Choisir des membres d'équipe

Un club a 5 membres. De combien de façons peut-on choisir un comité de 2 personnes ?

Identifier n et r: $n = 5$ (membres au total), $r = 2$ (à choisir) = $n = 5$, $r = 2$

Appliquer la formule des combinaisons: $C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!}$ = Formule établie

Calculer les factorielles: $\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2}$ = $\frac{20}{2}$

Simplifier: $\frac{20}{2} = 10$ = $10$ façons

Answer: Il y a 10 comités de 2 personnes différents possibles.

Garnitures de pizza

Une pizzeria propose 8 garnitures. Combien de pizzas différentes à 3 garnitures peut-on faire ?

Identifier n et r: $n = 8$ (garnitures au total), $r = 3$ (à choisir) = $n = 8$, $r = 3$

Appliquer la formule: $C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \times 5!}$ = Formule établie

Simplifier les factorielles: $\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$ = $\frac{336}{6}$

Calculer: $336 \div 6 = 56$ = $56$ pizzas

Answer: Tu peux créer 56 pizzas différentes à 3 garnitures.

Tirage de loterie

À la loterie, 6 numéros sont tirés parmi 49. Combien de résultats possibles y a-t-il ?

Identifier n et r: $n = 49$ (numéros au total), $r = 6$ (tirés) = $n = 49$, $r = 6$

Établir la formule: $C(49,6) = \frac{49!}{6! \times 43!}$ = Formule prête

Développer le numérateur: $\frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6!}$ = $\frac{10\,068\,347\,520}{720}$

Calculer: $10\,068\,347\,520 \div 720 = 13\,983\,816$ = $13\,983\,816$ résultats

Answer: Il y a 13 983 816 résultats de loterie possibles, c'est pourquoi gagner est si rare !

Mistake: Confondre combinaisons et permutations

Why: Les permutations comptent les arrangements (l'ordre compte), les combinaisons comptent les sélections (l'ordre ne compte pas). $P(5,2) = 20$ mais $C(5,2) = 10$.

Correct: Demande-toi : 'Réarranger change-t-il le résultat ?' Pour choisir un comité, {A,B} = {B,A}, donc utilise les combinaisons.

Mistake: Oublier de diviser par $r!$ dans la formule

Why: La division par $r!$ élimine les ordres en double de la même sélection.

Correct: Utilise toujours la formule complète : $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Mistake: Calculer incorrectement les factorielles

Why: Les grandes factorielles peuvent être accablantes. Rappelle-toi que la plupart des termes se simplifient.

Correct: Simplifie avant de multiplier : $\frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$

Sélection d'équipe sportive

Les entraîneurs utilisent les combinaisons pour comprendre combien de compositions différentes sont possibles.

Un entraîneur de basket choisissant 5 titulaires parmi 12 joueurs : $C(12,5) = 792$ compositions possibles.

Jeux de cartes

Les combinaisons calculent le nombre de mains possibles dans les jeux de cartes.

Une main de poker de 5 cartes parmi 52 : $C(52,5) = 2\,598\,960$ mains possibles.

Planification de menus

Les restaurants utilisent les combinaisons pour calculer les options de repas et les formules.

Choisir 3 entrées parmi 10 options : $C(10,3) = 120$ sélections différentes.

Q: Quand utiliser combinaisons vs permutations ?

A: Utilise les combinaisons quand l'ordre n'a pas d'importance (sélectionner un comité, choisir des garnitures). Utilise les permutations quand l'ordre compte (attribuer des positions, ranger une composition dans l'ordre).

Q: Pourquoi $C(n,r) = C(n, n-r)$ ?

A: Choisir $r$ éléments à inclure revient à choisir $n-r$ éléments à exclure. Par exemple, $C(5,2) = C(5,3) = 10$.

Q: Que signifie le '!' dans la formule ?

A: Le point d'exclamation signifie factorielle. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Il compte tous les arrangements possibles d'un ensemble.