Identifier une suite géométrique

La suite $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ est-elle géométrique ? Si oui, trouve la raison.

Vérifie le rapport entre les termes consécutifs: $\frac{6}{3} = 2$, $\frac{12}{6} = 2$, $\frac{24}{12} = 2$, $\frac{48}{24} = 2$ = Tous les rapports sont égaux

Confirme la raison constante: Puisque chaque rapport égale $2$, c'est géométrique = Oui, c'est géométrique

Énonce la raison: $r = 2$ = La raison est $2$

Answer: Oui, c'est une suite géométrique de raison $r = 2$. Chaque terme est le double du précédent.

Trouver le terme général

Trouve le 8ème terme de la suite géométrique : $5, 15, 45, 135, \ldots$

Identifie le premier terme: $a_1 = 5$ = Le premier terme est $5$

Trouve la raison: $r = \frac{15}{5} = 3$ = La raison est $3$

Applique la formule du terme général: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ $a_8 = 5 \cdot 3^{8-1}$ $a_8 = 5 \cdot 3^7$ = Formule établie

Calcule: $a_8 = 5 \cdot 2187 = 10935$ = $a_8 = 10935$

Answer: Le 8ème terme est $10935$.

Suite géométrique avec raison fractionnaire

Une balle est lâchée de 256 cm. Chaque rebond atteint $\frac{1}{2}$ de la hauteur précédente. Quelle hauteur atteint-elle après le 5ème rebond ?

Identifie les paramètres de la suite: Hauteur initiale : $a_1 = 256$ cm Raison : $r = \frac{1}{2}$ = Configuration complète

Détermine quel terme nous cherchons: Après le 5ème rebond = 6ème terme (incluant la chute initiale) = Besoin de $a_6$

Applique la formule: $a_6 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}$ $a_6 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$ = Formule établie

Calcule: $a_6 = 256 \cdot \frac{1}{32} = 8$ cm = $a_6 = 8$ cm

Answer: Après le 5ème rebond, la balle atteint une hauteur de $8$ cm.

Trouver la raison à partir de deux termes

Dans une suite géométrique, $a_3 = 24$ et $a_6 = 192$. Trouve la raison et le premier terme.

Écris les équations avec la formule du terme général: $a_3 = a_1 \cdot r^2 = 24$ $a_6 = a_1 \cdot r^5 = 192$ = Deux équations

Divise les équations pour éliminer $a_1$: $\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2} = \frac{192}{24}$ $r^3 = 8$ = $r^3 = 8$

Résous pour r: $r = \sqrt[3]{8} = 2$ = $r = 2$

Trouve $a_1$ en utilisant $a_3 = 24$: $a_1 \cdot 2^2 = 24$ $a_1 \cdot 4 = 24$ $a_1 = 6$ = $a_1 = 6$

Answer: La raison est $r = 2$ et le premier terme est $a_1 = 6$. La suite est $6, 12, 24, 48, 96, 192, \ldots$

Mistake: Confusion sur l'exposant : utiliser $r^n$ au lieu de $r^{n-1}$

Why: Le premier terme a l'exposant 0 : $a_1 = a_1 \cdot r^0$. Donc le nième terme a l'exposant $n-1$.

Correct: Utilise toujours $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Pour le 5ème terme, l'exposant est $5-1=4$.

Mistake: Penser qu'une raison négative signifie que ce n'est pas géométrique

Why: Les suites géométriques peuvent avoir des raisons négatives ! Les signes alternent alors.

Correct: Exemple : $2, -6, 18, -54, \ldots$ est géométrique avec $r = -3$.

Mistake: Additionner au lieu de multiplier pour trouver le terme suivant

Why: C'est la différence entre les suites arithmétiques (addition) et géométriques (multiplication).

Correct: Dans les suites géométriques, MULTIPLIE toujours par $r$ : si $a_3 = 12$ et $r = 2$, alors $a_4 = 12 \times 2 = 24$, PAS $12 + 2 = 14$.

Mistake: Oublier que $r$ peut être une fraction (causant une décroissance)

Why: Quand $0 < r < 1$, chaque terme devient plus petit. Cela modélise la décroissance, pas la croissance.

Correct: Exemple : $100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ a $r = 0{,}5$ (chaque terme est la moitié du précédent).

Intérêts composés

Quand l'argent rapporte des intérêts composés, le solde forme une suite géométrique où la raison est $(1 + \text{taux d'intérêt})$.

Tu investis 1000 euros à 5% d'intérêt annuel. Chaque année, ton solde est multiplié par $1,05$ : - Année 0 : 1000 euros - Année 1 : 1050 euros - Année 2 : 1102,50 euros - Année 3 : 1157,63 euros

Croissance bactérienne

Les bactéries doublent souvent à intervalles réguliers, créant une suite géométrique avec $r = 2$.

Si une culture commence avec 100 bactéries et double chaque heure : - Heure 0 : 100 bactéries - Heure 1 : 200 bactéries - Heure 2 : 400 bactéries - Heure 5 : $100 \times 2^5 = 3200$ bactéries

Dépréciation

Les voitures et équipements perdent de la valeur au fil du temps. Si quelque chose perd un pourcentage fixe chaque année, cela suit une suite géométrique avec $r < 1$.

Une voiture valant 20000 euros se déprécie de 15% chaque année (garde 85%) : - Année 0 : 20000 euros - Année 1 : 17000 euros - Année 2 : 14450 euros - Année 3 : 12282,50 euros

Q: Quelle est la différence entre suites arithmétiques et géométriques ?

A: Dans une suite arithmétique, tu AJOUTES le même nombre pour obtenir le terme suivant (raison $d$). Dans une suite géométrique, tu MULTIPLIES par le même nombre (raison $r$). Exemple : $2, 5, 8, 11$ est arithmétique ($d = 3$) ; $2, 6, 18, 54$ est géométrique ($r = 3$).

Q: La raison peut-elle être négative ?

A: Oui ! Quand $r < 0$, les termes alternent entre positif et négatif. Par exemple, $2, -6, 18, -54, \ldots$ a $r = -3$.

Q: Que se passe-t-il quand $r = 1$ ou $r = 0$ ?

A: Si $r = 1$, chaque terme est identique : $a, a, a, a, \ldots$ (suite constante). Si $r = 0$, chaque terme après le premier est nul : $a, 0, 0, 0, \ldots$

Q: Comment savoir si une suite est géométrique ?

A: Divise les termes consécutifs. Si tous les rapports sont égaux, c'est géométrique. Par exemple, dans $4, 12, 36$ : $\frac{12}{4} = 3$ et $\frac{36}{12} = 3$, donc c'est géométrique avec $r = 3$.