Existe-t-il une formule pour $F_n$ sans écrire tous les termes ?

Oui, c'est la formule de Binet : $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Même si elle contient $\sqrt{5}$, elle donne toujours un nombre entier. Sa démonstration viendra plus tard en algèbre ; pour l'instant, additionner les termes reste la méthode sûre.

La suite commence-t-elle par 0 ou par 1 ?

Les deux versions sont courantes. Beaucoup de livres ajoutent $F_0 = 0$ devant : $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Avec $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$, chaque terme garde son rang ($F_{10} = 55$ dans les deux cas) ; les rangs ne sont décalés que si on appelle ce $0$ le premier terme. Dans cette leçon, $F_1 = F_2 = 1$.

Le nombre d'or se cache-t-il vraiment dans le Parthénon et la Joconde ?

Sans doute beaucoup moins qu'on ne le prétend. Si on choisit librement ses lignes, on trouve presque toujours deux longueurs dont le rapport est proche de $1{,}6$, et il y a peu de preuves historiques que ces artistes l'aient voulu. Les spirales des plantes sont bien mieux établies, et même là les nombres ne sont pas toujours des nombres de Fibonacci.

Ressources enseignants

Suite de Fibonacci

Q: Pourquoi les rapports tendent-ils vers $1{,}618$ et pas vers un autre nombre ?

Si le rapport se stabilise vers un nombre $r$, alors $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ devient $r = 1 + \frac{1}{r}$, donc $r^2 = r + 1$. La solution positive est $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, le nombre d'or. Vérification : $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Découvre la suite de Fibonacci, où chaque terme est la somme des deux précédents, ses motifs cachés et pourquoi le rapport de deux termes voisins s'approche du nombre d'or.

Intermédiaire25 minLeçon

Partager dans Classroom

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La suite de Fibonacci est la liste de nombres

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

dans laquelle chaque terme après les deux premiers est la somme des deux termes précédents :

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, et ainsi de suite.

La relation de récurrence

On note les termes

F_1, F_2, F_3, \ldots

et on écrit :

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ pour } n \geq 3

Tu verras aussi l'écriture

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. C'est une relation de récurrence : pour obtenir un terme, il te faut les termes juste avant. Dans une suite arithmétique, tu ajoutes toujours la même raison

d

, dans une suite géométrique, tu multiplies toujours par la même raison

r

, mais ici la quantité ajoutée ne cesse de grandir.

Les lapins de Fibonacci

En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, a posé un problème de lapins dans son livre *Liber Abaci*. Aujourd'hui, on le raconte en général ainsi : on place un couple de lapins nouveau-nés dans un pré. Un couple devient adulte au bout d'un mois, et à partir de là chaque couple adulte donne naissance à un nouveau couple chaque mois. Aucun lapin ne meurt. En comptant les couples mois après mois, on obtient

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(Chez Fibonacci, le premier couple avait des petits dès le premier mois, donc son décompte commençait par

1, 2, 3, 5, \ldots

, les mêmes nombres. Des savants indiens les avaient déjà trouvés des siècles plus tôt en comptant les rythmes de syllabes longues et brèves en poésie.)

Des motifs cachés

Un terme sur trois est pair : $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , et tous les autres termes sont impairs.
**Somme des $n$ premiers termes** : $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Par exemple $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Rapport de deux voisins : $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se rapproche de plus en plus du nombre d'or

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Essaie tout de suite

Quel nombre vient ensuite ?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Exemples résolus

La suite de Fibonacci commence par

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Calcule

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Repère les deux derniers termes connus

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Additionne-les pour obtenir $F_{10}$

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Additionne les deux derniers termes pour obtenir $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Recommence une fois pour $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Réponse: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ et $F_{12} = 144$ . Additionne toujours les deux termes les plus récents.

Erreurs courantes

Doubler le dernier terme : $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Pourquoi c'est faux: Doubler donne une suite géométrique. La règle de Fibonacci additionne les DEUX derniers termes, et ils ne sont pas égaux (sauf tout au début).

Correct: Après $2$ vient $1 + 2 = 3$ , puis $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Se tromper de rang, par exemple dire $F_{10} = 89$

Pourquoi c'est faux: Les deux premiers termes valent tous les deux $1$ , on en saute donc facilement un. Certains livres mettent aussi un $0$ au début ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ) ; si on compte ce $0$ comme premier terme, chaque rang est décalé d'une unité.

