'importe quel terme connaissant le premier terme et la raison

Raison

r=anan−1r = \frac{a_n}{a_{n-1}}

Trouve la raison en divisant des termes consécutifs

Formule récursive

an=an−1⋅ra_n = a_{n-1} \cdot r

Chaque terme égale le terme précédent fois $r$

Défi du jourUn problème, trois essais

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