Distributions d'échantillonnage

Un **paramètre** est un nombre qui décrit toute une **population**, par exemple la moyenne (espérance) $\mu$, l'écart-type $\sigma$ ou la proportion $p$ de la population. Une **statistique** est un nombre calculé à partir d'un **échantillon**, par exemple la moyenne d'échantillon $\bar{x}$ ou la fréquence observée (proportion d'échantillon) $\hat{p}$. Le paramètre est fixe (mais souvent inconnu) ; la statistique change d'un échantillon à l'autre. La **distribution d'échantillonnage** d'une statistique est la distribution de ses valeurs sur tous les échantillons aléatoires possibles de même taille $n$. ## Distribution d'échantillonnage de la moyenne $\bar{x}$ - **Centre :** $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (les moyennes d'échantillons sont centrées sur la moyenne de la population) - **Dispersion :** $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, appelée **erreur type** - **Forme (théorème central limite) :** si la population suit une loi normale, $\bar{x}$ suit une loi normale pour tout $n$. Sinon, $\bar{x}$ suit quand même presque une loi normale quand $n$ est grand, en général dès $n \geq 30$. Une probabilité sur une moyenne d'échantillon utilise donc le score z $$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$ ## Distribution d'échantillonnage de la fréquence $\hat{p}$ - **Centre :** $\mu_{\hat{p}} = p$ - **Dispersion :** $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ - **Forme :** presque normale quand $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$ Ces formules supposent un échantillon aléatoire de valeurs indépendantes (en pratique : l'échantillon représente moins d'environ 10 % de la population).

Paramètre ou statistique ?

Un lycée compte 1200 élèves. Leur taille moyenne est de 165 cm. Un projet de classe mesure un échantillon aléatoire de 50 élèves et trouve une taille moyenne de 163,2 cm. Quel nombre est un paramètre et lequel est une statistique ?

Trouve le nombre qui décrit toute la population: 165 cm est la moyenne des 1200 élèves = Paramètre : $\mu = 165$ cm

Trouve le nombre qui vient de l'échantillon: 163,2 cm est la moyenne des 50 élèves mesurés = Statistique : $\bar{x} = 163{,}2$ cm

Pense à un deuxième échantillon: Un autre échantillon aléatoire de 50 élèves donnerait une moyenne un peu différente, par exemple 166,0 cm = $\bar{x}$ varie, $\mu$ reste fixe

Answer: $\mu = 165$ cm est le paramètre, $\bar{x} = 163{,}2$ cm est une statistique. La statistique change d'un échantillon à l'autre, et c'est exactement ce que décrit une distribution d'échantillonnage.

Centre et erreur type de la moyenne d'échantillon

Les notes d'un examen ont une moyenne $\mu = 70$ et un écart-type $\sigma = 15$. Tu prélèves des échantillons aléatoires de $n = 36$ élèves. Trouve la moyenne et l'erreur type de $\bar{x}$. Que se passe-t-il avec $n = 100$ ?

Centre de la distribution d'échantillonnage: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ = $\mu_{\bar{x}} = 70$

Erreur type pour $n = 36$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{36}} = \dfrac{15}{6}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 2{,}5$

Erreur type pour $n = 100$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{100}} = \dfrac{15}{10}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}5$

Answer: Les moyennes d'échantillons sont centrées sur 70. Leur erreur type vaut 2,5 pour $n = 36$ et seulement 1,5 pour $n = 100$ : de plus grands échantillons donnent des moyennes qui restent plus proches de $\mu$.

Quand la moyenne d'échantillon suit-elle une loi normale ?

Les temps d'attente d'un centre d'appels sont fortement asymétriques vers la droite, avec $\mu = 8$ minutes et $\sigma = 6$ minutes. Décris la distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ pour des échantillons de $n = 4$ appels et de $n = 40$ appels.

Centre pour les deux tailles: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ quelle que soit la valeur de $n$ = Centre 8 minutes

Erreur type pour $n = 4$: $\dfrac{6}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2}$ = 3 minutes

Forme pour $n = 4$: La population ne suit pas une loi normale et $n = 4$ est petit, donc le théorème central limite n'aide pas encore = Toujours asymétrique vers la droite

Erreur type et forme pour $n = 40$: $\dfrac{6}{\sqrt{40}} \approx \dfrac{6}{6{,}32}$, et $n = 40 \geq 30$ = Environ 0,95 minute, presque normale

Answer: Les deux distributions sont centrées sur 8 minutes. Pour $n = 4$, les moyennes sont dispersées (erreur type 3) et encore asymétriques ; pour $n = 40$, elles sont resserrées (erreur type d'environ 0,95) et presque normales grâce au théorème central limite.

