Probabilité binomiale

Apprends à calculer des probabilités quand une expérience a exactement deux résultats et est répétée plusieurs fois.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La probabilité binomiale décrit la chance d'obtenir exactement kk succès en nn essais indépendants, où chaque essai a seulement deux résultats (succès ou échec) avec la même probabilité.
La formule de probabilité binomiale est :
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Où :
  • nn = nombre total d'essais
  • kk = nombre de succès souhaités
  • pp = probabilité de succès à chaque essai
  • (nk)\binom{n}{k} = nombre de façons de choisir kk succès parmi nn essais (combinaisons)
La formule des combinaisons est :
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Essaie tout de suite

Laquelle des propositions suivantes est une condition pour une expérience binomiale ?

Exemples résolus

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 faces en 5 lancers de pièce ?
1

Identifier les paramètres

n=5n = 5 lancers, k=3k = 3 faces, p=0,5p = 0{,}5 (pièce équilibrée) → n=5n=5, k=3k=3, p=0,5p=0{,}5
2

Calculer la combinaison

(53)=5!3!⋅2!=1206⋅2=10\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 → (53)=10\binom{5}{3} = 10
3

Calculer pkp^k

(0,5)3=0,125(0{,}5)^3 = 0{,}125 → p3=0,125p^3 = 0{,}125
4

Calculer (1−p)n−k(1-p)^{n-k}

(0,5)5−3=(0,5)2=0,25(0{,}5)^{5-3} = (0{,}5)^2 = 0{,}25 → (1−p)2=0,25(1-p)^2 = 0{,}25
5

Multiplier toutes les parties

P(X=3)=10×0,125×0,25=0,3125P(X=3) = 10 \times 0{,}125 \times 0{,}25 = 0{,}3125 → P=0,3125P = 0{,}3125

Erreurs courantes

Oublier d'inclure le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}

Pourquoi c'est faux: La combinaison compte toutes les différentes façons d'arranger les succès parmi les essais. Sans elle, tu ne calcules qu'un arrangement spécifique.

Correct: Commence toujours par la combinaison : P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}

Utiliser pnp^n au lieu de pkp^k

Pourquoi c'est faux: L'exposant kk représente le nombre de succès, pas le nombre total d'essais.

Correct: La probabilité de succès est élevée à la puissance des succès : pkp^k, et la probabilité d'échec à la puissance des échecs : (1−p)n−k(1-p)^{n-k}

Appliquer la formule binomiale quand les essais ne sont pas indépendants

Pourquoi c'est faux: La probabilité binomiale exige que le résultat d'un essai n'affecte pas les autres. Tirer des cartes sans remise, par exemple, change les probabilités.

Correct: Vérifie l'indépendance : connaître un résultat change-t-il la probabilité d'un autre ? Si oui, la loi binomiale ne s'applique pas.

Visuel interactif

Diagramme à barres

5 lancers : P(exactement k fois face)

0(0,03)
1(0,16)
2(0,31)
3(0,31)
4(0,16)
5(0,03)

Triangle de Pascal

n=011n=1112n=21214n=313318n=41464116n=51510105132n=6161520156164

C(5, 3) = 10 = 6 + 4

Ligne 5: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵

Touche un nombre : c'est la somme des deux nombres au-dessus, et il vaut C(n, k).

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Laquelle des propositions suivantes est une condition pour une expérience binomiale ?

Pourquoi c'est important

La probabilité binomiale apparaît partout quand les résultats sont binaires :
  • Médecine : Probabilité qu'exactement 7 patients sur 10 répondent à un traitement
  • Contrôle qualité : Chance de trouver 3 articles défectueux dans un lot de 20
  • Sports : Probabilité qu'un basketteur réussisse 8 lancers francs sur 10
  • Sondages : Probabilité qu'exactement 6 personnes interrogées sur 10 choisissent une option particulière
Comprendre la probabilité binomiale aide à faire des prédictions et prendre des décisions éclairées dans des situations incertaines !

Applications dans le monde réel

Essais médicaux

Les chercheurs utilisent la probabilité binomiale pour évaluer l'efficacité des traitements.

Exemple:

Si un médicament a un taux de réussite de 70%, nous pouvons calculer la probabilité qu'exactement 8 patients sur 10 répondent positivement.

1Essaie par toi-même

Un vaccin est efficace à 80%. Dans un groupe de 5 personnes vaccinées, quelle est la probabilité qu'exactement 4 soient protégées ?

Calcule P(X=4)P(X = 4) où n=5n=5, p=0,8p=0{,}8

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise : (54)×(0,8)4×(0,2)1\binom{5}{4} \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^1

Analyse sportive

Les entraîneurs utilisent la probabilité binomiale pour prédire les résultats des matchs et les performances des joueurs.

Exemple:

Un basketteur a un taux de réussite aux lancers francs de 75%. La probabilité binomiale aide à calculer la chance de réussir 9 lancers sur 10.

2Essaie par toi-même

Un footballeur marque 60% de ses penalties. Quelle est la probabilité de marquer exactement 3 penalties sur 5 ?

Calcule P(X=3)P(X = 3) où n=5n=5, p=0,6p=0{,}6

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise : (53)×(0,6)3×(0,4)2\binom{5}{3} \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2

Points clés

  • 1La probabilité binomiale s'applique quand il y a exactement deux résultats (succès/échec) avec une probabilité fixe
  • 2La formule est P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
  • 3La combinaison (nk)\binom{n}{k} compte tous les arrangements possibles de succès
  • 4Les essais doivent être indépendants pour que la probabilité binomiale s'applique
  • 5Vérifie toujours : nn fixe, pp constant, essais indépendants, deux résultats

Questions fréquentes

Utilise la probabilité binomiale quand tu as : (1) un nombre fixe d'essais, (2) exactement deux résultats par essai, (3) une probabilité de succès constante, et (4) des essais indépendants. Si une condition n'est pas remplie, tu as besoin d'une autre approche.
Utilise la probabilité binomiale quand tu as : (1) un nombre fixe d'essais, (2) exactement deux résultats par essai, (3) une probabilité de succès constante, et (4) des essais indépendants. Si une condition n'est pas remplie, tu as besoin d'une autre approche.
Elle compte de combien de façons différentes tu peux arranger kk succès parmi nn essais. Par exemple, obtenir 2 faces en 3 lancers peut arriver comme FFP, FPF ou PFF - c'est (32)=3\binom{3}{2} = 3 façons.
Pour 'au moins kk', additionne P(X=k)+P(X=k+1)+...+P(X=n)P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n). Pour 'au plus kk', additionne P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k). Parfois il est plus simple d'utiliser le complémentaire.

Glossaire

Expérience binomiale
Une expérience avec un nombre fixe d'essais indépendants, chacun ayant exactement deux résultats (succès/échec) et une probabilité constante
Essai
Une seule répétition de l'expérience (par exemple, un lancer de pièce, une réponse à une question)
Succès
Le résultat que nous comptons (pas nécessairement 'bon' - juste celui qui nous intéresse)
Combinaison
Le nombre de façons de choisir kk éléments parmi nn éléments, écrit (nk)\binom{n}{k} ou C(n,k)C(n,k)
Essais indépendants
Essais où le résultat de l'un n'affecte pas la probabilité des autres

Carte des formules

Formule de probabilité binomiale

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

$n$ = essais, $k$ = succès, $p$ = probabilité de succès, $\binom{n}{k}$ = combinaisons

Formule des combinaisons

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$

Défi du jourUn problème, trois essais

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