Est-ce que $P(X < 174)$ est différent de $P(X \le 174)$ ?

Non. Pour une grandeur continue, une valeur isolée a une probabilité nulle, donc $<$ et $\le$ donnent la même aire. C'est différent avec la loi binomiale, où cela compte.

Mon score z a trois décimales, comme 1,645. Que faire ?

Arrondis à deux décimales pour la table, ou prends une valeur entre les deux entrées voisines. Pour $z = 1{,}645$, les aires 0,9495 et 0,9505 sont aussi proches l'une que l'autre, donc 0,95 est une bonne réponse.

Et si le score z dépasse la table, par exemple $z = 4$ ?

Les tables s'arrêtent en général vers 3,49. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 (pour un grand z positif) ou pratiquement 0 (pour un grand z négatif). De telles valeurs sont extrêmement rares.

Pourquoi un percentile correspond-il à l'aire à gauche ?

Le 90e percentile est la valeur sous laquelle se trouvent 90 % de la population. "En dessous" correspond au côté gauche de la courbe, exactement ce que mesure la table.

Ressources enseignants

Probabilités avec la loi normale

Q: Est-ce que $P(X < 174)$ est différent de $P(X \le 174)$ ?

Non. Pour une grandeur continue, une valeur isolée a une probabilité nulle, donc $<$ et $\le$ donnent la même aire. C'est différent avec la loi binomiale, où cela compte.

Q: Mon score z a trois décimales, comme 1,645. Que faire ?

Arrondis à deux décimales pour la table, ou prends une valeur entre les deux entrées voisines. Pour $z = 1{,}645$, les aires 0,9495 et 0,9505 sont aussi proches l'une que l'autre, donc 0,95 est une bonne réponse.

Q: Et si le score z dépasse la table, par exemple $z = 4$ ?

Les tables s'arrêtent en général vers 3,49. Au-delà, l'aire à gauche vaut pratiquement 1 (pour un grand z positif) ou pratiquement 0 (pour un grand z négatif). De telles valeurs sont extrêmement rares.

Q: Pourquoi un percentile correspond-il à l'aire à gauche ?

Le 90e percentile est la valeur sous laquelle se trouvent 90 % de la population. "En dessous" correspond au côté gauche de la courbe, exactement ce que mesure la table.

Calcule des probabilités et des percentiles pour une loi normale en unités réelles : centrer-réduire, lire la table, puis revenir aux valeurs seuils.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Les probabilités avec la loi normale répondent à des questions comme "Quelle proportion de bouteilles contient moins de 494 mL ?" lorsqu'une grandeur

X

suit une loi normale de moyenne

\mu

et d'écart-type

\sigma

, mesurée en unités réelles (cm, points, heures, mL).

La probabilité est l'aire sous la courbe en cloche au-dessus des valeurs demandées. Toute courbe de loi normale devient celle de la loi normale centrée réduite en une seule étape, donc une seule table suffit toujours.

La méthode en quatre étapes

1.Esquisser et hachurer la zone : à gauche de $a$ , à droite de $a$ ou entre $a$ et $b$ .
2.Centrer-réduire : transforme chaque valeur en score z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

3.Lire la table de la loi normale : elle donne l'aire à gauche de $z$ , c'est-à-dire $P(Z < z)$ (voir la leçon sur la loi normale centrée réduite).
4.Adapter à la zone :

À gauche : $P(X < a) = P(Z < z_a)$
À droite : $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Entre deux valeurs : $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Raisonner à l'envers : percentiles et seuils

Parfois l'aire est donnée et c'est la valeur qui manque ("Quelle note marque les 10 % les meilleurs ?"). Cherche dans la table le

z

dont l'aire à gauche correspond, puis reviens aux unités réelles :

x = \mu + z\sigma

Une probabilité de

0{,}9332

signifie aussi 93,32 % de la population, donc chaque résultat se lit comme une proportion de personnes, de bouteilles ou de batteries.

Essaie tout de suite

Des notes suivent une loi normale avec

\mu = 60

\sigma = 10

. Quelle expression donne le score z d'une note de 75 ?

Exemples résolus

Dans un pays, la taille des femmes suit une loi normale avec

\mu = 165

cm et

\sigma = 6

cm. Quelle proportion des femmes mesure moins de 174 cm ?

