Prolonger la suite

La suite de Fibonacci commence par $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ Calcule $F_{10}$, $F_{11}$ et $F_{12}$.

Repère les deux derniers termes connus: $F_8 = 21$ et $F_9 = 34$ = $F_8 = 21$, $F_9 = 34$

Additionne-les pour obtenir $F_{10}$: $F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21$ = $F_{10} = 55$

Additionne les deux derniers termes pour obtenir $F_{11}$: $F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34$ = $F_{11} = 89$

Recommence une fois pour $F_{12}$: $F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55$ = $F_{12} = 144$

Answer: $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$ et $F_{12} = 144$. Additionne toujours les deux termes les plus récents.

Le problème des lapins de Fibonacci

Au mois 1, un couple de lapins nouveau-nés vit dans un pré. Un couple devient adulte au bout d'un mois, et chaque couple adulte donne naissance à un nouveau couple chaque mois. Aucun lapin ne meurt. Combien y a-t-il de couples au mois 8 ?

Compte les premiers mois: Mois 1 : un couple de bébés. Mois 2 : ce couple est adulte mais n'a pas encore de petits. Mois 3 : il a son premier couple de bébés. = $1, 1, 2$

Trouve la règle: Couples ce mois-ci = couples du mois dernier (aucun ne meurt) + un couple de bébés pour chaque couple qui vivait déjà il y a deux mois (ceux-là sont adultes maintenant) = $R_n = R_{n-1} + R_{n-2}$

Continue jusqu'au mois 8: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ = Mois 8 : $21$ couples

Sépare adultes et bébés: Couples adultes au mois 8 = tous les couples du mois 7 = 13 ; bébés = adultes du mois 7 = tous les couples du mois 6 = 8 = $13 + 8 = 21$

Answer: Au mois 8, il y a $21$ couples : $13$ couples adultes et $8$ couples de bébés. Les nombres de lapins sont exactement les nombres de Fibonacci.

Les rapports tendent vers le nombre d'or

Divise chaque nombre de Fibonacci par le précédent, de $\frac{5}{3}$ à $\frac{34}{21}$. De quel nombre les rapports s'approchent-ils ?

Calcule les deux premiers rapports: $\frac{5}{3} \approx 1{,}667$ et $\frac{8}{5} = 1{,}600$ = $1{,}667$, $1{,}600$

Calcule les deux suivants: $\frac{13}{8} = 1{,}625$ et $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$ = $1{,}625$, $1{,}615$

Encore un rapport: $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$ = $1{,}619$

Compare avec $\varphi$: $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. Les rapports sont tour à tour au-dessus et en dessous de $\varphi$, et l'écart diminue à chaque fois = Les rapports tendent vers $1{,}618$

Answer: Les rapports oscillent au-dessus et en dessous de $\varphi \approx 1{,}618$ et s'en rapprochent à chaque fois. Dès $\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$, ils coïncident avec $\varphi$ à trois décimales près.

Le raccourci pour la somme

Calcule $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21$ sans additionner tous les termes un par un.

Compte les termes: Ce sont les termes $F_1$ à $F_8$ = $n = 8$

Utilise la règle de la somme: $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$, donc la somme vaut $F_{10} - 1$ = Somme $= F_{10} - 1$

Trouve $F_{10}$: $F_9 = 34$, donc $F_{10} = 21 + 34 = 55$ = Somme $= 55 - 1 = 54$

Vérifie en additionnant: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54$ = Confirmé : $54$

Answer: La somme vaut $54$, c'est-à-dire $F_{10} - 1$. La somme des $n$ premiers nombres de Fibonacci est toujours inférieure de un au terme situé deux rangs plus loin.

De nouveaux termes initiaux : les nombres de Lucas

Utilise la même règle (additionner les deux termes précédents) mais commence par $2$ et $1$. Trouve les 10 premiers termes et le rapport du 10e terme au 9e.

Construis les termes 3 à 6: $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 4 = 7$, $4 + 7 = 11$ = $2, 1, 3, 4, 7, 11$

Construis les termes 7 à 10: $7 + 11 = 18$, $11 + 18 = 29$, $18 + 29 = 47$, $29 + 47 = 76$ = $18, 29, 47, 76$

Divise le 10e terme par le 9e: $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$ = $\approx 1{,}617$

Compare avec le rapport de Fibonacci: Fibonacci : $\frac{55}{34} \approx 1{,}618$. Les deux sont proches de $\varphi \approx 1{,}618$ = Même limite $\varphi$

Answer: Les nombres de Lucas sont $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \ldots$ et $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$. Avec deux nombres de départ positifs quelconques, le rapport de deux voisins tend toujours vers $\varphi$.

