Aire à gauche : moins de 174 cm

Dans un pays, la taille des femmes suit une loi normale avec $\mu = 165$ cm et $\sigma = 6$ cm. Quelle proportion des femmes mesure moins de 174 cm ?

Esquisser et hachurer: Hachure l'aire à gauche de 174 cm, qui se trouve à droite de la moyenne 165 cm = Le résultat doit dépasser 0,5

Centrer-réduire: $z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}$ = $z = 1{,}5$

Lire la table: Ligne 1,5, colonne 0,00 = $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$

Interpréter: Une aire à gauche ne demande aucun ajustement = $P(X < 174) = 0{,}9332$

Answer: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : environ 93,32 % des femmes mesurent moins de 174 cm.

Aire à droite : batteries de plus de 14 heures

Une batterie de téléphone dure en moyenne $\mu = 12$ heures avec $\sigma = 1{,}6$ heure, selon une loi normale. Quelle est la probabilité qu'une batterie dure plus de 14 heures ?

Esquisser et hachurer: Hachure la queue droite au-delà de 14 heures = Une petite aire, inférieure à 0,5

Centrer-réduire: $z = \frac{14 - 12}{1{,}6} = \frac{2}{1{,}6}$ = $z = 1{,}25$

Lire la table: Ligne 1,2, colonne 0,05 = $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Passer à l'événement contraire: La table donne l'aire à gauche, donc on soustrait de 1 : $1 - 0{,}8944$ = $P(X > 14) = 0{,}1056$

Answer: $P(X > 14) = 0{,}1056$ : environ 10,56 % des batteries durent plus de 14 heures.

Aire entre deux valeurs : notes à l'examen

Les notes à un examen suivent une loi normale avec $\mu = 70$ et $\sigma = 8$. Quel pourcentage des élèves obtient entre 62 et 86 points ?

Centrer-réduire la valeur basse: $z_1 = \frac{62 - 70}{8} = \frac{-8}{8}$ = $z_1 = -1$

Centrer-réduire la valeur haute: $z_2 = \frac{86 - 70}{8} = \frac{16}{8}$ = $z_2 = 2$

Lire les deux aires à gauche: $P(Z < 2) = 0{,}9772$ et $P(Z < -1) = 0{,}1587$ = Deux valeurs de la table

Soustraire : grande aire à gauche moins petite aire à gauche: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Answer: $P(62 < X < 86) = 0{,}8185$, donc environ 81,85 % des élèves obtiennent entre 62 et 86 points.

Problème inverse : la note des 10 % les meilleurs

Pour le même examen ($\mu = 70$, $\sigma = 8$), les 10 % les meilleurs reçoivent un diplôme d'honneur. Quelle est la note la plus basse qui donne ce diplôme ?

Transformer les 10 % les meilleurs en aire à gauche: 10 % à droite signifie $1 - 0{,}10 = 0{,}90$ à gauche = Cherche 0,90 à l'intérieur de la table

Trouver z dans la table: La valeur la plus proche est $0{,}8997$, ligne 1,2 et colonne 0,08 = $z \approx 1{,}28$

Revenir aux unités réelles: $x = \mu + z\sigma = 70 + 1{,}28 \times 8 = 70 + 10{,}24$ = $x = 80{,}24$

Answer: À partir d'environ 80,24 points, on fait partie des 10 % les meilleurs. Avec des points entiers, il faut 81.

De la probabilité au nombre : bouteilles sous-remplies

Une machine remplit des bouteilles avec $\mu = 500$ mL et $\sigma = 4$ mL. Elle remplit 2000 bouteilles par jour. Environ combien de bouteilles contiennent moins de 494 mL ?

Centrer-réduire: $z = \frac{494 - 500}{4} = \frac{-6}{4}$ = $z = -1{,}5$

Lire la table: Ligne -1,5, colonne 0,00 = $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$

Multiplier par le nombre de bouteilles: $0{,}0668 \times 2000$ = $133{,}6$

Answer: Environ 134 bouteilles par jour (6,68 % de 2000) contiennent moins de 494 mL.