Probabilité sur une moyenne d'échantillon

Des batteries de téléphone durent en moyenne $\mu = 50$ heures avec $\sigma = 12$ heures. Un magasin teste un échantillon aléatoire de 36 batteries. Quelle est la probabilité que la moyenne de l'échantillon soit inférieure à 47 heures ? Compare avec la probabilité qu'UNE batterie dure moins de 47 heures.

Vérifie la forme: $n = 36 \geq 30$, donc d'après le théorème central limite $\bar{x}$ suit presque une loi normale = On peut utiliser les scores z

Calcule l'erreur type: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6}$ = 2 heures

Calcule le score z de $\bar{x} = 47$: $z = \dfrac{47 - 50}{2}$ = $z = -1{,}5$

Lis la table de la loi normale: $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ = Environ 6,7 %

Compare avec une seule batterie (si l'autonomie suit une loi normale): $z = \dfrac{47 - 50}{12} = -0{,}25$, $P(Z < -0{,}25) = 0{,}4013$ = Environ 40 %

Answer: $P(\bar{x} < 47) \approx 0{,}0668$, soit seulement environ 6,7 %. Une batterie sous 47 heures est fréquente (environ 40 %), mais une moyenne aussi basse sur 36 batteries est rare, car les moyennes varient beaucoup moins que les valeurs isolées.

Distribution d'échantillonnage d'une fréquence

Dans une ville, 40 % des adultes soutiennent un nouveau parc ($p = 0{,}4$). Un journal interroge un échantillon aléatoire de $n = 100$ adultes. Décris la distribution d'échantillonnage de $\hat{p}$ et trouve la probabilité que plus de la moitié de l'échantillon soutienne le parc.

Vérifie les conditions: $np = 100 \cdot 0{,}4 = 40 \geq 10$ et $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}6 = 60 \geq 10$ = Presque normale

Centre et erreur type: $\mu_{\hat{p}} = 0{,}4$, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{100}} = \sqrt{0{,}0024}$ = $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}049$

Calcule le score z de $\hat{p} = 0{,}5$: $z = \dfrac{0{,}5 - 0{,}4}{0{,}049}$ = $z \approx 2{,}04$

Trouve l'aire à droite: $P(Z > 2{,}04) = 1 - 0{,}9793$ = $\approx 0{,}0207$

Answer: $\hat{p}$ suit presque une loi normale de moyenne 0,4 et d'erreur type environ 0,049. La probabilité que le sondage montre une majorité (plus de 50 %) n'est que d'environ 2 %.

Presque tous les chiffres de sondage cités aux informations sont des statistiques, pas des paramètres : - **Sondages** : un sondage auprès de 1000 électeurs estime la proportion parmi tous les électeurs. L'erreur type indique à quelle distance de la vérité le sondage risque de se trouver. - **Contrôle qualité** : une usine vérifie la masse moyenne d'un échantillon de paquets au lieu de peser chaque paquet. - **Médecine** : un essai clinique mesure l'effet moyen sur quelques centaines de patients et en tire des conclusions pour tout le monde. - **Sciences** : faire la moyenne de mesures répétées réduit l'erreur aléatoire. L'idée clé : l'erreur type $\sigma / \sqrt{n}$ diminue quand l'échantillon grandit. Quatre fois plus de personnes divisent l'erreur par deux, c'est pourquoi les grands sondages sont plus précis. Le théorème central limite te permet ensuite d'utiliser la loi normale, les scores z et la table de la loi normale que tu connais déjà, même quand la population elle-même ne suit pas une loi normale.

Mistake: Utiliser $\sigma$ au lieu de $\sigma / \sqrt{n}$ dans une question sur une moyenne d'échantillon

Why: $\sigma$ est la dispersion des valeurs isolées. Les moyennes varient beaucoup moins, donc avec $\sigma$ des moyennes inhabituelles paraissent bien trop probables.

Correct: Pour $\bar{x}$, divise toujours par l'erreur type : $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$. Pour une seule valeur, $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$.

Mistake: Diviser par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$

Why: Avec $\sigma = 12$ et $n = 36$, diviser par $n$ donne $0{,}33$ au lieu de l'erreur type correcte $2$ : chaque score z devient 6 fois trop grand.

