Tirer des cartes sans remise

Un jeu standard a 52 cartes. Tu tires 2 cartes sans remise. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des coeurs ?

Trouve P(premier coeur): Il y a 13 coeurs sur 52 cartes = $P(C_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Trouve P(deuxième coeur | le premier était coeur): Après avoir tiré 1 coeur : 12 coeurs restent, 51 cartes au total = $P(C_2 | C_1) = \frac{12}{51}$

Multiplie les probabilités: $P(C_1 \text{ et } C_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51}$ = $= \frac{156}{2652}$

Simplifie: $\frac{156}{2652} = \frac{1}{17}$ = $\approx 0{,}059$ soit environ $5{,}9\%$

Answer: La probabilité de tirer 2 coeurs de suite est $\frac{1}{17}$ soit environ $5{,}9\%$

Sélection dans un groupe

Un sac contient 6 billes rouges et 4 billes bleues. Tu tires 2 billes sans remise. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge d'abord, puis une bille bleue ?

Trouve P(rouge d'abord): 6 billes rouges sur 10 au total = $P(R) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Trouve P(bleue ensuite | rouge d'abord): Après avoir retiré 1 rouge : 4 bleues sur 9 restantes = $P(B | R) = \frac{4}{9}$

Multiplie les probabilités: $P(R \text{ puis } B) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9}$ = $= \frac{12}{45}$

Simplifie: $\frac{12}{45} = \frac{4}{15}$ = $\approx 0{,}267$ soit environ $26{,}7\%$

Answer: La probabilité est $\frac{4}{15}$ soit environ $26{,}7\%$

Trois événements dépendants

Un bocal contient 5 bonbons rouges, 3 verts et 2 jaunes. Tu prends 3 bonbons sans remise. Quelle est la probabilité de prendre rouge, puis vert, puis jaune ?

Trouve P(rouge d'abord): 5 rouges sur 10 au total = $P(R) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Trouve P(vert ensuite | rouge d'abord): 3 verts sur 9 restants = $P(V | R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Trouve P(jaune troisième | rouge puis vert): 2 jaunes sur 8 restants = $P(J | R,V) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Multiplie toutes les probabilités: $P(R,V,J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ = $= \frac{1}{24} \approx 4{,}2\%$

Answer: La probabilité est $\frac{1}{24}$ soit environ $4{,}2\%$

Mistake: Utiliser le même dénominateur pour les deux événements

Why: Lors d'un tirage sans remise, le nombre total d'éléments diminue. Utiliser 52 pour les deux tirages de cartes ignore ce changement.

Correct: Après le premier tirage, réduire le dénominateur. Deuxième tirage sur 51 cartes, troisième tirage sur 50 cartes, etc.

Mistake: Oublier d'ajuster le numérateur

Why: Si tu tires un coeur d'abord, il ne reste que 12 coeurs, pas 13. Le premier événement change ce qui reste.

Correct: Lors du tirage de la même catégorie, réduire le numérateur ET le dénominateur. Pour une catégorie différente, réduire seulement le dénominateur.

Mistake: Traiter les événements dépendants comme indépendants

Why: Utiliser $P(A) \times P(B)$ au lieu de $P(A) \times P(B|A)$ donne des réponses fausses pour les événements dépendants.

Correct: Demande-toi toujours : Le premier événement change-t-il ce qui est disponible pour le second ? Si oui, les événements sont dépendants.

Contrôle qualité

Les usines testent des échantillons de produits. Chaque article testé est retiré du lot, rendant les sélections suivantes dépendantes.

Une boîte a 100 ampoules, 5 défectueuses. Test de 3 sans remise : $P(\text{toutes bonnes}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}$

Stratégies de jeux de cartes

Les joueurs de cartes professionnels suivent les cartes jouées pour calculer les probabilités restantes.

Au blackjack, si 3 as ont été distribués d'un seul paquet, la probabilité que la prochaine carte soit un as est $\frac{1}{49}$, pas $\frac{4}{52}$.

Sélection de membres de comité

Lors de la sélection de personnes pour des comités, chaque sélection réduit le groupe pour les choix suivants.

Parmi 8 hommes et 6 femmes, sélectionner 2 personnes : $P(\text{les deux femmes}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}$

Q: Comment savoir si les événements sont dépendants ou indépendants ?

A: Demande-toi : Le premier événement change-t-il ce qui est possible pour le second ? Tirer des cartes sans remise est dépendant (le paquet diminue). Lancer deux dés est indépendant (le premier lancer n'affecte pas le second).

Q: Que signifie 'sans remise' ?

A: Cela signifie que tu ne remets pas l'élément après l'avoir sélectionné. Cela change les probabilités des sélections suivantes car le nombre total et possiblement le nombre d'éléments désirés diminuent.

Q: Les événements peuvent-ils être dépendants même avec remise ?

A: Oui ! Si le résultat d'un événement te donne des informations qui changent la probabilité d'un autre, ils sont dépendants. Par exemple, savoir qu'il a plu aujourd'hui affecte la probabilité qu'il pleuve demain.