Correct: Écris les rangs au-dessus des termes : $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Vérifie avec quel départ travaille ton livre.

Croire que les rapports montent régulièrement jusqu'à $1{,}618$ , ou qu'un rapport vaut exactement $\varphi$

Pourquoi c'est faux: Les rapports sautent au-dessus et en dessous de $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Chaque rapport est une fraction et $\varphi$ est irrationnel, donc aucun rapport ne lui est jamais égal.

Correct: Dis que les rapports s'approchent de $\varphi$ des deux côtés, aussi près qu'on veut, sans jamais l'atteindre.

Croire que toute spirale et tout beau rectangle sont de Fibonacci ou d'or

Pourquoi c'est faux: La coquille du nautile est une spirale, mais son rapport de croissance n'est pas $\varphi$ . Beaucoup d'affirmations sur le nombre d'or dans le Parthénon ou la Joconde dépendent de l'endroit où l'on choisit de tracer les lignes.

Correct: Compte ou mesure d'abord. Les nombres de spirales des tournesols et des pommes de pin sont souvent des nombres de Fibonacci, mais pas toujours, et les affirmations sur l'art demandent de vraies mesures.

Visuel interactif

Ajoute des carrés de côté 1, 1, 2, 3, 5, 8... et regarde le rapport s'approcher de 1,618

Rectangle : 5 × 8

La suite

11235

2 + 3 = 5

Chaque nouveau terme est la somme des deux termes précédents.

Rapport de voisins : nouveau terme ÷ terme précédent

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ
5 ÷ 3 = 1,66667> φ

Les rapports sautent au-dessus et en dessous de φ = 1,618034 et s'en rapprochent à chaque fois (écart actuel 0,048633).

Les lapins de Fibonacci : les couples mois après mois

Un jeune couple devient adulte en un mois. Chaque couple adulte a un jeune couple chaque mois. Aucun lapin ne part.

Mois	Adultes	Jeunes	Total
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	2
4	2	1	3

couple adultejeune couple

Couples de lapins, mois après mois

1123

1 + 2 = 3

Chaque nouveau terme est la somme des deux termes précédents.

Rapport de voisins : nouveau terme ÷ terme précédent

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ

Les rapports sautent au-dessus et en dessous de φ = 1,618034 et s'en rapprochent à chaque fois (écart actuel 0,118034).

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quel nombre vient ensuite ?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Pourquoi c'est important

La suite de Fibonacci est l'un des motifs les plus célèbres des mathématiques, et elle apparaît à des endroits surprenants :

Plantes : beaucoup de capitules de tournesol montrent 34 spirales dans un sens et 55 dans l'autre, les pommes de pin souvent 8 et 13, les ananas aussi 8 et 13. Placer les graines avec un angle de rotation constant (environ $137{,}5°$ , lié à $\varphi$ ) les répartit régulièrement, presque sans trous, et les nombres de spirales de Fibonacci en découlent.
Dénombrement : le nombre de façons de monter un escalier en montant 1 ou 2 marches à la fois est un nombre de Fibonacci.
Unités : comme $\varphi \approx 1{,}618$ est proche de $1{,}609$ (kilomètres dans un mile), deux nombres de Fibonacci voisins convertissent les miles en kilomètres : 5 miles font environ 8 km, 8 miles environ 13 km.
Pensée récursive : construire chaque étape à partir des précédentes, c'est ainsi que fonctionnent beaucoup de programmes informatiques et de modèles de croissance.

Pour être honnête : toutes les spirales de la nature ne sont pas des spirales de Fibonacci, les comptages sur les plantes ratent parfois d'une unité, et beaucoup d'affirmations sur le nombre d'or dans des tableaux ou des monuments célèbres sont exagérées. Un bon mathématicien vérifie les nombres avant de croire l'histoire.

Applications dans le monde réel

Les spirales du tournesol

Les graines d'un capitule de tournesol forment deux familles de spirales, l'une dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse. Leurs nombres sont très souvent deux nombres de Fibonacci voisins.