Correct: Prends d'abord la racine carrée de $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Mistake: Croire que le théorème central limite rend la population ou les données normales

Why: Un grand échantillon tiré d'une population asymétrique reste asymétrique : son histogramme ressemble à la population. Seule la distribution des MOYENNES d'échantillons devient normale.

Correct: Le théorème central limite concerne la distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$, pas les valeurs individuelles.

Mistake: Utiliser la loi normale pour $\hat{p}$ sans vérifier $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Why: Avec $p = 0{,}05$ et $n = 40$, on a $np = 2$ : la plupart des échantillons ont 0, 1, 2 ou 3 succès, et la distribution de $\hat{p}$ est très asymétrique.

Correct: Vérifie d'abord les deux conditions. Si l'une n'est pas remplie, prends un plus grand échantillon ou utilise la loi binomiale.

Sondages électoraux

Les instituts de sondage interrogent environ 1000 personnes et annoncent une marge d'erreur. Cette marge vient directement de l'erreur type de $\hat{p}$.

Si le vrai soutien est $p = 0{,}5$, un sondage auprès de 1000 personnes a une erreur type $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$, donc environ 95 % de ces sondages tombent à moins de 3 points environ de la vérité.

Contrôle qualité dans un café

Les machines qui remplissent les gobelets sont surveillées grâce à la moyenne de petits échantillons. Une moyenne trop éloignée de la cible, mesurée en erreurs types, déclenche une alarme.

Une machine remplit des gobelets avec $\mu = 250$ mL et $\sigma = 8$ mL. Un contrôleur mesure 16 gobelets, donc l'erreur type vaut $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

Préparer une étude médicale

Avant une étude, les chercheurs choisissent la taille de l'échantillon pour que l'erreur type soit assez petite. À cause de la racine carrée, diviser l'erreur par deux demande quatre fois plus de patients.

La tension artérielle a $\sigma = 20$ mmHg. Avec 25 patients, l'erreur type vaut $20 / 5 = 4$ mmHg ; avec 100 patients, $20 / 10 = 2$ mmHg.

Un paramètre ($\mu$, $\sigma$, $p$) décrit la population et il est fixe ; une statistique ($\bar{x}$, $\hat{p}$) vient d'un échantillon et varie d'un échantillon à l'autre

La distribution d'échantillonnage de $\bar{x}$ a pour moyenne $\mu$ et pour erreur type $\sigma / \sqrt{n}$

Théorème central limite : pour $n \geq 30$ (environ), la moyenne d'échantillon suit presque une loi normale quelle que soit la forme de la population ; si la population suit une loi normale, pour tout $n$

Pour une probabilité sur une moyenne d'échantillon, utilise $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ et la table de la loi normale

La fréquence observée $\hat{p}$ a pour moyenne $p$ et pour erreur type $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; elle suit presque une loi normale quand $np \geq 10$ et $n(1-p) \geq 10$

Les grands échantillons donnent des estimations plus précises : multiplier la taille par quatre divise l'erreur type par deux

Q: Pourquoi l'erreur type utilise-t-elle $\sqrt{n}$ et pas $n$ ?

A: La variance d'une moyenne de $n$ valeurs indépendantes vaut $\sigma^2 / n$. L'erreur type en est la racine carrée : $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. C'est pourquoi il faut quatre fois plus de valeurs pour diviser l'erreur par deux.

Q: Le nombre 30 est-il magique ?

A: Non, c'est une règle pratique. Pour une population déjà proche d'une loi normale, des échantillons bien plus petits suffisent ; pour une population très asymétrique (comme les revenus), il faut parfois plus de 30. Essaie dans le simulateur : la population asymétrique demande un $n$ plus grand que le dé.

Q: Quelle est la différence entre écart-type et erreur type ?

A: L'écart-type $\sigma$ mesure à quel point les valeurs isolées varient. L'erreur type $\sigma / \sqrt{n}$ mesure à quel point une statistique, comme la moyenne d'échantillon, varie d'un échantillon à l'autre. Pour $n > 1$, l'erreur type est toujours plus petite.

Q: La taille de la population compte-t-elle ?

A: Très peu, tant que l'échantillon est une petite partie de la population (moins d'environ 10 %). Un échantillon aléatoire de 1000 personnes est à peu près aussi précis pour une ville que pour un pays entier. Ce qui compte, c'est la taille de l'échantillon $n$.

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Distributions d'échantillonnage

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Distributions d'échantillonnage

Découvre comment les moyennes et les fréquences d'échantillons varient d'un échantillon à l'autre, ce qu'est l'erreur type et pourquoi le théorème central limite les rend presque normales.

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