Esquisser et hachurer

Hachure l'aire à gauche de 174 cm, qui se trouve à droite de la moyenne 165 cm → Le résultat doit dépasser 0,5

Centrer-réduire

z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}

→

z = 1{,}5

Lire la table

Ligne 1,5, colonne 0,00 →

P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

Interpréter

Une aire à gauche ne demande aucun ajustement →

P(X < 174) = 0{,}9332

Réponse: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : environ 93,32 % des femmes mesurent moins de 174 cm.

Erreurs courantes

Prendre directement la valeur de la table pour une question "plus grand que", par exemple $P(X > 14) = 0{,}8944$

Pourquoi c'est faux: La table donne toujours l'aire À GAUCHE de $z$ . La queue droite, c'est tout le reste.

Correct: Soustrais de 1 : $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ . Une esquisse rapide montre que la queue droite est petite, donc 0,8944 ne peut pas être juste.

Soustraire d'abord les scores z : $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Pourquoi c'est faux: Les aires sous une courbe ne fonctionnent pas ainsi. Il faut l'aire jusqu'à chaque borne, puis la différence de ces aires.

Correct: Lis les deux aires à gauche et soustrais-les : $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Centrer-réduire dans le mauvais ordre ou diviser par le mauvais nombre : $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ ou $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Pourquoi c'est faux: Inverser la soustraction change le signe, et tu te retrouves du mauvais côté de la moyenne. Diviser par la variance donne une mauvaise distance.

Correct: Toujours $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : les valeurs au-dessus de la moyenne ont un $z$ positif, celles en dessous un $z$ négatif.

Dans un problème inverse, prendre le pourcentage comme score z (z = 0,90) ou se tromper de queue (z = -1,28 pour les 10 % les meilleurs)

Pourquoi c'est faux: Le pourcentage est une AIRE, que l'on cherche à l'intérieur de la table. Le score z se lit sur les bords des lignes et des colonnes.

Correct: Les 10 % les meilleurs signifient 0,90 à gauche, ce qui donne $z \approx 1{,}28$ (positif, au-dessus de la moyenne). Les 10 % les plus bas donnent $z \approx -1{,}28$ .

Visuel interactif

Taille des femmes : μ = 165 cm, σ = 6 cm. Déplace la borne ou change la zone

μ = 165 cm, σ = 6 cm · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

z = (x − μ)/σ = (174 − 165)/6 = 1,5

P(X ≤ 174) = P(Z ≤ 1,5) ≈ 0,9332 = 93,32 %

Environ 93,32 % des valeurs se trouvent dans la région ombrée.

Notes à l'examen : μ = 70, σ = 8. Aire entre 62 et 86

μ = 70 points, σ = 8 points · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

z = (x − μ)/σ = (62 − 70)/8 = -1

z = (x − μ)/σ = (86 − 70)/8 = 2

P(62 ≤ X ≤ 86) = P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86 %

Environ 81,86 % des valeurs se trouvent dans la région ombrée.

Seuil : quelle note marque les 10 % les meilleurs ?

μ = 70 points, σ = 8 points · Fais glisser une poignée ou saisis x ou z.

Déplace la poignée jusqu'à ce que l'aire ombrée vaille 0,1000 (10 %).

zP(Z ≥ 0) ≈ 0,5000

x = μ + zσ = 70 + 0 · 8 ≈ 70 points

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Des notes suivent une loi normale avec

\mu = 60

\sigma = 10

. Quelle expression donne le score z d'une note de 75 ?

