Espérance mathématique
Apprends à calculer le résultat moyen d'un événement aléatoire sur de nombreux essais.
Définition
Essaie tout de suite
Exemples résolus
Quelle est l'espérance d'un lancer de dé à six faces équilibré ?
Liste tous les résultats et leurs probabilités
Résultats : . Chacun a une probabilité de → 6 résultats équiprobables
Applique la formule de l'espérance
→ Somme des résultats pondérés
Simplifie le calcul
→
Réponse: . En moyenne, tu t'attends à obtenir 3,5 (même si tu ne peux jamais réellement obtenir 3,5) !
Erreurs courantes
Oublier que l'espérance peut être un nombre non entier (comme 3,5 pour un dé)
Pourquoi c'est faux: L'espérance est une moyenne théorique, pas un résultat réel. Tu ne peux pas obtenir 3,5, mais sur de nombreux lancers, ta moyenne se rapprochera de 3,5.
Correct: Comprends que l'espérance représente la moyenne à long terme, pas un résultat spécifique que tu obtiendras.
Utiliser des probabilités égales quand les résultats ne sont pas équiprobables
Pourquoi c'est faux: Une pièce biaisée ou un dé truqué a des probabilités différentes pour chaque résultat.
Correct: Vérifie toujours si les résultats sont équiprobables. Utilise la probabilité réelle pour chaque résultat.
Oublier de soustraire les coûts lors du calcul du profit attendu
Pourquoi c'est faux: Gagner 10 euros n'est pas un profit si tu as payé 15 euros pour jouer !
Correct:
Additionner les probabilités au lieu de multiplier le résultat par la probabilité
Pourquoi c'est faux: La formule est , pas .
Correct: Chaque résultat doit être multiplié par sa probabilité, puis additionne tous les produits.
Visuel interactif
Lancer de dés
Clique sur le bouton pour effectuer des essais et voir la probabilité en action !
Diagramme à barres
Bac à sable interactif
Calculateur d'expressions
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Historique
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Exercices pratiques
16 exercicesQue représente l'espérance d'une expérience aléatoire ?
Pourquoi c'est important
- Jeux de casino : Les casinos fixent les gains pour que l'espérance favorise la maison
- Assurance : Les compagnies calculent les paiements attendus pour fixer les primes
- Investissements : Les investisseurs comparent les rendements attendus pour prendre des décisions
- Théorie des jeux : L'espérance aide à déterminer les stratégies optimales
- Contrôle qualité : Les fabricants prédisent les taux de défauts moyens
Applications dans le monde réel
Jeux de casino et avantage de la maison
Les casinos conçoivent des jeux pour que l'espérance favorise toujours la maison. À la roulette, l'avantage de la maison signifie que les joueurs perdent environ 2,7% (européenne) ou 5,3% (américaine) de leurs mises en moyenne.
Exemple:
À la roulette européenne, parier 10 euros sur le rouge donne : euro. Tu perds 27 centimes en moyenne par mise de 10 euros.
Un jeu paie 35 fois ta mise si tu devines le numéro exact à la roulette (37 numéros au total). Tu mises 1 euro.
Quelle est l'espérance de ce pari ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Calcule :
Décisions d'investissement
Les investisseurs utilisent l'espérance pour comparer différentes options d'investissement en pesant les rendements potentiels contre leurs probabilités.
Exemple:
L'action A a 60% de chance de gagner 20% et 40% de chance de perdre 10%. de rendement attendu.
L'investissement B a 30% de chance de gagner 50% et 70% de chance de gagner 5%.
Quel est le rendement attendu de l'investissement B ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Calcule :
Stratégie de jeu télévisé
Les candidats de jeux télévisés utilisent l'espérance pour décider s'ils gardent un prix garanti ou le risquent pour une chance d'obtenir plus.
Exemple:
Tu as gagné 1000 euros. Tu peux les garder ou lancer une pièce : face gagne 2500 euros, pile ne gagne rien. euros. Mathématiquement, tu devrais lancer !
Tu as gagné 500 euros. Tu peux les garder OU tourner une roue : 25% de chance de gagner 3000 euros, 75% de chance de gagner 0 euro.
Que devrais-tu faire selon l'espérance ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Calcule :
Points clés
- 1L'espérance est la moyenne à long terme d'une expérience aléatoire répétée de nombreuses fois
- 2Formule : (somme de chaque résultat fois sa probabilité)
- 3L'espérance peut être un nombre que tu ne peux jamais obtenir (comme 3,5 pour un dé)
- 4Une espérance positive signifie que tu gagnes en moyenne ; négative signifie que tu perds
- 5Pour trouver le profit attendu, soustrais les coûts des gains attendus
Questions fréquentes
Glossaire
- Espérance mathématique
- La moyenne à long terme d'une expérience aléatoire, calculée comme la somme de chaque résultat fois sa probabilité. Notation :
- Variable aléatoire
- Une variable dont la valeur dépend du résultat d'un événement aléatoire
- Distribution de probabilité
- Une liste de tous les résultats possibles et leurs probabilités
- Moyenne pondérée
- Une moyenne où certaines valeurs contribuent plus que d'autres, selon leurs poids (ici, les probabilités)
- Avantage de la maison
- Le profit attendu du casino en pourcentage de chaque mise