Lancer d'un dé équilibré

Quelle est l'espérance d'un lancer de dé à six faces équilibré ?

Liste tous les résultats et leurs probabilités: Résultats : $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Chacun a une probabilité de $\frac{1}{6}$ = 6 résultats équiprobables

Applique la formule de l'espérance: $E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ = Somme des résultats pondérés

Simplifie le calcul: $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ = $\frac{21}{6} = 3{,}5$

Answer: $E(X) = 3{,}5$. En moyenne, tu t'attends à obtenir 3,5 (même si tu ne peux jamais réellement obtenir 3,5) !

Billet de loterie

Un billet de loterie coûte 2 euros. Tu as 1% de chance de gagner 100 euros et 99% de chance de ne rien gagner. Quelle est l'espérance de l'achat d'un billet ?

Identifie les résultats et les probabilités: Gain : 100 euros avec $P = 0{,}01$. Perte : 0 euro avec $P = 0{,}99$ = Deux résultats possibles

Calcule le gain attendu: $E(\text{gains}) = 100 \cdot 0{,}01 + 0 \cdot 0{,}99 = 1$ euro = Gain attendu : 1 euro

Soustrais le coût du billet: $E(\text{profit}) = 1 - 2 = -1$ euro = Perte attendue de 1 euro

Answer: $E(\text{profit}) = -1$ euro. En moyenne, tu perds 1 euro par billet. C'est pourquoi les loteries sont rentables pour les organisateurs !

Jeu avec pièce biaisée

Une pièce biaisée tombe sur face 70% du temps. Tu gagnes 5 euros pour face et perds 8 euros pour pile. Quelle est l'espérance d'un lancer ?

Attribue les valeurs et les probabilités: Face : +5 euros, $P = 0{,}70$. Pile : $-8$ euros, $P = 0{,}30$ = Un résultat positif, un négatif

Applique la formule de l'espérance: $E(X) = 5 \cdot 0{,}70 + (-8) \cdot 0{,}30$ = $E(X) = 3{,}5 + (-2{,}4)$

Calcule le résultat final: $E(X) = 3{,}5 - 2{,}4 = 1{,}1$ = $E(X) = 1{,}1$ euro

Answer: $E(X) = 1{,}1$ euro. En moyenne, tu gagnes 1,10 euro par lancer. C'est un jeu avantageux !

Coût attendu de l'assurance

Une compagnie d'assurance sait que 2% des clients feront une réclamation de 5000 euros en moyenne. La prime annuelle est de 150 euros. Quel est le profit attendu par client ?

Calcule le paiement attendu: $E(\text{paiement}) = 5000 \cdot 0{,}02 + 0 \cdot 0{,}98 = 100$ euros = Paiement attendu : 100 euros par client

Calcule le profit attendu: $E(\text{profit}) = \text{prime} - E(\text{paiement})$ = $E(\text{profit}) = 150 - 100$

Trouve la réponse: $E(\text{profit}) = 50$ euros par client = 50 euros de profit en moyenne

Answer: La compagnie d'assurance s'attend à faire 50 euros de profit par client en moyenne. C'est ainsi que les compagnies d'assurance restent en affaires !

Mistake: Oublier que l'espérance peut être un nombre non entier (comme 3,5 pour un dé)

Why: L'espérance est une moyenne théorique, pas un résultat réel. Tu ne peux pas obtenir 3,5, mais sur de nombreux lancers, ta moyenne se rapprochera de 3,5.

Correct: Comprends que l'espérance représente la moyenne à long terme, pas un résultat spécifique que tu obtiendras.

Mistake: Utiliser des probabilités égales quand les résultats ne sont pas équiprobables

Why: Une pièce biaisée ou un dé truqué a des probabilités différentes pour chaque résultat.

Correct: Vérifie toujours si les résultats sont équiprobables. Utilise la probabilité réelle pour chaque résultat.

Mistake: Oublier de soustraire les coûts lors du calcul du profit attendu

Why: Gagner 10 euros n'est pas un profit si tu as payé 15 euros pour jouer !

Correct: $E(\text{profit}) = E(\text{gains}) - \text{coût}$

Mistake: Additionner les probabilités au lieu de multiplier le résultat par la probabilité

Why: La formule est $x \cdot P(x)$, pas $x + P(x)$.

Correct: Chaque résultat doit être multiplié par sa probabilité, puis additionne tous les produits.

Jeux de casino et avantage de la maison

Les casinos conçoivent des jeux pour que l'espérance favorise toujours la maison. À la roulette, l'avantage de la maison signifie que les joueurs perdent environ 2,7% (européenne) ou 5,3% (américaine) de leurs mises en moyenne.

À la roulette européenne, parier 10 euros sur le rouge donne : $E = 10 \cdot \frac{18}{37} + (-10) \cdot \frac{19}{37} \approx -0{,}27$ euro. Tu perds 27 centimes en moyenne par mise de 10 euros.

Décisions d'investissement

Les investisseurs utilisent l'espérance pour comparer différentes options d'investissement en pesant les rendements potentiels contre leurs probabilités.

L'action A a 60% de chance de gagner 20% et 40% de chance de perdre 10%. $E(\text{rendement}) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + (-0{,}10) \cdot 0{,}40 = 0{,}08 = 8\%$ de rendement attendu.

Stratégie de jeu télévisé

Les candidats de jeux télévisés utilisent l'espérance pour décider s'ils gardent un prix garanti ou le risquent pour une chance d'obtenir plus.

Tu as gagné 1000 euros. Tu peux les garder ou lancer une pièce : face gagne 2500 euros, pile ne gagne rien. $E(\text{lancer}) = 2500 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 1250$ euros. Mathématiquement, tu devrais lancer !

Q: Pourquoi l'espérance d'un dé est-elle 3,5 si je ne peux jamais obtenir 3,5 ?

A: L'espérance est la moyenne sur de nombreux essais, pas un résultat unique. Si tu lances un dé 1000 fois et fais la moyenne, tu obtiendras très proche de 3,5. C'est le centre théorique de la distribution.

Q: Quelle est la différence entre l'espérance et le mode ou la médiane ?

A: L'espérance (moyenne) pondère les résultats par leur probabilité. Le mode est le résultat le plus probable, et la médiane est la valeur centrale. Pour un dé équilibré : moyenne = 3,5, mode = aucun (tous équiprobables), médiane = 3,5.

Q: L'espérance peut-elle être négative ?

A: Oui ! Si les pertes dépassent les gains en moyenne, l'espérance est négative. La plupart des jeux de hasard ont une espérance négative pour les joueurs, c'est pourquoi les casinos sont rentables.

Q: Dois-je toujours choisir l'option avec la plus haute espérance ?

A: Pas nécessairement. L'espérance ignore la tolérance au risque. Parierais-tu toutes tes économies sur un pile ou face qui les double ou les perd ? L'espérance est positive, mais la plupart des gens ne prendraient pas ce risque.