Mistake: Doubler le dernier terme : $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Why: Doubler donne une suite géométrique. La règle de Fibonacci additionne les DEUX derniers termes, et ils ne sont pas égaux (sauf tout au début).

Correct: Après $2$ vient $1 + 2 = 3$, puis $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Mistake: Se tromper de rang, par exemple dire $F_{10} = 89$

Why: Les deux premiers termes valent tous les deux $1$, on en saute donc facilement un. Certains livres mettent aussi un $0$ au début ($0, 1, 1, 2, \ldots$) ; si on compte ce $0$ comme premier terme, chaque rang est décalé d'une unité.

Correct: Écris les rangs au-dessus des termes : $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_3 = 2$, ..., $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$. Vérifie avec quel départ travaille ton livre.

Mistake: Croire que les rapports montent régulièrement jusqu'à $1{,}618$, ou qu'un rapport vaut exactement $\varphi$

Why: Les rapports sautent au-dessus et en dessous de $\varphi$ : $1{,}6$, $1{,}625$, $1{,}615$, $1{,}619$, ... Chaque rapport est une fraction et $\varphi$ est irrationnel, donc aucun rapport ne lui est jamais égal.

Correct: Dis que les rapports s'approchent de $\varphi$ des deux côtés, aussi près qu'on veut, sans jamais l'atteindre.

Mistake: Croire que toute spirale et tout beau rectangle sont de Fibonacci ou d'or

Why: La coquille du nautile est une spirale, mais son rapport de croissance n'est pas $\varphi$. Beaucoup d'affirmations sur le nombre d'or dans le Parthénon ou la Joconde dépendent de l'endroit où l'on choisit de tracer les lignes.

Correct: Compte ou mesure d'abord. Les nombres de spirales des tournesols et des pommes de pin sont souvent des nombres de Fibonacci, mais pas toujours, et les affirmations sur l'art demandent de vraies mesures.

Les spirales du tournesol

Les graines d'un capitule de tournesol forment deux familles de spirales, l'une dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse. Leurs nombres sont très souvent deux nombres de Fibonacci voisins.

Un tournesol typique montre 34 spirales dans un sens et 55 dans l'autre. Les petits capitules peuvent montrer 21 et 34, les très grands 89 et 144. Certains capitules ne suivent pas le motif, donc compte toujours.

Monter un escalier

Si tu montes un escalier en prenant 1 ou 2 marches à la fois, le nombre de façons différentes d'arriver en haut suit la règle de Fibonacci.

1 marche : 1 façon. 2 marches : 2 façons (1 + 1 ou 2). 3 marches : 3 façons. Pour atteindre la marche $n$, ton dernier pas part de la marche $n - 1$ (pas de 1) ou de la marche $n - 2$ (pas de 2), donc façons($n$) = façons($n - 1$) + façons($n - 2$).

Des miles aux kilomètres

Un mile vaut environ $1{,}609$ km, très proche de $\varphi \approx 1{,}618$. Un nombre de Fibonacci en miles correspond donc à peu près au nombre de Fibonacci suivant en kilomètres.

5 miles $\approx$ 8 km (exactement $8{,}05$ km), 8 miles $\approx$ 13 km (exactement $12{,}87$ km), 13 miles $\approx$ 21 km (exactement $20{,}92$ km).

Q: Pourquoi les rapports tendent-ils vers $1{,}618$ et pas vers un autre nombre ?

A: Si le rapport se stabilise vers un nombre $r$, alors $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ devient $r = 1 + \frac{1}{r}$, donc $r^2 = r + 1$. La solution positive est $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, le nombre d'or. Vérification : $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Q: Existe-t-il une formule pour $F_n$ sans écrire tous les termes ?

A: Oui, c'est la formule de Binet : $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Même si elle contient $\sqrt{5}$, elle donne toujours un nombre entier. Sa démonstration viendra plus tard en algèbre ; pour l'instant, additionner les termes reste la méthode sûre.

Q: La suite commence-t-elle par 0 ou par 1 ?

A: Les deux versions sont courantes. Beaucoup de livres ajoutent $F_0 = 0$ devant : $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$, chaque terme garde son rang ($F_{10} = 55$ dans les deux cas) ; les rangs ne sont décalés que si on appelle ce $0$ le premier terme. Dans cette leçon, $F_1 = F_2 = 1$.

Q: Le nombre d'or se cache-t-il vraiment dans le Parthénon et la Joconde ?

A: Sans doute beaucoup moins qu'on ne le prétend. Si on choisit librement ses lignes, on trouve presque toujours deux longueurs dont le rapport est proche de $1{,}6$, et il y a peu de preuves historiques que ces artistes l'aient voulu. Les spirales des plantes sont bien mieux établies, et même là les nombres ne sont pas toujours des nombres de Fibonacci.