Mistake: Prendre directement la valeur de la table pour une question "plus grand que", par exemple $P(X > 14) = 0{,}8944$

Why: La table donne toujours l'aire À GAUCHE de $z$. La queue droite, c'est tout le reste.

Correct: Soustrais de 1 : $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$. Une esquisse rapide montre que la queue droite est petite, donc 0,8944 ne peut pas être juste.

Mistake: Soustraire d'abord les scores z : $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Why: Les aires sous une courbe ne fonctionnent pas ainsi. Il faut l'aire jusqu'à chaque borne, puis la différence de ces aires.

Correct: Lis les deux aires à gauche et soustrais-les : $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: Centrer-réduire dans le mauvais ordre ou diviser par le mauvais nombre : $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ ou $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Why: Inverser la soustraction change le signe, et tu te retrouves du mauvais côté de la moyenne. Diviser par la variance donne une mauvaise distance.

Correct: Toujours $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : les valeurs au-dessus de la moyenne ont un $z$ positif, celles en dessous un $z$ négatif.

Mistake: Dans un problème inverse, prendre le pourcentage comme score z (z = 0,90) ou se tromper de queue (z = -1,28 pour les 10 % les meilleurs)

Why: Le pourcentage est une AIRE, que l'on cherche à l'intérieur de la table. Le score z se lit sur les bords des lignes et des colonnes.

Correct: Les 10 % les meilleurs signifient 0,90 à gauche, ce qui donne $z \approx 1{,}28$ (positif, au-dessus de la moyenne). Les 10 % les plus bas donnent $z \approx -1{,}28$.

Contrôle qualité : canettes sous-remplies

Les usines de boissons vérifient quelle part des canettes est sous la quantité indiquée sur l'étiquette, et règlent les machines de remplissage.

Une chaîne remplit des canettes avec $\mu = 330$ mL et $\sigma = 2$ mL. Toute canette sous 327 mL est signalée comme sous-remplie.

Courbes de croissance chez le pédiatre

Les pédiatres comparent les bébés aux courbes de croissance. Chaque courbe du carnet est un percentile d'une loi normale.

Dans une étude, le poids des bébés de 6 mois suit à peu près une loi normale avec $\mu = 8$ kg et $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bébé sous le 10e percentile passe un contrôle supplémentaire.

Organiser un marathon en ville

Les organisateurs estiment combien de coureurs seront sur le parcours à certains moments, pour prévoir les ravitaillements et les bénévoles.

Les temps d'arrivée suivent à peu près une loi normale avec $\mu = 240$ minutes et $\sigma = 30$ minutes. Les organisateurs veulent connaître la part des coureurs qui arrivent entre 225 et 285 minutes.

Q: Est-ce que $P(X < 174)$ est différent de $P(X \le 174)$ ?

A: Non. Pour une grandeur continue, une valeur isolée a une probabilité nulle, donc $<$ et $\le$ donnent la même aire. C'est différent avec la loi binomiale, où cela compte.

Q: Mon score z a trois décimales, comme 1,645. Que faire ?

A: Arrondis à deux décimales pour la table, ou prends une valeur entre les deux entrées voisines. Pour $z = 1{,}645$, les aires 0,9495 et 0,9505 sont aussi proches l'une que l'autre, donc 0,95 est une bonne réponse.

Q: Et si le score z dépasse la table, par exemple $z = 4$ ?

A: Les tables s'arrêtent en général vers 3,49. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 (pour un grand z positif) ou pratiquement 0 (pour un grand z négatif). De telles valeurs sont extrêmement rares.

Q: Pourquoi un percentile correspond-il à l'aire à gauche ?

A: Le 90e percentile est la valeur sous laquelle se trouvent 90 % de la population. "En dessous" correspond au côté gauche de la courbe, exactement ce que mesure la table.