Événements dépendants

Apprends comment un événement affecte la probabilité d'un autre lorsque les résultats sont liés.

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Définition

Les événements dépendants sont des événements où le résultat de l'un affecte la probabilité de l'autre.
Lorsque les événements sont dépendants :
  • Le premier événement modifie l'espace échantillonnal pour le second événement
  • Nous utilisons la formule : P(A et B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B | A)
La notation P(B∣A)P(B | A) signifie "la probabilité de B sachant que A s'est produit."
Différence clé avec les événements indépendants :
  • Indépendants : P(A et B)=P(A)×P(B)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)
  • Dépendants : P(A et B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B | A)

Essaie tout de suite

Quel scénario décrit des événements dépendants ?

Exemples résolus

Un jeu standard a 52 cartes. Tu tires 2 cartes sans remise. Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des coeurs ?
1

Trouve P(premier coeur)

Il y a 13 coeurs sur 52 cartes → P(C1)=1352=14P(C_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}
2

Trouve P(deuxième coeur | le premier était coeur)

Après avoir tiré 1 coeur : 12 coeurs restent, 51 cartes au total → P(C2∣C1)=1251P(C_2 | C_1) = \frac{12}{51}
3

Multiplie les probabilités

P(C1 et C2)=1352×1251P(C_1 \text{ et } C_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} → =1562652= \frac{156}{2652}
4

Simplifie

1562652=117\frac{156}{2652} = \frac{1}{17} → ≈0,059\approx 0{,}059 soit environ 5,9%5{,}9\%

Erreurs courantes

Utiliser le même dénominateur pour les deux événements

Pourquoi c'est faux: Lors d'un tirage sans remise, le nombre total d'éléments diminue. Utiliser 52 pour les deux tirages de cartes ignore ce changement.

Correct: Après le premier tirage, réduire le dénominateur. Deuxième tirage sur 51 cartes, troisième tirage sur 50 cartes, etc.

Oublier d'ajuster le numérateur

Pourquoi c'est faux: Si tu tires un coeur d'abord, il ne reste que 12 coeurs, pas 13. Le premier événement change ce qui reste.

Correct: Lors du tirage de la même catégorie, réduire le numérateur ET le dénominateur. Pour une catégorie différente, réduire seulement le dénominateur.

Traiter les événements dépendants comme indépendants

Pourquoi c'est faux: Utiliser P(A)×P(B)P(A) \times P(B) au lieu de P(A)×P(B∣A)P(A) \times P(B|A) donne des réponses fausses pour les événements dépendants.

Correct: Demande-toi toujours : Le premier événement change-t-il ce qui est disponible pour le second ? Si oui, les événements sont dépendants.

Visuel interactif

6 rouges, 4 bleues : deux tirages sans remise

1er tirage2e tirage6/105/94/94/106/93/9RougeRougeBleueBleueRougeBleue(Rouge, Rouge)30/90(Rouge, Bleue)24/90(Bleue, Rouge)24/90(Bleue, Bleue)12/90

Multiplie les possibilités à chaque étape : 2 × 2 = 4 (4 issues)

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

Touche une issue à droite pour suivre son chemin.

Tirage de carte

Clique sur le bouton pour effectuer des essais et voir la probabilité en action !

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quel scénario décrit des événements dépendants ?

Pourquoi c'est important

Les événements dépendants apparaissent constamment dans des scénarios réels :
  • Jeux de cartes : Tirer des cartes sans remise change la composition du paquet
  • Contrôle qualité : Tester des articles d'un lot affecte ce qui reste
  • Prévisions météo : Le temps d'aujourd'hui affecte la probabilité de demain
  • Tests médicaux : Les résultats de tests précédents influencent les diagnostics suivants
  • Sports : La fatigue d'un joueur affecte la probabilité de performance dans les matchs suivants
Comprendre les événements dépendants évite des erreurs coûteuses dans les calculs de probabilité !

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité

Les usines testent des échantillons de produits. Chaque article testé est retiré du lot, rendant les sélections suivantes dépendantes.

Exemple:

Une boîte a 100 ampoules, 5 défectueuses. Test de 3 sans remise : P(toutes bonnes)=95100×9499×9398P(\text{toutes bonnes}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}

1Essaie par toi-même

Un lot de 20 téléphones a 2 défectueux. Tu testes 2 téléphones sans remise.

Quelle est la probabilité que les deux téléphones testés ne soient PAS défectueux ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 1820×??\frac{18}{20} \times \frac{?}{?}

Stratégies de jeux de cartes

Les joueurs de cartes professionnels suivent les cartes jouées pour calculer les probabilités restantes.

Exemple:

Au blackjack, si 3 as ont été distribués d'un seul paquet, la probabilité que la prochaine carte soit un as est 149\frac{1}{49}, pas 452\frac{4}{52}.

2Essaie par toi-même

D'un jeu standard, 10 cartes ont été distribuées. Tu as vu 3 piques parmi elles.

Quelle est la probabilité que la prochaine carte soit un pique ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Piques restants / Cartes restantes = ?

Sélection de membres de comité

Lors de la sélection de personnes pour des comités, chaque sélection réduit le groupe pour les choix suivants.

Exemple:

Parmi 8 hommes et 6 femmes, sélectionner 2 personnes : P(les deux femmes)=614×513P(\text{les deux femmes}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}

3Essaie par toi-même

Un club a 10 membres : 4 seniors et 6 juniors. Deux responsables sont choisis au hasard.

Quelle est la probabilité que les deux responsables soient des seniors ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule la probabilité dépendante :

Points clés

  • 1Les événements dépendants sont des événements où l'un affecte la probabilité de l'autre
  • 2Utilise la formule : P(A et B)=P(A)×P(B∣A)P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B | A)
  • 3Sans remise signifie que l'espace échantillonnal diminue après chaque événement
  • 4Ajuste toujours le numérateur (éléments d'intérêt) et le dénominateur (éléments totaux) après chaque événement
  • 5Demande-toi : Le premier résultat change-t-il ce qui est possible pour le second ? Si oui, les événements sont dépendants

Questions fréquentes

Demande-toi : Le premier événement change-t-il ce qui est possible pour le second ? Tirer des cartes sans remise est dépendant (le paquet diminue). Lancer deux dés est indépendant (le premier lancer n'affecte pas le second).
Demande-toi : Le premier événement change-t-il ce qui est possible pour le second ? Tirer des cartes sans remise est dépendant (le paquet diminue). Lancer deux dés est indépendant (le premier lancer n'affecte pas le second).
Cela signifie que tu ne remets pas l'élément après l'avoir sélectionné. Cela change les probabilités des sélections suivantes car le nombre total et possiblement le nombre d'éléments désirés diminuent.
Oui ! Si le résultat d'un événement te donne des informations qui changent la probabilité d'un autre, ils sont dépendants. Par exemple, savoir qu'il a plu aujourd'hui affecte la probabilité qu'il pleuve demain.

Glossaire

Événements dépendants
Événements où le résultat de l'un affecte la probabilité de l'autre
Événements indépendants
Événements où le résultat de l'un n'a aucun effet sur la probabilité de l'autre
Probabilité conditionnelle
La probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est produit, notée P(B∣A)P(B|A)
Sans remise
Sélectionner des éléments sans les remettre dans l'ensemble original
Espace échantillonnal
L'ensemble de tous les résultats possibles
Défi du jourUn problème, trois essais

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