Introduction aux combinaisons

Apprends à compter les sélections où l'ordre n'a pas d'importance en utilisant la formule des combinaisons.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une combinaison est une sélection d'éléments où l'ordre n'a pas d'importance.
Si tu choisis rr éléments parmi un groupe de nn éléments, le nombre de combinaisons est :
C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Différence clé avec les permutations :
  • Permutation : L'ordre compte (arrangement)
  • Combinaison : L'ordre ne compte pas (sélection)
Exemple : Choisir 2 personnes parmi Alice, Bob et Claire :
  • {Alice, Bob} est identique à {Bob, Alice}
  • Il n'y a que 3 combinaisons : {A,B}, {A,C}, {B,C}

Essaie tout de suite

Quelle formule représente le nombre de combinaisons en choisissant rr éléments parmi nn éléments ?

Exemples résolus

Un club a 5 membres. De combien de façons peut-on choisir un comité de 2 personnes ?
1

Identifier n et r

n=5n = 5 (membres au total), r=2r = 2 (à choisir) → n=5n = 5, r=2r = 2
2

Appliquer la formule des combinaisons

C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!×3!C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!} → Formule établie
3

Calculer les factorielles

5×4×3!2×1×3!=5×42\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} → 202\frac{20}{2}
4

Simplifier

202=10\frac{20}{2} = 10 → 1010 façons

Erreurs courantes

Confondre combinaisons et permutations

Pourquoi c'est faux: Les permutations comptent les arrangements (l'ordre compte), les combinaisons comptent les sélections (l'ordre ne compte pas). P(5,2)=20P(5,2) = 20 mais C(5,2)=10C(5,2) = 10.

Correct: Demande-toi : 'Réarranger change-t-il le résultat ?' Pour choisir un comité, {A,B} = {B,A}, donc utilise les combinaisons.

Oublier de diviser par r!r! dans la formule

Pourquoi c'est faux: La division par r!r! élimine les ordres en double de la même sélection.

Correct: Utilise toujours la formule complète : C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Calculer incorrectement les factorielles

Pourquoi c'est faux: Les grandes factorielles peuvent être accablantes. Rappelle-toi que la plupart des termes se simplifient.

Correct: Simplifie avant de multiplier : 7!5!×2!=7×62=21\frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21

Visuel interactif

Choisir un groupe

Choisis 2 parmi 5 : A, B, C, D, E

10 groupes

P(5, 2) = 5 × 4 = 20

C(5, 2) = P(5, 2) / 2! = 20 / 2 = 10

Chaque groupe de 2 peut être ordonné de 2! = 2 façons : on divise donc le nombre de listes ordonnées par 2!. Touche un groupe pour voir ses ordres.

Triangle de Pascal

n=011n=1112n=21214n=313318n=41464116n=51510105132n=6161520156164n=7172135352171128n=818285670562881256

C(8, 3) = 56 = 21 + 35

Ligne 8: 1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2⁸

Touche un nombre : c'est la somme des deux nombres au-dessus, et il vaut C(n, k).

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle formule représente le nombre de combinaisons en choisissant rr éléments parmi nn éléments ?

Pourquoi c'est important

Les combinaisons sont essentielles pour comprendre les probabilités et prendre des décisions dans la vie réelle :
  • Loterie : Combien de façons de tirer 6 numéros parmi 49 ?
  • Sélection d'équipe : Combien de façons de choisir 5 joueurs parmi 12 pour l'équipe titulaire ?
  • Planification de menus : Combien de menus 3 plats parmi 10 plats ?
  • Science : Combien de façons de sélectionner des échantillons pour des expériences ?
Comprendre les combinaisons t'aide à calculer les probabilités et à faire des choix éclairés !

Applications dans le monde réel

Sélection d'équipe sportive

Les entraîneurs utilisent les combinaisons pour comprendre combien de compositions différentes sont possibles.

Exemple:

Un entraîneur de basket choisissant 5 titulaires parmi 12 joueurs : C(12,5)=792C(12,5) = 792 compositions possibles.

1Essaie par toi-même

Un entraîneur de football a 18 joueurs et doit en choisir 11 pour la composition de départ.

Combien de compositions de départ différentes sont possibles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise C(18,11)C(18, 11) :

Jeux de cartes

Les combinaisons calculent le nombre de mains possibles dans les jeux de cartes.

Exemple:

Une main de poker de 5 cartes parmi 52 : C(52,5)=2 598 960C(52,5) = 2\,598\,960 mains possibles.

2Essaie par toi-même

Combien de mains différentes de 7 cartes sont possibles dans un jeu ?

Calcule C(52,7)C(52,7).

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis la formule :

Planification de menus

Les restaurants utilisent les combinaisons pour calculer les options de repas et les formules.

Exemple:

Choisir 3 entrées parmi 10 options : C(10,3)=120C(10,3) = 120 sélections différentes.

3Essaie par toi-même

Une entreprise de traiteur propose 15 plats différents. Un client veut en sélectionner 4 pour son événement.

Combien de sélections différentes de 4 plats sont possibles ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule C(15,4)C(15, 4) :

Points clés

  • 1Les combinaisons comptent les sélections où l'ordre n'a pas d'importance
  • 2Formule : C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}, lu 'n parmi r'
  • 3Différence clé : Permutations = arrangements (ordre compte), Combinaisons = sélections (ordre ne compte pas)
  • 4C(n,r)=C(n,n−r)C(n,r) = C(n, n-r) : Choisir ce qu'on inclut équivaut à choisir ce qu'on exclut

Questions fréquentes

Utilise les combinaisons quand l'ordre n'a pas d'importance (sélectionner un comité, choisir des garnitures). Utilise les permutations quand l'ordre compte (attribuer des positions, ranger une composition dans l'ordre).
Utilise les combinaisons quand l'ordre n'a pas d'importance (sélectionner un comité, choisir des garnitures). Utilise les permutations quand l'ordre compte (attribuer des positions, ranger une composition dans l'ordre).
Choisir rr éléments à inclure revient à choisir n−rn-r éléments à exclure. Par exemple, C(5,2)=C(5,3)=10C(5,2) = C(5,3) = 10.
Le point d'exclamation signifie factorielle. 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. Il compte tous les arrangements possibles d'un ensemble.

Glossaire

Combinaison
Une sélection d'éléments où l'ordre n'a pas d'importance
Factorielle
Le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n, écrit n!n!
Coefficient binomial
Autre nom pour C(n,r)C(n,r), écrit (nr)\binom{n}{r}
n parmi r
Façon courante de lire C(n,r)C(n,r), signifiant 'le nombre de façons de choisir r parmi n'

Carte des formules

Formule des combinaisons

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

n = éléments totaux, r = éléments choisis. Symétrie : $C(n,r) = C(n, n-r)$. Cas spéciaux : $C(n,0) = C(n,n) = 1$

Défi du jourUn problème, trois essais

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