Exercices pratiques: Probabilités avec la loi normale

1. Des notes suivent une loi normale avec \mu = 60 et \sigma = 10. Quelle expression donne le score z d'une note de 75 ?
2. La taille des hommes adultes suit une loi normale avec \mu = 170 cm et \sigma = 8 cm. Quel est le score z d'un homme qui mesure 182 cm ?
3. La table donne P(Z < 1) = 0,8413. Combien vaut P(Z > 1) ?
4. Les pommes d'un verger pèsent \mu = 150 g avec \sigma = 20 g, selon une loi normale. Utilise P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915. Quelle proportion des pommes pèse moins de 160 g ? Donne un nombre décimal.
5. Des notes d'examen suivent une loi normale avec \mu = 72 et \sigma = 6. La table donne P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332. Calcule P(X < 81).
6. Les temps de livraison de pizzas suivent une loi normale avec \mu = 30 min et \sigma = 5 min. La table donne P(Z < 2) = 0{,}9772. Calcule la probabilité qu'une livraison dure plus de 40 minutes.
7. Des bouteilles sont remplies avec \mu = 500 mL et \sigma = 5 mL, selon une loi normale. Avec P(Z < 2) = 0{,}9772 et P(Z < -1) = 0{,}1587, combien vaut P(495 < X < 510) ?
8. Une batterie d'ordinateur portable dure \mu = 8 heures avec \sigma = 0{,}8 heure, selon une loi normale. Utilise P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944. Quelle est la probabilité qu'une batterie dure plus de 9 heures ? Donne un nombre décimal.
9. La taille des femmes suit une loi normale avec \mu = 165 cm et \sigma = 6 cm. La table donne P(Z < 1) = 0{,}8413 et P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668. Calcule P(156 < X < 171).
10. Les scores de QI suivent une loi normale avec \mu = 100 et \sigma = 15. Trouve le 90e percentile.
11. Pour la taille des femmes (\mu = 165 cm, \sigma = 6 cm), on a trouvé P(X < 174) = 0{,}9332. Qu'est-ce que cela signifie ?
12. Des notes d'examen suivent une loi normale avec \mu = 70 et \sigma = 8. La table donne P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915. Quelle proportion des élèves obtient entre 66 et 74 ? Donne un nombre décimal.
13. Une usine fabrique 1000 ampoules. Leur durée de vie suit une loi normale avec \mu = 1200 heures et \sigma = 100 heures. La table donne P(Z < 2) = 0{,}9772. Environ combien d'ampoules durent plus de 1400 heures ?
14. Une machine remplit des bouteilles avec \mu = 500 mL et \sigma = 4 mL. Les 5 % les moins remplies sont écartées. Trouve le volume seuil en dessous duquel une bouteille est écartée.
15. La taille des hommes suit une loi normale avec \mu = 175 cm et \sigma = 7 cm. Avec z \approx 1{,}28 pour le 90e percentile, quelle taille marque les 10 % les plus grands ?
16. Une batterie de téléphone dure \mu = 20 heures avec \sigma = 2 heures, selon une loi normale. La table donne P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514. Combien d'heures au moins durent 75 % des batteries ? Donne la réponse avec deux décimales.
17. Un entrepôt expédie 4000 colis par jour. Leur masse suit une loi normale avec \mu = 250 g et \sigma = 10 g. La table donne P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332 et P(Z < -1) = 0{,}1587. Environ combien de colis pèsent entre 240 g et 265 g ?
18. Une marque de céréales remplit des boîtes avec \sigma = 6 g. L'étiquette indique 500 g, et seulement 2,5 % des boîtes peuvent contenir moins. Sur quelle moyenne \mu faut-il régler la machine ?

Pourquoi c'est important

Les probabilités de la loi normale transforment une moyenne et un écart-type en décisions concrètes :

Industrie : quelle part des bouteilles est sous-remplie, et comment régler la machine pour qu'il n'y en ait presque plus
Santé : les médecins comparent la taille ou le poids d'un enfant aux courbes de croissance, qui sont des percentiles d'une loi normale
Éducation : les jurys d'examen fixent la note des 10 % les meilleurs ou décident combien d'élèves réussissent
Produits : une entreprise ne peut promettre "90 % des batteries durent au moins 18 heures" qu'après ce calcul
Sport et sciences : savoir si un résultat est inhabituel, c'est se demander quelle aire se trouve au-delà

Les mêmes quatre étapes répondent à toutes ces questions, quelles que soient les unités.

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité : canettes sous-remplies

Les usines de boissons vérifient quelle part des canettes est sous la quantité indiquée sur l'étiquette, et règlent les machines de remplissage.

Exemple:

Une chaîne remplit des canettes avec $\mu = 330$ mL et $\sigma = 2$ mL. Toute canette sous 327 mL est signalée comme sous-remplie.

1Essaie par toi-même

Les canettes sont remplies avec $\mu = 330$ mL et $\sigma = 2$ mL, selon une loi normale. La table donne $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ .

Quelle proportion des canettes contient moins de 327 mL ? Donne un nombre décimal.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Centre-réduis 327 mL, puis lis l'aire à gauche :

Courbes de croissance chez le pédiatre

Les pédiatres comparent les bébés aux courbes de croissance. Chaque courbe du carnet est un percentile d'une loi normale.

Exemple:

Dans une étude, le poids des bébés de 6 mois suit à peu près une loi normale avec $\mu = 8$ kg et $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bébé sous le 10e percentile passe un contrôle supplémentaire.

2Essaie par toi-même

Poids à 6 mois : $\mu = 8$ kg, $\sigma = 0{,}5$ kg. La table montre que $z \approx -1{,}28$ a 10 % de l'aire à sa gauche.

En dessous de quel poids (en kg) un bébé fait-il partie des 10 % les plus légers ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $x = \mu + z\sigma$ :

Organiser un marathon en ville

Les organisateurs estiment combien de coureurs seront sur le parcours à certains moments, pour prévoir les ravitaillements et les bénévoles.

Exemple:

Les temps d'arrivée suivent à peu près une loi normale avec $\mu = 240$ minutes et $\sigma = 30$ minutes. Les organisateurs veulent connaître la part des coureurs qui arrivent entre 225 et 285 minutes.

3Essaie par toi-même

Temps d'arrivée : $\mu = 240$ min, $\sigma = 30$ min. Valeurs de la table : $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ et $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$ .

Quelle proportion des coureurs arrive entre 225 et 285 minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soustrais les deux aires à gauche :

Points clés

1Pour une probabilité avec la loi normale, esquisse la zone, centre-réduis avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , lis la table, puis ajuste
2La table donne l'aire À GAUCHE : $P(X < a) = P(Z < z_a)$
3Queue droite : $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
4Entre deux valeurs : $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
5Problèmes inverses : cherche $z$ pour l'aire donnée à l'intérieur de la table, puis $x = \mu + z\sigma$ (les 10 % les meilleurs donnent $z \approx 1{,}28$ )
6Une probabilité est aussi une proportion de la population : $0{,}0668$ de 2000 bouteilles, c'est environ 134 bouteilles

Questions fréquentes

Non. Pour une grandeur continue, une valeur isolée a une probabilité nulle, donc

<

\le

donnent la même aire. C'est différent avec la loi binomiale, où cela compte.

Glossaire

Centrer-réduire: Transformer une valeur $x$ en score z avec $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite
Table de la loi normale: Table de la loi normale centrée réduite : pour chaque $z$ , elle donne l'aire à gauche, $P(Z < z)$
Queue gauche / queue droite: L'aire sous la courbe en dessous d'une valeur (gauche) ou au-dessus d'une valeur (droite)
Événement contraire: $P(X > a) = 1 - P(X < a)$ , car l'aire totale sous la courbe vaut 1
Percentile: La valeur sous laquelle se trouve un pourcentage donné de la population, par exemple le 90e percentile
Valeur seuil: La valeur $x = \mu + z\sigma$ qui sépare une aire donnée, par exemple les 10 % les meilleurs

Carte des formules

Centrer-réduire

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Des unités réelles au score z

Aire à gauche

P(X < a) = P(Z < z_a)

Lue directement dans la table

Aire à droite

P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)

Complément de la valeur de la table

Aire entre deux valeurs

P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)

Différence de deux aires à gauche

Valeur seuil

x = \mu + z\sigma

Du score z aux unités réelles (percentiles)

Défi du jourUn problème, trois essais

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Définition

La méthode en quatre étapes

Raisonner à l'envers : percentiles et seuils

Exemples résolus

Erreurs courantes

Visuel interactif

Taille des femmes : μ = 165 cm, σ = 6 cm. Déplace la borne ou change la zone

Notes à l'examen : μ = 70, σ = 8. Aire entre 62 et 86

Seuil : quelle note marque les 10 % les meilleurs ?

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Historique

Exercices pratiques

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Contrôle qualité : canettes sous-remplies

Courbes de croissance chez le pédiatre

Organiser un marathon en ville

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Centrer-réduire

Aire à gauche

Aire à droite

Aire entre deux valeurs

Valeur seuil

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