Exemple:

Un tournesol typique montre 34 spirales dans un sens et 55 dans l'autre. Les petits capitules peuvent montrer 21 et 34, les très grands 89 et 144. Certains capitules ne suivent pas le motif, donc compte toujours.

1Essaie par toi-même

Un tournesol géant a 55 spirales dans le sens des aiguilles d'une montre. Ses spirales dans le sens inverse suivent le nombre de Fibonacci suivant.

Combien de spirales dans le sens inverse attends-tu ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne 55 et le nombre de Fibonacci juste avant :

Monter un escalier

Si tu montes un escalier en prenant 1 ou 2 marches à la fois, le nombre de façons différentes d'arriver en haut suit la règle de Fibonacci.

Exemple:

1 marche : 1 façon. 2 marches : 2 façons (1 + 1 ou 2). 3 marches : 3 façons. Pour atteindre la marche $n$ , ton dernier pas part de la marche $n - 1$ (pas de 1) ou de la marche $n - 2$ (pas de 2), donc façons( $n$ ) = façons( $n - 1$ ) + façons( $n - 2$ ).

2Essaie par toi-même

Un escalier a 8 marches. Tu montes 1 ou 2 marches à la fois. 1 marche donne 1 façon, 2 marches donnent 2 façons, et chaque nombre suivant est la somme des deux précédents.

De combien de façons différentes peux-tu monter les 8 marches ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les façons pour 6 et 7 marches :

Des miles aux kilomètres

Un mile vaut environ $1{,}609$ km, très proche de $\varphi \approx 1{,}618$. Un nombre de Fibonacci en miles correspond donc à peu près au nombre de Fibonacci suivant en kilomètres.

Exemple:

5 miles $\approx$ 8 km (exactement $8{,}05$ km), 8 miles $\approx$ 13 km (exactement $12{,}87$ km), 13 miles $\approx$ 21 km (exactement $20{,}92$ km).

3Essaie par toi-même

Un parcours à vélo mesure 21 miles. Tu veux une estimation rapide en kilomètres.

Environ combien de kilomètres font 21 miles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le nombre de Fibonacci qui suit 21 :

Points clés

1La suite de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ suit la relation de récurrence $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ avec $F_1 = F_2 = 1$
2Le problème des lapins de Fibonacci (1202) donne exactement ces nombres mois après mois
3Un terme sur trois est pair ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) et tous les autres sont impairs
4La somme des $n$ premiers termes vaut $F_{n+2} - 1$
5Le rapport $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ tend vers le nombre d'or $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , en passant tour à tour au-dessus et en dessous
6D'autres termes initiaux, comme les nombres de Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , donnent la même limite $\varphi$ ; les nombres de Fibonacci sont fréquents chez les plantes, mais pas dans toutes les spirales

Questions fréquentes

Si le rapport se stabilise vers un nombre

r

, alors

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

devient

r = 1 + \frac{1}{r}

, donc

r^2 = r + 1

. La solution positive est

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, le nombre d'or. Vérification :

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Glossaire

Suite de Fibonacci: La suite $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ où chaque terme est la somme des deux termes précédents
Relation de récurrence: Une règle qui calcule chaque terme à partir des termes précédents, par exemple $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Nombre d'or ( $\varphi$ ): Le nombre $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , limite du rapport de deux nombres de Fibonacci voisins
Nombres de Lucas: La suite $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ construite avec la règle de Fibonacci à partir des nombres 2 et 1
Spirale d'or: La spirale formée de quarts de cercle tracés dans des carrés dont les côtés sont des nombres de Fibonacci

Carte des formules

Relation de récurrence

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Chaque terme est la somme des deux précédents

Somme des $n$ premiers termes

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Un de moins que le terme situé deux rangs plus loin

Nombre d'or

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

La limite de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Propriété clé de $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

Élever $\varphi$ au carré revient à lui ajouter 1

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Définition

La relation de récurrence

Les lapins de Fibonacci

Des motifs cachés

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Les spirales du tournesol

Monter un escalier

Des miles aux kilomètres

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Relation de récurrence

Somme des $n$ premiers termes

Nombre d'or

Propriété clé de $\varphi$

Plus sur ce sujet

Introduction aux suites

Suites arithmétiques

Suites géométriques