Lancer d'une pièce équilibrée

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 faces en 5 lancers de pièce ?

Identifier les paramètres: $n = 5$ lancers, $k = 3$ faces, $p = 0,5$ (pièce équilibrée) = $n=5$, $k=3$, $p=0,5$

Calculer la combinaison: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$ = $\binom{5}{3} = 10$

Calculer $p^k$: $(0,5)^3 = 0,125$ = $p^3 = 0,125$

Calculer $(1-p)^{n-k}$: $(0,5)^{5-3} = (0,5)^2 = 0,25$ = $(1-p)^2 = 0,25$

Multiplier toutes les parties: $P(X=3) = 10 \times 0,125 \times 0,25 = 0,3125$ = $P = 0,3125$

Answer: La probabilité d'obtenir exactement 3 faces en 5 lancers est $0,3125$ ou $31,25\%$

Test à choix multiples

Un test à choix multiples a 10 questions avec 4 options chacune. Si tu réponds au hasard, quelle est la probabilité d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?

Identifier les paramètres: $n = 10$ questions, $k = 4$ correctes, $p = \frac{1}{4} = 0,25$ = $n=10$, $k=4$, $p=0,25$

Calculer la combinaison: $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ = $\binom{10}{4} = 210$

Calculer $p^k$: $(0,25)^4 = 0,00390625$ = $p^4 \approx 0,0039$

Calculer $(1-p)^{n-k}$: $(0,75)^6 \approx 0,1780$ = $(1-p)^6 \approx 0,178$

Multiplier toutes les parties: $P(X=4) = 210 \times 0,0039 \times 0,178 \approx 0,146$ = $P \approx 0,146$

Answer: La probabilité de deviner exactement 4 bonnes réponses est environ $0,146$ ou $14,6\%$

Contrôle qualité

Une usine a un taux de défaut de 2%. Quelle est la probabilité de trouver exactement 1 article défectueux dans un lot de 20 ?

Identifier les paramètres: $n = 20$ articles, $k = 1$ défaut, $p = 0,02$ (taux de défaut) = $n=20$, $k=1$, $p=0,02$

Calculer la combinaison: $\binom{20}{1} = 20$ = $\binom{20}{1} = 20$

Calculer $p^k$: $(0,02)^1 = 0,02$ = $p^1 = 0,02$

Calculer $(1-p)^{n-k}$: $(0,98)^{19} \approx 0,6812$ = $(1-p)^{19} \approx 0,6812$

Multiplier toutes les parties: $P(X=1) = 20 \times 0,02 \times 0,6812 \approx 0,272$ = $P \approx 0,272$

Answer: La probabilité de trouver exactement 1 article défectueux est environ $0,272$ ou $27,2\%$

Mistake: Oublier d'inclure le coefficient de combinaison $\binom{n}{k}$

Why: La combinaison compte toutes les différentes façons d'arranger les succès parmi les essais. Sans elle, tu ne calcules qu'un arrangement spécifique.

Correct: Commence toujours par la combinaison : $P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$

Mistake: Utiliser $p^n$ au lieu de $p^k$

Why: L'exposant $k$ représente le nombre de succès, pas le nombre total d'essais.

Correct: La probabilité de succès est élevée à la puissance des succès : $p^k$, et la probabilité d'échec à la puissance des échecs : $(1-p)^{n-k}$

Mistake: Appliquer la formule binomiale quand les essais ne sont pas indépendants

Why: La probabilité binomiale exige que le résultat d'un essai n'affecte pas les autres. Tirer des cartes sans remise, par exemple, change les probabilités.

Correct: Vérifie l'indépendance : Connaître un résultat change-t-il la probabilité d'un autre ? Si oui, la loi binomiale ne s'applique pas.

Essais médicaux

Les chercheurs utilisent la probabilité binomiale pour évaluer l'efficacité des traitements.

Si un médicament a un taux de réussite de 70%, nous pouvons calculer la probabilité qu'exactement 8 patients sur 10 répondent positivement.

Analyse sportive

Les entraîneurs utilisent la probabilité binomiale pour prédire les résultats des matchs et les performances des joueurs.

Un basketteur a un taux de réussite aux lancers francs de 75%. La probabilité binomiale aide à calculer la chance de réussir 9 lancers sur 10.

Q: Quand dois-je utiliser la probabilité binomiale plutôt que d'autres méthodes ?

A: Utilise la probabilité binomiale quand tu as : (1) un nombre fixe d'essais, (2) exactement deux résultats par essai, (3) une probabilité de succès constante, et (4) des essais indépendants. Si une condition n'est pas remplie, tu as besoin d'une autre approche.

Q: Que représente la combinaison $\binom{n}{k}$ dans la formule ?

A: Elle compte de combien de façons différentes tu peux arranger $k$ succès parmi $n$ essais. Par exemple, obtenir 2 faces en 3 lancers peut arriver comme FFP, FPF ou PFF - c'est $\binom{3}{2} = 3$ façons.

Q: Et si je veux la probabilité d'avoir 'au moins' ou 'au plus' k succès ?

A: Pour 'au moins $k$', additionne $P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n)$. Pour 'au plus $k$', additionne $P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)$. Parfois il est plus simple d'utiliser le complémentaire.